初高中衔接第一讲 数与式的运算

2014年陈经纶中学高一讲义 高中数学学习必备的初中知识技能 第一讲 数与式的运算

第一讲 数与式的运算
一、乘法公式
2 2 2 2 【公式1】 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca 2 2 3 3 【公式2】 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? b (立方和公式) 2 2 3 3 【公式3】 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? b (立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式. 【例1】计算: (a ? 2)(a ? 2)(a 4 ? 4a 2 ? 16) 解: 原式= (a 2 ? 4)(a 4 ? 4a 2 ? 4 2 ) ? (a 2 ) 3 ? 4 3 ? a 6 ? 64
1 的值. x3 1 解:? x 2 ? 3 x +1 ? 0 ? x ? 0 ? x ? ? 3 x 1 1 1 1 原式= ( x ? )( x 2 ? 1 ? 2 ) ? ( x ? )[( x ? ) 2 ? 3] ? 3(3 2 ? 3) ? 18 x x x x

【例2】已知 x 2 ? 3 x +1 ? 0,求 x 3 ?

思考:看完此题,你对乘法公式的应用有什么感悟?
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b

【例3】已知 a ? b ? c ? 0 ,求 a( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) 的值. 解:? a ? b ? c ? 0,? a ? b ? ?c, b ? c ? ? a, c ? a ? ?b

? 原式= a ?

b?c a?c a?b ?b? ?c? bc ac ab

a (? a ) b(?b) c(?c) a2 ? b2 ? c2 ? ? ? ?? bc ac ab abc



? a 3 ? b 3 ? (a ? b)[(a ? b) 2 ? 3ab] ? ?c(c 2 ? 3ab) ? ?c 3 ? 3abc
? a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ②,把②代入①得原式= ?
思考:此题中让你眼前一亮的技巧是?
3abc ? ?3 abc

引申:同学可以探求并证明: a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 二、根式 式子 a (a ? 0) 叫做二次根式,其性质如下: 第一讲
2 (1) ( a ) ? a (a ? 0)

(2)

a 2 ?| a |

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(3)

ab ? a ? b (a ? 0, b ? 0)

(4)

b ? a

b a

(a ? 0, b ? 0)

(注意:性质后面对 a,b 的限制条件) 【例4】化简下列各式: (1)
( 3 ? 2) 2 ? ( 3 ? 1) 2

(2)

(1 ? x) 2 ? (2 ? x) 2 ( x ? 1)

解:(1) 原式= | 3 ? 2 | ? | 3 ? 1|? 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? 1 (2) 原式= | x ? 1| ? | x ? 2 |? ?
?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ( x ? 2) ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 (1 ? x ? 2)

思考:此题使用了根式的什么性质?有什么需要注意的细节?

【例5】计算:(1) ( a ? b ? 1)(1 ? a ? b ) ? ( a ? b ) 2 (2)

a a ? ab

?

a a ? ab

解:(1) 原式= (1 ? b ) 2 ? ( a ) 2 ? (a ? 2 ab ? b) ? ?2a ? 2 ab ? 2 b ? 1 (2) 原式=
a a( a ? b) ? a a( a ? b) ? ? 1 a? b ? 1 a? b

?

( a ? b) ? ( a ? b) ( a ? b )( a ? b )

2 a a?b

试对本例的解题技巧做一评价: 【例6】设 x ?
2? 3 2? 3 ? ,y? 2? 3 2? 3

,求 x3 ? y 3 的值.

解: x ?

2? 3 2? 3

(2 ? 3) 2 22 ? 3

? 7 ? 4 3, y ? 7 ? 4 3 ? x ? y ? 14, xy ? 1

原式= ( x ? y )( x 2 ? xy ? y 2 ) ? ( x ? y )[( x ? y ) 2 ? 3xy ] ? 14(142 ? 3) ? 2702 通过本例你能总结出代数式的求值问题的解题要点吗? 三、分式 当分式
A A 的分子、分母中至少有一个是分式时, 就叫做繁分式,繁分式的化简常用以 B B

下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. 第一讲 第2页

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【例7】化简

x 1? x x? 1 x? x
x( x ? 1) x ? 1 x x x x ? ? ? 2 ? ? 2 1? x (1 ? x) ? x x x x ? x ? x x x? 2 x? x? x ?1 ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1 x

解法一:原式=

解法二:原式=

x( x ? 1) x x x x ?1 ? ? ? 2 ? (1 ? x) ? x x(1 ? x) x x x ?x?x x? x? x? 2 1 x ?1 x ?1 (x ? ) ? x x

你能评价一下解法一、二的差异吗?

第一讲 习题 A 组 1.二次根式 a 2 ? ? a 成立的条件是( ) A. a ? 0 B. a ? 0 D. a 是任意实数 2.若 x ? 3 ,则 9 ? 6 x ? x 2 ? | x ? 6 | 的值是( A.-3 D.9 3.计算: (1) ( x ? 3 y ? 4 z ) 2 (2a ? 1 ? b) 2 ? (a ? b)(a ? 2b) B.3 ) C.-9 C. a ? 0

(2)

(3) (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? (a ? b)3

1 (4) (a ? 4b)( a 2 ? 4b 2 ? ab) 4

4.化简: (1)
m m 1 9m ? 10m ? 2m 2 3 25 m

(2)

2x ? 2 y x? y ? ( x ? y ? 0) x 2x2 y

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B 组 1.若
1 1 3 x ? xy ? 3 y 的值为( ? ? 2 ,则 x y x ? xy ? y

):
3 5

3 5 5 D. 3

A.

B. ?

C. ?

5 3

2.计算:

(1) ( a ? b ? c )( a ? b ? c )

(2) 1 ? (

1 2

?

1 3

)

x 2 ? xy ? y 2 3.设 x ? ,求代数式 的值. ,y ? x? y 3?2 3?2

1

1

4.若 ( x-10) 2 ? 4 y ? 4 ? 0 ,求 y x 的10次方根。

x ?1 x ?1 ? 5. 化简: x ? 1 x ? 1 1 2 x ?1

6. 化简

x 2 ? 3x ? 9 6x x ?1 ? ? 2 2 6 ? 2x x ? 27 9x ? x

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拓展题:(2011北京卷理18节选)已知 m 2 k 2 ? k 2 ? 1,化简

64k 4 m ? 4(4k 2 m 2 ? 4) (1 ? k )[ ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2
2

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