概率论试题及答案_图文

试卷一 一、填空(每小题 2 分,共 10 分) 1.设 2. 掷一颗骰子, 是三个随机事件,则 表示“出现奇数点” , 满足 , 至少发生两个可表示为______________________。 表示“点数不大于 3” ,则 ,则 ,则 表示______________________。 ___________。 ___________。

3.已知互斥的两个事件 4.设 为两个随机事件,

5.设 则

是三个随机事件, 至少发生一个的概率为___________。









二、单项选择(每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分,共 20 分) 1. 从装有 2 只红球,2 只白球的袋中任取两球,记 “取到 2 只白球” ,则 (A) 取到 2 只红球 (B) 取到 1 只白球 (C) 没有取到白球 (D) 至少取到 1 只红球 2.对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为( ) 。 (A) 随机事件 (B) 必然事件 (C) 不可能事件 (D) 样本空间 3. 设 A、B 为随机事件,则 (A ) A (C) AB 4. 设 和 (A ) (C) 5. 设 (A ) (C) 为两随机事件,且 ( (B) B (D) φ ) 。 ( ) 。

是任意两个概率不为零的互斥事件,则下列结论中肯定正确的是( 与 互斥 (B ) (D) ,则下列式子正确的是( (B ) (D) ) 。 与 不互斥

) 。

6. 设

相互独立

,则



) 。

(A )

(B )

(C) 7. 设 ( 是三个随机事件,且有 ) 。 (A) 0.1 (C) 0.8

(D) ,则 (B) 0.6 (D) 0.7 ) 。

8. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为 p,则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为( (A) p2(1– p)3 (C) 5 p 2(1– p)3 9. 设 A、B 为两随机事件,且 (A ) (B) 4 p (1– p)3 (D) 4 p 2(1– p)3 ,则下列式子正确的是( (B ) ) 。

(C) (D) 10. 设事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 一定发生,则( ) 。 (A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) – P (C) ≤ 1 (C) P (A) + P (B) – P (C) ≥ 1 (D) P (A) + P (B) ≤ P (C) 三、计算与应用题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 袋中装有 5 个白球,3 个黑球。从中一次任取两个。 求取到的两个球颜色不同的概率。 2. 10 把钥匙有 3 把能把门锁打开。今任取两把。 求能打开门的概率。 3. 一间宿舍住有 6 位同学, 求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率。 4. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个次品,从中一次抽取 3 个, 求至少取到一个次品的概率。 5. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的次品率分别为 0.2,0.1,0.1,并且任何一道工序是否出 次品与其它各道工序无关。 求该种零件的次品率。 6. 已知某品的合格率为 0.95,而合格品中的一级品率为 0.65。 求该产品的一级品率。 7. 一箱产品共 100 件,其中次品个数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时,从中随机抽取 10 件,如果发现有次品,则认为 该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收, 求其中确实没有次品的概率。 8. 某厂的产品, 按甲工艺加工, 该厂的产品中有放回地取 5 件来检验, 求其中最多有一件次品的概率。 四、证明题(共 6 分) 设 , 。证明 按乙工艺加工,两种工艺加工出来的产品的合格率分别为 0.8 与 0.9。现从

试卷一 参考答案 一、填空 1. 2. 出现的点数恰为 5 3. 与 互斥 则 4. 0.6 或



5. 至少发生一个,即为 又由 故 得

二、单项选择 1. 2. A 3. A 利用集合的运算性质可得. 4. 与 互斥

故 5.

故 6. 相互独立

7.





8. 9. B 10. B

故 P (A) + P (B) – P (C) ≤ 1 三、计算与应用题 1. 解: 设 表示“取到的两球颜色不同” ,则

而样本点总数

故 2. 解: 设 表示“能把门锁打开” ,则 ,而

故 3. 解: 设 表示“有 4 个人的生日在同一月份” ,则

而样本点总数为

故 4. 解: 设 则 表示“至少取到一个次品” ,因其较复杂,考虑逆事件 包含的样本点数为 。而样本点总数为 =“没有取到次品”

故 5. 解: 设 “任取一个零件为次品” ,但较复杂,考虑逆事件 “任取一个零件为正品” , 表示通过三道工序都合格,

由题意要求 则 于是 6. 解: 设 显然 于是

表示“产品是一极品” , ,则

表示“产品是合格品”

即 该产品的一级品率为 7. 解:

设 又设

“箱中有 件次品” ,由题设,有 “该箱产品通过验收” ,由全概率公式,有



于是

8. 解: 依题意,该厂产品的合格率为, 于是,次品率为 设 则 表示“有放回取 5 件,最多取到一件次品”

四、证明题 证明

, 由概率的性质知 则



又 且



试卷二 一、填空(每小题 2 分,共 10 分)

