江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


南昌二中 2015—2016 学年度下学期期末考试 高二数学(理)试卷
一、选择题 1.已知集合 A ? {?2, ?1,1, 2, 4} , B ? { y | y ? log2 | x | ?1, x ? A} ,则 A ? B ? ( )

A. {?2, ?1,1} B. {?1,1, 2} C. {?1,1} D. {?2, ?1} 2. 设命题 p :存在四边相等的四边形不是正方形;命题 q :若 cos x ? cos y ,则 x ? y ,则下列判断正确的 是( ) B. p ? q 为假 A. p ? q 为真 C. ?p 为真 D. ?q 为真 3. 某空间几何体的正视图、俯视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

27 3 2 27 ( 3+ C. 2
A.

35)

27 35 2 27 ( 35 ? 3) D. 2
B. 高二的 5

4. 某中学为研究某位学生物理成绩与数学成绩的相关性,抽取该同学 次月考数学成绩和相应的物理成绩如下表: 90 100 115 130 数学成绩 xi 物理成绩 y i 60 65 70 75 80

y ? 0.47 x +17.36 , 由这些样本数据算得变量 x 与 y 满足线性回归方程 ? 但由于某种原因该表中一次数学成绩 被污损,则根据回归方程和表中数据可得污损的数学成绩为( ) A. 120 B. 122.64 C. 125 D. 127

5. “ a ? (

?

1

0

1 ? x 2 dx ”是“函数 y ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为

4 ”的

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 如图是某算法的程序框图,若实数 x ? (?1, 4) ,则输出的数值不小 于 30 的概率为( )

1 5 7 C. 30
A.

2 5 7 D. 8
B. )

7. 一直线与直二面角的两个面所成的角分别为 α,β,则( A.α+β<90° B.α+β≤90° C.α+β>90° D.α+β≥90°

8. 自圆 C :( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 外一点 P( x, y ) 引该圆的一条切线,切点为 Q ,切线的长度等于点 P 到
2 2

原点 O 的长,则 PQ 的最小值为( A.

) C.4 D.

13 10

B.3

21 10

9. 某同学有 7 本工具书,其中语文 2 本、英语 2 本、数学 3 本,现在他把这 7 本书放到书架上排成一排, 要求 2 本语文书相邻、2 本英语书相邻、3 本数学书任意两本不相邻,则不同的排法种数为( ) A.12 B.24 C.48 D.720 10. 一个盒子中放有大小相同的 6 个小球,其中白球 4 个,红球 2 个.任取两次,每次取 一个球,每次取后不放回,已知第一次取到的是白球,则第二次也取到的是白球的概率为( )

2 7 D. 3 9 11.四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ? 底面 ABCD , AB ? 2 ,若该四棱锥的所有顶点 243? 都在体积为 同一球面上,则 PA ? ( ) 16 7 9 A.3 B. C. 2 3 D. 2 2
A. B. C.
x 12 .已知函数 f ( x) ? e sin x ,其中 x ? R , e ? 2.71828? 为自然对数的底数.当 x ? [0,

5 9

5 12

?

y ? f ( x) 的图象不在直线 y ? kx 的下方,则实数 k 的取值范围(
A. (??,1) 二、填空题 B. (??,1] C. (??, e )
? 2

2

] 时,函数


?

D. (??, e 2 ]

2 ? 2)7 的展开式中,不含 y 的各项系数之和为 . y 14. 已知 p : ?4 ? x ? a ? 4, q : ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,则实 数 a 的取值范围为 . 2 2 x y 15.已知过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F2 的直线交双曲线于 A, B 两点,连结 AF1 , BF1 ,若 a b | AB |?| BF1 | ,且 ?ABF1 ? 90? ,则双曲线的离心率为______________.
13. ( x ? 16. 下列关于空间向量的命题中,正确的有_____. ①若向量 a,b 与空间任意向量都不能构成基底,则 a∥b; ②若非零向量 a,b,c 满足 a⊥b,b⊥c 则有 a∥c; ③若 OA , OB , OC 是空间的一组基底,且 OD ?

??? ? ??? ? ????

????

? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC ,则 A,B,C,D 四点共面; 3 3 3

④若向量 a+b, b+c, c+a,是空间一组基底,则 a,b,c 也是空间的一组基底. 三、解答题 17. (本小题满分 10 分)

已知命题:“ ?x ??x | ?1 ? x ? 1 ? ,使等式 x2 ? x ? m ? 0 成立”是真命题,

(1)求实数 m 的取值集合 M ; (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N ,若 x ? N 是 x ? M 的必要条件,求实数 a 的取值 范围.

18.(本小题满分 12 分) 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层 抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数各一题,让各位同学自由选择一道题 进行解答.选情况如下表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 8 30 男同学 30 12 20 女同学 8 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
[Z-xk.Com]

(2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 5---7 分钟,女生乙每次解答一道几 何题所用的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. 附表及公式

P ?k 2 ? k ?

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0,005 7.879

0.001 10.828

k
k2 ?

n ? a d? b?c ? a ? b?? c? d ?? a? ??c

b ?? d

19.(本小题满分 12 分) 如图,平面 ABCD ? 平面 ABE ,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,且点 B 在平面 ACE 上的射影 F 恰好落在边 CE 上. (Ⅰ)求证: AE ? 平面 BCE ; (Ⅱ) 当二面角 B ? AC ? E 的余弦值为

3 时, 求 ?BAE 的 3

大小.

20.(本小题满分 12 分) 为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况.现从某班全体学生中,随机抽取 12 名,测试的 满意度分数(百分制)如下茎叶图所示:

根据学校体制标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)从这 12 名学生中任选 3 人进行测试,求至少有1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅱ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示测试成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列及期望.

21.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

3 ,A 1 作圆 A2 的切线,切点为 P , 1, A 2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a ,过点 A 2 在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q . (1)求直线 OP 的方程; PQ (2)求 的值; QA 1 e?
(3)设 a 为常数,过点 O 作两条互相垂直的直 线,分别交椭圆 E 于点 B, C ,分别交圆 A2 于点 记△ OBC 和△ OMN 的面积分别为 S1 , S 2 , M, N , 求 S1 : S2 的最大值.

22.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) = a ln x ? x ? 1 ? (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)已知 h( x) ?

a ?1 ( a ? R ). x

2e x -1 ? a ,若 x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点,且 ?m ? (0, 2] , f ( x1 ) ? f ( x2 ) > h(m) , x

求实数 a 的取值范围.

南昌二中 2015—2016 学年度下学期期末考试 高二数学(理)试卷参考答案
1—5 CDCCA 6—10 BBDCA 11-12 BB 16.①③④. 13. ? 1 14. [?1,6] 三.选择题. 15. 5 ? 2 2

17.【解析】 (1)由题意可知,等价于方程 m ? x 2 ? x 在 x ? (?1,1) 上有解. 令 f ( x) ? x2 ? x ,当 x ? (?1,1) 时, f ( x) ? [ ? , 2) ,∴要使方程 m ? x 2 ? x 有解,

1 4

1 ? 则实数 m 的取值集合 M ? ? ?m ? ? m ? 2 ? . ? 4 ?
(2)∵ x ? N 是 x ? M 的必要条件,也即 x ? N ? x ? M ,∴ M ? N ∴M ? ?. i)当 a ? 2 ? a 时,也即 a ? 1 时, N ? (2 ? a, a) ,要使 M ? N

?a ? 1 ? 1 ? 则 ?2 ? a ? ? 4 ? a ? 2 ? ? ?a ? 1 ? 1 ? 则 ?a ? ? 4 ? 2 ? a ? 2 ? ?

解得: a ?

9 ; 4

Ii)当 a ? 2 ? a 时,也即 a ? 1 时, N ? (a, 2 ? a) ,要使 M ? N

解得: a ? ?

1 ; 4

9 1 或a ? ? . 4 4 18. 【 解 析 】( 1 ) 由 表 中 数 据 得 K 2 的 观 测 值
综上:实数 a 的取值范围为 a ?

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8? 50 K ? ? ? 5.024 , 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2 2

所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有 (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、 y 分钟,则 的区域为 ?

