贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座: 几何不等式_图文

花溪第二中学八年级竞赛讲座几何不等式
1.三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础,这种不等关系分为两类:一类是在同一三角 形中进行比较;一类是在两个三角形中比较.这里主要 方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形 或适当安排在两个三角形之中.
2.在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明,常有以下定理: (1)三角形任何两边之和大于第三边. (2)三角形任何两边之差小于第三边. (3)三角形的一个外角大于任 何一个与它不相邻的内角. (4)同一三角形中大边对大角. (5)同一三角形中大角对大边. 例题求解 【例 1】 如图 19-2,在等腰梯形 ABCD 中,A∥BC,AB=CD,E、F 分别在 AB、CD 上且 AE=CF.求证: EF ? 1 (AD ? BC) .
2
思路点拨 如图所示,延长 AD 至 D1 使 DD1=BC,延长 BC 至 Cl,使 CCl =AD,连结 ClDl,则 ABC1Dl 是平行四 边形,ABCD 和 CDDlCl 是两个全等的梯形,在 D1C1 上取一点 G 使 D1G=AE,连结 FG 和 EG.
由 AE=CF,则 EF=FG,又 EG=AD1=AD+BC, ∴ 2EF=EF+FG≥EG=AD+BC. 即 EF ? 1 (AD ? BC) .
2 注 当且仅当点 F 落在 EG 上时,即 E 为 AB 的中点时,结论中的等号成立.证明这类不等式的一个常 用方法是能过添加辅助线,把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中,或者适当地安排在两个三角形 中,以便应用上述基本不等式关系. 【例 2】 如图 19-3,△ABC 中,AB>AC,BE、CF 是中线,求证:B E>CF.
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思路点拨 将 BE、CE 分别平移到 FG、FD,则四边形 EFDC 为平行四边形,作 FH⊥BC 于 H. ∴AB>AC,且 F,E 分别为 AB、AC 的中点,∴ FB>CE.
∴ FB>FD,由勾股定理得:HB>HD,即 FB>FD. 又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH, 即 GH>CH, ∴ GF>CF. 即 BE>CF.
【例 3】 如图 19-4,在等腰△ABC 中,AB=AC,D 为形内一点,∠ADC>∠ADB, 求证:DB>DC.
思路点拨 把△ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转△BAC 至△ACD′,连接 DD′,则 AD=AD'. ∴∠ADD′ =∠AD′D,而∠ADC>∠ADB, ∴ ∠ADC>∠AD′C, ∴ ∠ADD′+∠D′DC>∠AD′D+∠CD′D ∴ ∠D'DC>∠DD'C. ∴ CD′>DC,即 DB>DC. 注 几何图形在平移、对称、旋转变换中,只是图形位置发生变化,而线段的长度、角的大小不变.
【例 4】 如图 19-5,在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,且 2 b < a +c,求证:2∠B< ∠A+∠C. 思路点拨 延长 BA 到 D,使 AD=BC= a,延长 BC 到 E,使 CE=AB=,连结 DE,
这就把图形补成一个等腰三角形,即有 BD=BE= a + c. ∴∠BDE=∠BED. 作 DF∥AC,CF∥AD,相交于 F,连结 EF,则 ADFC 是平行四边形. ∴CF=AD=BC. 又∠FCE=∠CBA,∴△FCE≌△CBA ∴ EF=AC= b.
于是 DE≤DF+EF=2 b < a+c=BD=BE. 这样,在△BDE 中,便有∠B<∠BDE=∠BED
∴ ∠2B<∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C, 即 2∠B<∠A+∠C.
【例 5】 过三角形的重心任作一直线,把这个三角形分成两部分,求证:这两部分面积之差不大于整个
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三角形面积的 1 . 9
思路点拨 如图 19-6,设△ABC 重心为,过点 G 分别作各边的平行线与各边交点依次为 A1、B1、B2、 C1、C2、A2
连结 A1A2;B1B2、C1C2, ∵ 三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍, ∴ A1A=A1Bl=B1B, BB2=B2Cl=C1C,CC2=C2A2=A2A.
∵ A1A2∥BC,B1B2∥AC,C1C2∥AB, ∴ 图中的 9 个三角形全等.
即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌…≌△C2ClC. 所以上述 9 个小三角形的面积均等于△ABC 面积的 1 .
9 若过点 C 作的直线恰好与直线 A1C1、B1C2、B2A2 重合,则△ABC 被分成的两部分的面积之差等于一个小 三角形的面积,即等于△ABC 面积的 1 .
9 若过点 C 作的直线不与直线 A1C1、B1C2、B2A2 重合,不失一般性,设此直线交 AC 于 F,交 AB 于 E,交 C1C2 于 D, ∵ GBl=GC2,∠EB1G=∠DC2C,∠B1GE=∠C2GD, ∴ △B1GE≌△C2GD.
∴ EF 分△ABC 成两部分的面积之差等于 S?C2DF ? S四边形DFCC1 , 而这个差的绝对值不会超过 S△C1C2C 的面积. 从而 EF 分△ABC 成两部分的面积之差不大于△ABC 面积的 1 . 9 综上所述:过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的 1 . 9
【例 6】 如图 19-12,在△ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 A B 上,求证: S?PQR ? 2 . S ?ABC 9
思路点拨 易想到作△ABC 和△PQR 的高,将三角形的面积比化成线段的乘积比,并利用平行线截 线段成比例定理,把其中两条高的比转换成三角形边上 线段的比.

