高中数学第三章指数函数和对数函数4第2课时对数的运算性质及换底公式课件北师大版必修1_图文

?第2课时 对数的运算性质及换 底公式 ?学习目标 1.掌握对数的运算性质,能运用运 算性质进行对数的有关计算(重、难点);2.了 解换底公式,能用换底公式将一般对数化为自 然对数或常用对数(重、难点). 预习教材 P80-85 完成下列问题: 知识点一 对数的运算性质 ? 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则: logaM+logaN ? (1)loga(MN)=__________________; nlogaM ? (2)logaMn=__________ (n∈R); ? M logaM-logaN . (3)loga N =________________ 思考 当M>0,N>0时,loga(M+N)=logaM +logaN,loga(MN)=logaM·logaN是否成立? ? 提示 不一定成立. ? 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打 “×”) ? (1)若MN>0,则loga(MN)=logaM+ logaN.( ) ? (2)logax+logay=loga(x+y).( ) ? (3)对数的运算性质(1)loga(M·N)=logaM +logaN能推广为loga(a1·a2·?·an)=logaa1+ logaa2+?+logaan(a>0且a≠1,an>0, n∈N*).( ) ? 提示 (1)错误.M和N为负数时logaM和 logaN无意义. ? (2)错误.logax+logay=loga(xy). ? 知识点二 换底公式 logaN logbN= log b (a,b>0,a,b≠1,N>0). a 【预习评价】 ? 1.换底公式中底数a是特定数还是任意数? ? 提示 是大于0,且不等于1的任意数. ? 2.换底公式有哪些作用? ? 提示 利用换底公式可以把不同底数的对 数化为同底数的对数,便于应用对数的运算 性质进行化简、求值. ? 知识点三 常用结论 ? 由换底公式可以得到以下常用结论: ? ? ? (1)logab=__________ ; 1 (2)logab·log log ab bc·logca=________; mn (3)log b = __________ ; m an log ab n a 1 logba ? (4)loganb =__________; -logab . (5)log1 b=__________ 【预习评价】 1.计算 log2781=( 4 A.3 2 C.3 ) 3 B.4 3 D.2 4 lg 3 4 4 解析 log2781=log333 =lg 33=3. ? 答案 A 2.计算log42+log48=________. ? 解析 log42+log48=log416=2. ? 答案 2 ? 3.结合教材P81-82,例4和例5,你认为应 怎样利用对数的运算性质计算对数式的值? ? 提示 第一步:将积、商、幂、方根的对 数直接运用运算性质转化. ? 第二步:利用对数的性质化简、求值. ? ? 题型一 利用对数的运算性质化简、求 值 【例 1】 计算下列各式的值. 1 32 4 (1)2lg49-3lg 8+lg 245; 2 (2)lg 25+3lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 解 5) (1)法一 1 4 3 1 原式=2(5lg 2-2lg 7)-3×2lg 2+2(2lg 7+lg 5 1 =2lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+2lg 5 1 1 1 1 =2lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2lg 10 1 =2. 法二 4 2×7 4 2 原式=lg 7 -lg 4+lg (7 5)=lg 7×4 5 1 =lg( 2·5)=lg 10=2. (2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+ (lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 规律方法 1. 对 于 同 底 的 对 数 的 化 简 , 常 用 方 法 是 (1)“ 收 ” , 将 同 底 的 两 对 数 的 和 ( 差 ) 收 成 积 ( 商 ) 的 对 数.(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2.对数式的化简,求值一般是正用或逆用公式.要养成正 用、逆用、变形应用公式的习惯,lg 2+lg 5=1 在计算对数 值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式. 【训练1】 计算下列各式的值. ? (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; ? 2 3 lg 3+5lg 9+5 lg 27-lg 3 (2) . lg 81-lg 27 解 (1)原式=(lg 5)2+lg 2(2-lg 2) =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2· lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)· lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. 4 9 1 lg 3+5lg 3+10lg 3-2lg 3 (2)原式= 4lg 3-3lg 3 = ? 4 9 1? ?1+ + - ?lg 5 10 2? ? 3 ?4-3?lg 3 11 =5. ? 题型二 ? 利用换底公式化简、求值 【例2】 计算下列各式的值. ? (1)lg 20+log10025; ? (2)(log2125+log425+log85)·(log1258+ lg 25 log 4 + log 2) . 5 解 25 (1)lg 20+ log10025=1+lg 2+ =1+lg 2+lg 5=2. lg 100 (2)(log2125+log425+log85)· (log1258+log254+log52) =(log253+log2252+log235)· (log5323+log5222+log52) ? 1?

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