关; 基本事件满足

?5 ? x ? 7 (如图所示) , ?6 ? y ? 8

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为 x ? y

1 ?1?1 1 ∴由几何概型 P ? A? ? 2 ? ,即乙比甲先解答完的概 2? 2 8 19.【解析】 (I)∵BF ? 平面 ACE,AE ? 平面 ACE,∴BF ? AE,



1 . 8

又∵四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,∴BC ? AB, ∵平面 ABCD ? 平面 ACE,且平面 ABCD ? 平面 ACE=AB,BC ? 平面 ABCD, ∴BC ? 平面 ABE,∴BC ? AE,又∵BC ? BF=B,∴AE ? 平面 BCE.(5 分) (Ⅱ)以 A 为原点,垂直于平面 ABCD 的直线 AG 为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴, AD 所在直线为 z 轴, 如图所示建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

设 E (a, b, 0) ,则 AE ? (a, b,0) , AC ? (0, 2, 2) , BE ? (a, b ? 2,0) ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ? ? AE ? n ? 0 设平面 AEC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ???? ? , AC ? n ? 0 ? ? b ? ?ax ? by ? 0 ?x ? ? y 所以 ? ,即 ? a , ?2 y ? 2 z ? 0 ? ?z ? ? y ? 不妨令 y ? a ,得 n ? (?b, a, ?a) 是平面 EAC 的一个法向量, ?? 又因为平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) , (8 分) ?? ? ?? ? m? n |b| 3 2 2 由 | cos ? m, n ?|?| ?? ? |? ,化简得 a ? b ①, ? 2 2 3 | m|?| n| 2a ? b 又因为 AE ? 平面 BCE , BE ? 平面 BCE , ??? ? ??? ? 2 所以 AE ? BE ,所以 AE ? BE ? 0 ,即 a ? b(b ? 2) ? 0 ②, 联立①②,解得 b ? 0 (舍) ,或 b ? 1, 2 2 所以 a ? b ? 1 ,此时易得 AE ? BE ? 2 ,
所以 ?BAE ?

?

4

. (12 分)

20.【解析】 (I)由茎叶图可知,抽取的 12 人中成绩是“优良”的有 9 人,频率为 学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为

3 ,由题意可知,从该校 4

3 , 4

设事件 A 表示“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是“优良””,则

3 63 3 P( A) ? 1 ? C3 ? (1 ? ) 3 ? , 4 64
∴至少有 1 人成绩是“优良”的概率为

(Ⅱ)由题意可得, ? 的可能取值为 0,1,2,3.

63 . (6 分) 64

P(? ? 0) ?

3 1 2 C3 1 C9 C3 9 ? 3 27 ? , , P ( ? ? 1) ? ? ? 3 3 C12 220 C12 220 220

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:

1 3 C92C3 C9 36 ? 3 27 84 21 , ? ? P ( ? ? 3) ? ? ? . 3 3 C12 220 55 C12 220 55

?
P

0

1

2

3

1 220

27 220

27 55

21 55

所以 ? 的期望 E (? ) ? 0 ?

1 27 27 21 9 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . (12 分) 220 220 55 55 4

21.【解析】 (1)连结 A2 P ,则 A2 P ? A1P ,且 A2 P ? a ,又 A1 A2 ? 2a ,所以 ?A1 A2 P ? 60? . 所以 ?POA2 ? 60? ,所以直线 OP 的方程为 y ? 3 x .

3 a ( x ? a ) ,解得 xP ? . 3 2 2 2 x 4y 3 1 3 c 3 因为 e ? ,即 ? ,所以 c2 ? a 2 , b2 ? a 2 ,故椭圆 E 的方程为 2 + 2 ? 1 . a a 2 a 2 4 4 ? 3 a a y? ( x ? a) , ? (? ) ? PQ a ? 3 7 ?3. ? 2 由? 解得 xQ ? ? ,所以 2 2 QA 1 ? a ? (? a ) 4 7 ? x + 4y ?1 , 2 2 7 ?a a ?
(2)由⑴知,直线 A2 P 的方程为 y ? ? 3( x ? a) , A1P 的方程为 y ? ⑶不妨设 OM 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,

? y ? kx , a ak 1? k2 ? , ) ,所以 OB ? a 联立方程组 ? x 2 4 y 2 解得 B ( ; 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 2 + 2 ?1 , a ?a

2a 2ak 1 1? k2 代替上面的 k ,得 OC ? a .同理可得, OM ? , ON ? . 2 2 4?k k 1? k 1? k2 1 k 所以 S1 ? S2 ? ? OB ? OC ? OM ? ON ? a 4 ? .因为 2 4 (1 ? 4k )(4 ? k 2 )
用?

k (1 ? 4k 2 )(4 ? k 2 )

?

