2014届上海市崇明县高三二模数学【文】试题及答案(官方版)

上海市崇明县 2014 届高三第二学期 4 月模拟考试 数学文试题
考生注意: 1.每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置,写在试卷上或 答题纸上非规定位置一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.经过点 A (1, 0) 且法向量为 n ? (2, ? 1) 的直线 l 的方程是 .
B?

? 1 ? 2.已知集合 A ? ? x | ? 1, x ? R ? ,集合 B 是函数 y ? lg ( x ? 1) 的定义域,则 A ? x ?

. .

3.方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 m 取值范围是 m?2 4

4.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, Sn (n ? N * ) 表示数列 ?an ? 的前 n 项和, 则 lim 5.在 ( x ?

Sn ? n ?? n ? 1
2

. .(结果用数值作答)

1 5 ) 的展开式中,含 x 2 项的系数等于 x2
.

6.方程 sin x ? cos x ? ?1 的解集是

7.实系数一元二次方程 x2 ? ax ? b ? 0 的一根为 x1 ?

3?i (其中 i 为虚数单位),则 1? i

a?b ?

. .

8.已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 的反函数为 y ? f ?1 ( x) ,则 f ?1 ( x) ? 0 的解集是
1

9.某高中共有学生 1000 名,其中高一年级共有学生 380 人,高二年级男生有 180 人.如果在全校学 生中抽取 1 名学生,抽到高二年级女生的概率为 0.19,现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取 100 人,则应在高三年级中抽取的人数等于 .

10.已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 的高与球 O 直径相等,则它们的体积 之比 V圆柱 : V球 ? (结果用数值作答). .

11. △ABC 中, a ? 5, b ? 3, sin C ? 2sin A ,则 cos C ?

? ? 2ax ? 1 x ? ? 0,1? 12.如果函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? log 2 x ,关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ? ?3ax ? 1 x ? ?1, ?? ?

对于任意 x ? (0, ? ?) 恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

?x ≥ 0 ?y≥0 ? 13.设 P 为不等式组 ? 表示的区域内的任意一点, m ? (1,1) , n ? (2,1) , ? x ? y ≥ ?1 ? ?x ? y ≤ 3

若 O 为坐标原点, OP ? ? m ? ? n ,则 2? ? ? 的最大值等于

.

14.已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ≤ 0 的解集有且只有一个 元素;②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.设数列 ?an ? 的前 n 项 和为 S n ,且 Sn ? f (n) .规定:各项均不为零的数列 ?bn ? 中,所有满足 bi ? bi ?1 ? 0 的正整数

i 的个数称为这个数列 ?bn ? 的变号数.若令 bn ? 1 ?
于 .

a ( n ? N * ),则数列 ?bn ? 的变号数等 an

二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
2

15.给出下列命题,其中正确的命题是…………………………………………………( A.若 z ? C ,且 z 2 ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数 B.若 z1 、 z2 ? C 且 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 C.若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立 D.若 x ? C ,则方程 x 3 ? 2 只有一个根
2

)

? z2

16.已知 ?: x ≥ a , ?: x ? 1 ? 1 .若 ? 是 ? 的必要非充分条件,则实数 a 的取值范 围是…( A. a ≥ 0 ) B. a ≤ 0 C. a ≥ 2 D. a ≤ 2

17.将右图所示的一个直角三角形 ABC ( ?C ? 90? )绕斜边 AB 旋转一周, 所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的…………………( )

A 18.某同学对函数 f ( x) ?

