【备战】北京中国人民大学附中高考数学(题型预测+范例选讲)综合能力题选讲 第28讲 结论开放的探

结论开放的探索性问题
题型预测 探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一,给学生留有较大 探索余地的试题.这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察,具有开放性,解法活、 形式新,无法套用统一的解题模式,不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力,而 且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能, 因而受到各方面的重视, 近年来已成为高考试 题的一个新亮点.探索性问题一般有三类:(1)探索结论的开放性问题;(2)探索条件的 开放性问题;(3)探索规律(或策略)的问题. 结论开放的探索性问题,往往结论不确定、不唯一,或结论需通过类比引申推广,或结 论需通过特例归纳.解决这一类问题,要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法. 范例选讲 例 1.设 f(x) 是定义域为 R 的一个函数,给出下列五个论断: ① f(x)的值域为 R; ② f(x)是 R 上的单调递减函数; ③ f(x)是奇函数; ④ f(x)在任意区间[a, b] (a<b)上的最大值为 f(a),最小值为 f(b),且 f(a)> f(b); ⑤ f(x)有反函数. 以其中某一论断为条件,另一论断为结论(例如:⑤ ? ①),至少写出你认为正确的 三个命题: . 讲解:本题考察对于函数性质的理解. 根据单调性的定义,不难知道:②⑤等价,又由于单调函数必有反函数,所以,不难写 出三个正确命题:② ? ⑤;④ ? ⑤;② ? ④(或④ ? ②). 进一步思考,函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系,而且单调性与是否存在反函 数之间也不是等价的关系.所以,可以知道,只有上述三个正确命题. 例 2.已知 ? , ? 是实数,给出下列四个论断: (1) ? ? ? ? ? ? (3) ? ? 2 2,

? ;

(2) ? ? ? ? ? ? ? ;

? ? 2 2 ;(4) ? ? ? ? 5

以其中的两个论断为条件,其余两个论断为结论,写出你认为正确的一个命题. __________________________________. 讲解 本题考查不等式的性质.

显然,(1)、(2)等价,它们的含义均为:? , ? 同号.在此前提之下,由(3)必可 推出(4),所以,正确的命题为:(1)(3) ? (4);(2)(3) ? (4). 点评:对于这一类只给出了一个特定的情境,而命题的条件、结论及推理论证的过程均 不确定的开放性试题,应该灵活运用数学知识,回顾相近的题型、结论、方法,进行类比猜 想.在给定的情境中自己去假设,去求解,去调整方法,去确定结果. 例 3.如右图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,写 出过顶点 A 的一个平面, 使该平面与正方体的 12 条棱所 成角都相等(写出你认为正确的一个平面即可,不必考 虑所有可能的情况). C1

A1 D1

B1

_____________________________ A B 讲解:正方体的 12 条棱共分为 3 组,每组有 4 条 平行线,所以,只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角 C D 相等即可. 正方体是我们较为熟悉的基本图形,不难知道:面 ADB1 即符合条件(与 BA、BD、BB1 所成角相等). 例 4 .若四面体各棱的长是 1 或 2 ,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是 ___________________(只需写出一个可能的值). 讲解:本题为策略开放题,过程需学生自己设计. 由于四面体的棱长未一一给出,首先需探求和设计符合题意的几何图形,再按图索骥, 得出结论.本题只要求写出一个可能的值,所以,我们可以尽量构造相对简单、易求值的图 形.如:底面为边长为 1 的正三角形,侧棱长均为 2.不难算得,此时体积为

11 . 12

作为本题的延伸,我们可以考虑所有符合题意的图形. 由于三角形的两边之长大于第三边,所以,组成四面体各个面的三角形中,或者只有一 边长为 1,或者 3 边长全为 1. 如果这些三角形中,有一个边长为 1 的正三角形,则将其作为底面,考虑其侧棱长,共 四种情况:两边为 1,一边为 2;一边为 1,两边长为 2;三边长全为 2.简单的考察不难知 道,只有最后一种情况是可能的. 如果这些三角形中,不存在边长为 1 的正三角形,则只可能有两种情况:四面体的 6 条棱中, 只有一组相对棱的长度为 1, 其余棱长全为 2; 只有一条棱长为 1, 其余棱长全为 2. 综上,共 3 种情况.如图:
2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2

2 1 1

2 2 1

其体积分别为:

11 14 11 . , , 12 12 6

点评:数学需要解题,但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略.如何能够跳出题海, 事半功倍,关键是找到好的切入点.从本题来说,一方面当然要最快找到一个可能的结果, 另一方面, 对于这种具有多重结果的结论开放性试题, 抓住条件中那些影响结果的动态因素, 全面考察问题的各个方面,不仅可以训练自己的思维,而且可以纵观全局,从整体上对知识 的全貌有一个较好的理解.