1. 若随机变量

的概率分布为



,则

__________。

2. 设随机变量 3. 设随机变量 4. 设随机变量 5. 若随机变量 ,则 的概率分布为

,且 ,则

,则

__________。

__________。 __________。



__________。

二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分,共 20 分) 1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数,为使 布函数,在下列给定的各组数值中应取( ) 。 是某一随机变量的分

(A )

(B )

(C)

(D)

2. 设随机变量

的概率密度为

,则



) 。

(A ) (C) 3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。

(B ) (D)

(A )

(B )

(C) 4.下列函数为随机变量分布密度的是(

(D) )。

(A )

(B)

(C) 5. 设随机变量 (A ) (C) 6. 设 服从二项分布 (A ) ,则( ) 。 的概率密度为 , ,则

(D) 的概率密度为( (B ) (D) ) 。

(B )

(C) 7. 设 (A ) (C) ,则 (

(D) ) 。 (B ) (D)

8.设随机变量 (A ) 2 (C) 1/2

的分布密度为 (B ) 1 (D) 4 ,则可断定 不服从( (B) 指数分布 (D) 泊松分布 (

, 则



) 。

9.对随机变量 来说,如果 (A) 二项分布 (C) 正态分布 10.设 为服从正态分布 (A ) 9 (C) 4

) 。

的随机变量,则 ( B) 6 ( D) -3

)。

三、计算与应用题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 盒内有 12 个乒乓球,其中 9 个是新球,3 个是旧球。采取不放回抽取,每次取一个,直到取到新球为止。 求抽取次数 的概率分布。

2. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作,已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。 求(1)在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少? (2)若车间中仅有 2 台小吊车,则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少? 3. 某种电子元件的寿命 是随机变量,其概率密度为

求(1)常数 ; (2)若将 3 个这种元件串联在一条线路上,试计算该线路使用 150 小时后仍能正常工作的概率。

4. 某种电池的寿命(单位:小时)是一个随机变量 求(1)这样的电池寿命在 250 小时以上的概率; (2) ,使电池寿命在

,且



内的概率不小于 0.9。

5. 设随机变量 求 概率密度

。 。

6. 若随机变量 求

服从泊松分布,即 。

,且知



7. 设随机变量 求 和

的概率密度为 。



8. 一汽车沿一街道行使,需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独

立,求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 求(1) 的概率分布;

表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。

(2) 四、证明题(共 6 分) 设随机变量 证明:



服从参数为 2 的指数分布。 在区间 上,服从均匀分布。

试卷二 参考答案 一、填空 1. 6

由概率分布的性质有

即 得 。



2. ,则

3. 0.5

4.

5. 0.25 由题设,可设

即 0 0.5 则 1 0.5

二、单项选择 1. ( ) 由分布函数的性质,知 则 2. ( ) ,经验证只有 满足, 选

由概率密度的性质,有 3. ( )

由概率密度的性质,有 4. ( )

由密度函数的性质,有 5. ( ) 是单减函数,其反函数为 由公式, 6. ( ) 由已知 服从二项分布 ,则 的密度为 ,求导数得

又由方差的性质知, 7. ( )

于是

8. (A) 由正态分布密度的定义,有

9. (D) ∴如果 时,只能选择泊松分布. 10. (D) ∵ X 为服从正态分布 N (-1, 2), EX = -1 ∴ E(2X - 1) = -3 三、计算与应用题 1. 解: 设 为抽取的次数 的可能取值为:

只有 个旧球,所以 由古典概型,有

则 1 2 3 4

2. 解:



表示同一时刻需用小吊车的人数,则

是一随机变量,由题意有



,于是

(1) (2)

的最可能值为

,即概率

达到最大的

3. 解:

(1)由 可得 (2)串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作,而这里三个元件的工作是相互独立的,因此,若用 表示“线路正常工作” ,则



故 4. 解:

(1)

(查正态分布表)

(2)由题意

即 5. 解:

查表得



对应的函数

单调增加,其反函数为

,求导数得



又由题设知

故由公式知: 6. 解:

,则 而

由题设知 即 可得



查泊松分布表得,

7. 解:

由数学期望的定义知,

而 故 8. 解: (1) 的可能取值为 且由题意,可得

即 0 1 2 3

(2)由离散型随机变量函数的数学期望,有

四、证明题 证明: 由已知 则

又由



连续,单调,存在反函数

且 当 故 时, 则



试卷三 一、填空(请将正确答案直接填在横线上。每小题 2 分,共 10 分) 1. 设二维随机变量 的联合分布律为,



__________, 和

__________.

2. 设随机变量

相互独立,其概率分布分别为,

则 3. 若随机变量 则 4. 已知 与 与

__________. 相互独立,且 , ,

服从__________分布. 相互独立同分布,且

则 5. 设随机变量

__________. 的数学期望为 、方差 ,则由切比雪夫不等式有

__________. 二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分,共 20 分)

1. 若二维随机变量 ( ).