B

C

D

sin x 进行研究后, 得出以下五个结论: ①函数 y ? f ( x) 的图像是轴对称图形; x ②函数 y ? f ( x) 对任意定义域中 x 值,恒有 f ( x) ? 1 成立;③函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴有无穷
多个交点,且每相邻两交点间距离相等;④对于任意常数 N ? 0 ,存在常数 b ? a ? N ,函数
y ? f ( x) 在 ? a, b? 上单调递减,且 b ? a ≥1 ;⑤当常数 k 满足 k ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的图像与直

线

y ? kx 有 且 仅 有 一 个 公 共 点 . 其 中 所 有 正 确 结 论 的 个 数

是………………………………………………………………………………………( A.5 B.4 C.3 D.2

)

三、解答题(本大题共有 5 小题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤.
3

19.(本题满分 12 分)本题共有2个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是矩形, AB ? 1 , BC ? 2 , AA1 ? 2 , E 是 侧棱 BB1 的中点. (1)求四面体 A ? A1 ED 的体积; (2)求异面直线 AE 与 B1 D 所成角的大小.(结果用反三角函数表示)

20.(本题满分 14 分)本题共有2小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB ,其中 O 为扇形 OAB 所在圆的圆心,
?AOB ? 60? , 扇形绿地 OAB 的半径为 r .广场管理部门欲在绿地上修建观光小

路:在 AB 上选一点 C ,过 C 修建与 OB 平行的小路 CD ,与 OA 平行的小路

CE ,且所修建的小路 CD 与 CE 的总长最长.
(1)设 ?COD ? ? ,试将 CD 与 CE 的总长 s 表示成 ? 的函数 s ? f (? ) ; (2)当 ? 取何值时, s 取得最大值?求出 s 的最大值.

4

21.(本题满分 14 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 6 分. 设 f ( x) ? log 1
1 ? ax ? x 为奇函数, a 为常数. 2 x ?1

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f ( x) 在 x ? (1, ? ?) 上的单调性,并说明理由;

1 (3)若对于区间 ?3, 4? 上的每一个 x 值,不等式 f ( x) ? ( ) x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 平 面 直 角 坐 标 系 x o y中 , 已 知 点 (n, an ) (n ? N *) 在 函 数 y ? ax ( a ≥ 2, a ? N)的 图 像 上 , 点
( n ,bn )(n ? N * )在直线 y ? (a ? 1) x ? b (b ? R) 上.

(1)若点 (1, a1 ) 与点 (1, b1 ) 重合,且 a2 ? b2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:当 a ? 2 时,数列 ?an ? 中任意三项都不能构成等差数列; (3)当 a ? 2, b ? 1 时,记 A ? x | x ? an , n ? N ? , B ? x | x ? bn , n ? N ? ,设 C ? A 素按从小到大的顺序排列组成数列 ?cn ? ,写出数列 ?cn ? 的通项公式 c n .

?

?

?

?

B ,将集合 C 的元

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. 已知椭圆 C1 :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,且其右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重 2 2 a b

合,过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 P, Q 两点. (1)求椭圆 C1 的方程;
5

(2)设 O 为坐标原点,线段 OF 上是否存在点 N (n, 0) ,使得 QP ? NP ? PQ ? NQ ?若存在,求出 n 的取 值范围;若不存在,说明理由; (3)过点 P0 (4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A, B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为 E ,试证明: 直线 AE 过定点.

2014 年崇明县高考数学(文科)二模卷
一、填空题 1. 2 x ? y ? 2 ? 0 【解析】(探究性理解水平∕直线的一般式方程)设直线 l 方程为 y ? kx ? b ,由直线

l 过 A(1, 0) ,则 k ? b ? 0 ,又法向量为 n ? (2, ?1) ,所以 k ? 2 , b ? ?2 ,直线 l 的方程为:

2x ? y ? 2 ? 0 .
2. (?1,0)

(1, ??) 【 解 析 】 ( 探 究 性 理 解 水 平 ∕ 集 合 的 交 集 ) 由 题 得 A ? { x | x ? 1或 x ? 0} ,

B ? {x | x ? ?1} ,所以 A B ? (?1,0) (1, ??) .
3. (??, ?2) 【解析】(探究性理解水平∕双曲线的标准方程和几何性质)因为此方程表示双曲线,焦点 在 y 轴上,由双曲线的标准方程知 m ? 2 ? 0 ,所以实数 m 的取值范围为 (??, ?2) . 4. 1 【解析】(探究性理解水平∕数列的极限、等差数列的前 n 项和)由题得 Sn ? n ,所以
2

lim ?
n ??