例 5.规定 Cx ?
m

x ? x ? 1?

m!

? x ? m ? 1? ,其中 x ? R ,

0 ? 1 ,这是 m 是正整数,且 Cx

m 组合数 Cn (n,m 是正整数,且 m ? n )的一种推广. 5 (Ⅰ)求 C? 15 的值; m n ?m m m?1 m (Ⅱ)组合数的两个性质:① Cn ;② Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1

是否都能推广到( x ? R , m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证 明;若不能,则说明理由;
m m (Ⅲ)我们知道,组合数 Cn 是正整数.那么,对于 Cx , x ? R , m 是正整数,是否 m ? R 成立的例子吗? 也有同样的结论?你能举出一些 Cx

讲解:(Ⅰ) C?15 ?
5

? ?15?? ?16? ? ?19? ? ?11628 .
5!
2 ?1 无意义. 2

(Ⅱ)一个性质是否能推广的新的数域上,首先需要研究它是否满足新的定义.从这个 角度很快可以看出:性质①不能推广.例如当 x ?

2 时, C 1 2 有定义,但 C

m m?1 m 性质②如果能够推广, 那么,它的推广形式应该是:Cx 其中 x ? R ,m ? Cx ? Cx ?1 ,

是正整数. 类比于性质①的思考方法,但从定义上是看不出矛盾的,那么,我们不妨仿造组合数 性质的证明过程来证明这个结论.事实上, 当 m ? 1 时, Cx ? Cx ? x ? 1 ? Cx?1 .当 m ? 2 时,
1 0 1

Cxm ? Cxm?1 ?

? x ? m ? 1? ? x ? x ? 1? ? x ? m ? 2 ? m! ? m ? 1?! x ? x ? 1? ? x ? m ? 2 ? ? x ? m ? 1 ? ? ? 1? ? m ? m ? 1?! ? ? x ? x ? 1? ? x ? m ? 2 ?? x ? 1? ?
m! ?C
m x ?1

x ? x ? 1?

由此,可以知道,性质②能够推广.
m m ? Z 不成立,下面,我们将 (Ⅲ)从 Cx 的定义不难知道,当 x ? Z 且 m ? 0 时, Cx

着眼点放在 x ? Z 的情形.
m m 先从熟悉的问题入手.当 x ? m 时, Cx 就是组合数,故 Cx ?Z . m 当 x ? Z 且 x ? m 时,推广和探索的一般思路是:能否把未知的情形( Cx , x?Z 且 m ? Z 相联系? x ? m )与已知的结论 Cn

一方面再一次考察定义: Cx ?
m

x ? x ? 1?

m!

? x ? m ? 1? ;另一方面,可以从具体的问题

入手.
5 5 由(Ⅰ)的计算过程不难知道: C? 15 ? ?C19 .另外,我们可以通过其他例子发现类似 5 5 的结论.因此,将 C? 15 转化为 C19 可能是问题解决的途径.

事实上,当 x ? 0 时,
m Cx ?

x ? x ? 1?

m!

? x ? m ? 1? ?

? ?1?

m

? ? x ? m ? 1? ? ? x ? 1?? ? x ? ?
m!

? ?1?

m

m C? x ? m ?1 .

m m ①若 ? x ? m ? 1 ? m ,即 x ? ?1 ,则 C? x ? m?1 为组合数,故 Cx ? Z .

②若 ? x ? m ? 1 ? m ,即 0 ? x ? m 时,无法通过上述方法得出结论,此时,由具体的
4 m 计算不难发现: C3 =0……,可以猜想,此时 Cx ? 0? Z .

这个结论不难验证.事实上,当 0 ? x ? m 时,在 x, x ? 1, 数中,必存在某个数为 0.所以, Cx ? 0 ? Z .
m

, x ? m ? 1 这 m 个连续的整

综上,对于 x ? Z 且 m 为正整数,均有 Cx ? Z .
m

点评:类比是创造性的“模仿”,联想是“由此及彼”的思维跳跃.在开放题的教学 中,引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比,进行多方位的联想,将式子结构、运算法

则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移,可由已知探索未知,由旧知探索新知,这 既有利于培养学生的创新思维能力,又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性.


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