的联合概率密度为

,则系数

(A )

(B )

(C) 2. 设两个相互独立的随机变量 和

(D) 分别服从正态分布 和 ,则下列结论正确的是( ).

(A )

(B )

(C)

(D)

3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为 (A) (X , Y) 服从指数分布 (C) X 与 Y 相互独立 4. 设随机变量 (A ) (C) 5. 设随机变量 与随机变量 相互独立且同分布, 且

, 则( (B) X 与 Y 不独立 (D) cov(X , Y) ≠0

).

相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则下列随机变量中服从均匀分布的有( (B ) (D)

).

, 则下列各式中成立的是(

).

(A )

(B ) 6.设随机变量 (A ) (C) 7. 若随机变量 ( (A ) 8. 设 (A ) (B ) (C) (D) 是 ). (B ) (C)

(C)

(D) ).

的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是( (B ) (D) 的线性函数, 且随机变量

存在数学期望与方差,则



的相关系数

(D) 与 不相关的充要条件是( ).

是二维随机变量,则随机变量

9. 设



个相互独立同分布的随机变量,



则对于

,有



).

(A )

(B )

(C) 10. 设

(D) ,为独立同分布随机变量序列, 且 Xi ( i = 1,2,…)服从参数为λ 的指数分布, 正态分布 N ( 0, 1 ) 的

密度函数为

, 则(

).

三、计算与应用题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 将 2 个球随机地放入 3 个盒子,设 求二维随机变量 2. 设二维随机变量 表示第一个盒子内放入的球数, 表示有球的盒子个数.

的联合概率分布. 的联合概率密度为

(1)确定 (2)求 3. 设

的值; . 的联合密度为

(1)求边缘密度 (2)判断 4. 设 与

和 是否相互独立.



的联合密度为

求 5. 设

的概率密度. , ,且 与 相互独立.

求(1) (2 ) (3 ) 6. 设

的联合概率密度; ; . 的联合概率密度为

求 及 . 7. 对敌人阵地进行 100 次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是 4,标准差是 1.5. 求 100 次炮击中有 380 至 420 课炮弹命中目标的概率. 8. 抽样检查产品质量时,如果发现次品数多于 10 个,则认为这批产品不能接受. 问应检查多少个产品才能使次品率为 10%的这批产品不被接受的概率达 0.9. 四、证明题(共 6 分) 设随机变量 的数学期望存在,证明随机变量 与任一常数 的协方差是零.

试卷三 参考解答 一、填空

1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得

2.

3. 相互独立的正态变量之和仍服从正态分布 且 , , ∴ 4.

5.

二、单项选择 1. (B)



即 ∴选择(B). 2. (B) 由题设可知, 故将 标准化得

∴选择(B). 3. (C)

∴选择(C). 4. (C) ∵随机变量 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布, 则

∴选择(C). 5. (A)

∴选择(A). 6. (A) ∵由期望的性质知

∴选择(A). 7. (D)

∴选择(D). 8. (B) 与 即 则 ∴选择(B). 9. (C) 不相关的充要条件是

∴选择(C). 10. (A) Xi ( i = 1,2,…)服从参数为λ 的指数分布,则

故 ∴选择(A). 三、计算与应用题 1. 解 显然 的可能取值为 个球随机的放入 ; 的可能取值为 种放法,则有

注意到将

个盒子共有



的联合分布律为

2. 解 (1)由概率密度的性质有

可得 (2)设 ,则

3. 解 (1)



即 (2)当 时



故随机变量 4. 解



不相互独立.

先求 当

的分布函数 时,

显然,随机变量 ,

的取值不会为负,因此



时,



的概率密度为

5. 解 (1) 与 相互独立 的联合密度为

(2)

(3)

6. 解

于是

由对称性



. 7. 解 设 表示第 次炮击命中目标的炮弹数, ,

由题设,有



次炮击命中目标的炮弹数





相互独立,同分布,则由中心极限定理知

近似服从正态分布

于是

8. 解 设应检查 个产品,其中次品数为 ,则由题设,

这里,可以认为

较大,则由棣莫弗—拉普拉斯定理知,

近似服从正态分布 依题意,有



亦即

查表得 故至少应检查 个产品,才能达到题设要求.

四、证明题 证 由协方差的定义及数学期望的性质,得

8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中,而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

9、障碍与失败,是通往成功最稳靠的踏脚石,肯研究、利用它们,便能从失败中培养出成功。

10、在真实的生命里,每桩伟业都由信心开始,并由信心跨出第一步。


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