Sn n2 1 ? lim ? lim ?1. 2 2 n ?? n ?? 1 n ?1 n ?1 1? 2 n
1 5 0 5 1 0 ) ? C5 x ( 2) 2 x x

5. 5【解析】(探究性理解水平∕二项式定理)由题得 ( x ?
4 ?C1 5x (

1 1 ) ? x2

0 ? C5 5x (

1 5 ) ,含 x 2 项的系数等于 C1 5 ?5. 2 x
6

6. {x | x ? 2kπ ? 得 sin x ? cos x ?

π 或 x ? 2kπ ? π, k ? Z} 【解析】(探究性理解水平∕诱导公式、两角和的正弦)由题 2
π π 5π 7π π 2 2 sin( x ? ) ? ?1 ,sin( x ? ) ? ? (k ? Z) , ,x ? ? 2kπ ? 或 2 kπ + 4 4 4 4 4 2

得 x ? 2kπ ? π 或 2kπ ?

3 π π (k ? Z) 即 x ? 2kπ ? 或 x ? 2kπ ? π,(k ? Z) ,所以方程的解集为 2 2

{x | x ? 2kπ ?

π 或 x ? 2kπ ? π, k ? Z} . 2
3?i 3?i ? 3?i ? 代入方程,得: ? +a +b=0, ? 1? i 1? i ? 1? i ?
2

7. 1【解析】(探究性理解水平/复数的四则运算)将 x1 ?

化简为 3 ? 4i= ? 2a ? b+ai,所以 ?

??2a ? b ? 3 ?a ? ?4 .则 a+b=1. ?? ? b?5 ? a ? ?4
f(x)= 2 x +1,则其反函数为 y= log2 ? x ?1? . 又 y ? f ?1 ? x ? .

8.(1,2) 【解析】 (探究性解释水平/反函数) 则f
?1

? x ? <0 ? log2 ? x ?1? <0,且 x ? 1 ? 0 ,? 解集为(1,2).

9. 25【解析】(探究性理解水平/分层抽样)由题意,高二年级女生有 190 人,则高一年级共有学生 380 人,高二年级共有学生 370 人,所以高三年级共有学生 250 人.根据分层抽样,设应在高三年级 中抽取 x 人,所以 10.

100 x ? . 得 x=25,则应在高三年级中抽取 25 人. 1000 250

3 【解析】(探究性理解水平/圆柱、球的体积)设圆柱的高为 h,底面圆半径为 r,球的半径为 R. 2 3 4 3 2 3 由题意,r=R,h=2R,所以 V圆柱 =h πR =2 πR , V球 = πR .则 V圆柱 : V球 = . 2 3
11. ?

5 【解析】(探究性解释水平/正弦定理和余弦定理) sinC=2sinA,a= 5 ,b=3. 5

由正弦定理得:c=2a=2 5 ,再由余弦定理得 cosC=

a 2 ? b2 ? c2 5 =? . 2ab 5

12. [ , ] 【 解 析 】 ( 探 究 性 理 解 水 平 / 对 数 的 性 质 , 分 式 不 等 式 的 求 解 ) 当 x ? (0,1] ,

1 1 3 2

(2ax ?1)log2 x ? 0 ,当 x ? (0,1] , log2 x ? 0 ,即 2ax ? 1 ? 0 ,则 2a ?1 ? 1 ? 0 ,
当 x ? (1, ??) , (3ax ?1)log2 x ? 0 ,当 x ? (1, ??) , log2 x ? 0 ,
7

即 3ax ? 1 厖0,3a ?1 ? 1

0?a

1 1 1 .? a ? [ , ] . 3 2 3

13.5 【 解 析 】 ( 探 究 性理 解 水 平 / 线 性 规 划 求 最值 , 平 面 向 量 的 坐 标 运算 ) 设 P 为 ( x, y ) , 则

? ? ? x? y ?? ? 2? ? ? ? 3 y ? x , OP ? ( x, y) ? ? m? ? n? (? ? 2? ,? ? ? ) ?? ? 2 y ? x
令 3y ? x ? z ? y ?