如图 19-12,作 CL⊥AB 于 L,RH⊥PQ 于 H,则 S?PQR ? PQ ? RH ? PQ ? AR . S ?ABC AB ? CL AB ? AC

不妨设△ABC 的周长为 1,则 PQ= 1 ,AB< 1 ,

3

2

∴ PQ ? 2 . AB 3

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∵AP≤AP+BQ=AB—PQ< 1 ? 1 ? 1 , 23 6

∴AR= 1 —AP> 1 - 1 ? 1 .

3

3 66

又 AC< 1 ,从而 AR ? 1 ,∴ S?PQR ? 2 ? 1 ? 2 .

2

AC 3

S ?ABC 3 3 9

【例 7】 (2000 年江苏省初三竞赛题)如图 19-13,四边形 A BCD 中,AB=BC,∠ABC=60°,P 为四边形 ABCD

内一点,且∠APD=120°.

证明:PA+PD+PC≥BD.

思路点拨 在四边形 ABCD 外侧作等边三角形 AB′D,由∠APD=120°可证明 B'P=AP+PD.易知 B' C≥

PB'+PC.得 B' C≤AP+PD+PC.下证 BD= B'C.

∵△AB'D 是等边三角形,∴ AB'=AD,∠B'AD=60°,又易知△ABC 是等边三角形,故 AC=AB,∠BAC=60°,

于是△AB'C≌△ADB,∴ B'C= DB.

【例 8】



h

a



hb



hc

是锐角△ABC

三边上的高,求证:

1 2

?

ha ? hb ? hc a?b?c

?1.

思路点拨 如图 19-14, 在 Rt△ADC 中,由于 AC>AD,故 b ? ha ,

同理可证 c ? hb , a ? hc

∴ ha

? hb

? hc

? a ? b ? c ,即 ha ? hb ? hc a?b?c

?1



设△ABC 的垂心为 H 点,

由于 HA+HB>AB,HB+HC>BC,HC+HA>AC,即 HA+HB+HC> 1 (a ? b ? c) . 2

从而 ha

? hb

? hc

?

HA ? HB ?

HC

?

1 2

(a ? b ? c)



即 ha ? hb ? hc ? 1 a?b?c 2



由①、②得 1 ? ha ? hb ? hc ? 1. 2 a?b?c

学历训练

(A 级)

1.在△ABC 中,AD 为中线,AB=7,AC=5,则 AD 的取值范围为



2.(安徽省数学竞赛)已知在△ABC 中,∠A≤∠B≤∠C,且 2∠B=5∠A,则 AB 的敢值范围是



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3.(太原市初中数学竞赛试题)用长度相等的 100 根火柴棍,摆放成一个三角形,使最大边的长度是最小

边长度的 3 倍,求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数



4.(全国高中理科试验班招生数学试题)面积为 1 的三角形中,三边长分别为 a、b、c,且满足 a≤b≤c,

则 a+b 的最小值是



5.(江苏数学竞赛培训题)在任意△ABC 中,总存在一个最小角α ,则这个角α 的取值范围为



(B 级)

1.如图 19-16,△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 上任一点,BE、CF 交于 P,求证:PE+PF<AE+AF.

2.如图 19-17,等线段 AB、CD 交于 O,且∠AOC=60°,求证:AC+BD≥AB. 3.如图 19-18,矩形 ABCD 中,E、F 别是 AB、CD 上的点,求证:EF<AC. 4.已知 a、b、x、y 均小于 0, x 2 ? y 2 ? 1,求证: a2 x2 ? b2 y 2 ? a2 y 2 ? b2 x2 ? a ? b . 5.如图 19-19,在△ABC 中,∠B=2∠C,求证:AC<2AB.
6.平面上有 n 个点,其中任意三点构成一个直角三角形,求 n 的最大值. 7.如图 19-20,已知△ABC 中 AB>AC,P 是角平分线 AD 上任一点,求证:AB-AC>PB—PC.
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