1 1 ≤ , 1 4(k 2 ? 2 ) ? 17 5 k
a4 5

当且仅当 k ? 1 时等号成立,所以 S1 ? S 2 的最大值为 22.【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为(0,+∞) ,

2 a a ? 1 x ? ax ? (a ? 1) ( x ? a ? 1)( x ?1) = , (1 分) ?1? 2 = x2 x x x2 当 a ≥-1 时,-( a +1)≤0,当 0< x <1 时, f ?( x ) <0,当 x >1 时, f ?( x ) >0, ∴ f ( x) 的增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1); 当-2< a <-1 时,0<-( a +1)<1,当 0< x <-( a +1)或 x >1 时, f ?( x ) >0,当-( a +1)< x <1 时, f ?( x ) <0,∴ f ( x) 的增区间为(0,-( a +1) ) , (1,+∞) ,减区间为(-( a +1),1); 当 a =-2 时, f ?( x ) ≥0,则 f ( x) 的增区间为(0,+∞) ; 当 a <-2 时,-( a +1)>1,当 1< x <-( a +1)时, f ?( x ) <0,当 0< x <1 或 x >-( a +1)时, f ?( x ) >0, ∴ f ( x) 的减区间为(1,-( a +1)),增区间为(0,1) , (-( a +1),+∞).(5 分) 综上所述,当 a <-2 时, f ( x) 的减区间为(1,-( a +1)),增区间为(0,1) , (-( a +1),+∞) ; 当 a =-2 时, f ( x) 的增区间为(0,+∞) ; 当-2< a <-1 时, f ( x) 的增区间为(0,-( a +1) ) , (1,+∞) ,减区间为(-( a +1),1); 当 a ≥-1 时, f ( x) 的增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1).(6 分)

∵ f ?( x ) =

(Ⅱ)由题知, h?( x) ?

2e x ?1 ( x ? 1) ? ,当 0< x <1 时, h ( x) <0,当 1< x <2 时, h?( x ) >0,故 h( x) 2 x 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,故 h( x)min ? h(1) ? a ? 2 ,
(8 分)

由题知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? 2 ,

由(Ⅰ)知,要使 f ( x) 有两个极值点,即 f ?( x ) =0 在(0,+∞)上有两解,则 a < ? 1 且 a ? ?2 ;

当 a <-2 时, f ( x) 的减区间为(1,-( a +1)),增区间为(0,1) , (-( a +1),+∞) ,故 f ( x) 在 x =1 处取极大 值 f (1) = a ? 3 ,在 x =-( a +1)处取极小值 f [?(a ? 1)] = a ln[?(a ? 1)] ? a ? 1 ; 当-2< a <-1 时, f ( x) 的增区间为(0,-( a +1) ) , (1,+∞) ,减区间为(-( a +1),1),故 f ( x) 在 x =1 处取 极小值 f (1) = a ? 3 ,在 x =-( a +1)取极大值 f [?(a ? 1)] = a ln[?(a ? 1)] ? a ? 1 . 由题知, f (1) + f [?(a ? 1)] = a ? 3 + a ln[?(a ? 1)] ? a ? 1 > a ? 2 , (11 分) ∴ a ln[?(a ? 1)] ? a >0,即 ln[?(a ? 1)] ? 1 ? ln e ,∴ 0 ? ?(a ? 1) ? e ,解得 ?1 ? e < a < ? 1 且 a ? ?2 , 综上所述,实数 a 的取值范围为( ?1 ? e ,-2)∪(-2,-1).(12 分)


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