1 1 x ? z .由图像可知,取 (1, 2) 点, ? z ? 5 . 3 3

第 13 题图 14.3 【解析】(解释性理解水平/探究性理解水平/数列的概念,函数的解函数的单调性,分段函数的
2 2 性质) ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0或a ? 4 , 当 a ? 0 时, f ( x) ? x , 当 0 ? x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

与已知条件矛盾,? a ? 4 , S1 ? 1 ,当 n ? 1 时 Sn ? n2 ? 4n ? 4, Sn?1 ?

? ?3, n ? 1 ? , n ? 1, 2, 4 时 {bn }有 3 个变号数,当 n ? 4 , n ? 6n ? 9 ? an ? 2n ? 5(n ? 1) ? bn ? ? 2n ? 9 , n ? 1 ? ? 2n ? 5
2

{bn }恒正.所以有三个.
二、选择题 15.A【解析】(探究性理解水平/复平面)设复数 z ? a ? bi :则

?a 2 ? b 2 ? 0 z 2 ? a 2 ? b2 ? 2abi ? 0 ,即 ? ,故 a ? 0 , b ? 0 所以 A 正确;因为复数本身不能比较大 2 ab i ? 0 ?
小,故 B 错误;

z ? R,? z ? z ,? z z ? z 成立,故 C 也错误;令 x ? a ? bi ,当 b ? 0 时, x3 ? 2
3

2

的解为 3 2 ,当 b ? 0 时,有 ? a ? bi ? ? 2 ,展开得

8

?a3 ? 3ab2 ? 2 1 2 ? 1? a ? ? 3a b ? b ? i ? 3ab ? 2 ,则有 ? ,解得 a ? 3 ? , b ? 3 3 ? ? ? ,故 2 3 4 ? 4? ?3ab ? b ? 0
2
3 2 3 2

x3 ? 2 有三个解,所以 D 错误.
16.B【解析】(解释性理解水平/充分条件、必要条件)因为 ? 是 ? 的必要非充分条件,则 ? 的解集是

? 解集的子集, ? ? ?0 ? x ? 2? ,所以 a ? 0 .
17.B【解析】(解释性理解水平/三视图)由题目可知,旋转的图形为两个圆锥的组合体,且同底面, 故其正视图为 B 选项所对应的图形. 18.C【解析】(解释性理解水平/函数的基本性质、函数的应用、任意角的三角比)依题意知 f ? x ? 的定 义域为 ? ??,0?

? 0, ??? , f ? ? x ? ?

sin ? ? x ? sin x ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 为偶函数,关于 y 轴对 ? x ?x

称,故①正确;根据正弦值在单位圆中的定义可知, sin x ? x ,即在

x ? ? 0,1? 有

sin x sin x ? 1,又因为 sin x ? 1 ,所以在 x ? ?1, ?? ? 有 ? 1 .又因为 f ? x ? 为 x x sin x ? 1 ,故②正确;函数 f(x)的图像与 x 轴的交点坐标为(kπ,0)(k≠ x
1 , x

偶函数,所以在其定义域内有

0),∴交点(-π,0)与(π,0)的距离为 2π,而其余任意两点之间的距离为π,故③错误;令 h1 ( x) ?

π 3π h2 ( x) =sinx, h1 ( x) 与 h2 ( x) 在 [ ? 2kπ, ? 2kπ] 上均单调递减, 2 2 π 3π ? 2kπ] 上单调递减,对于任意常数 N ? 0 ,存在常数 ∴ h(x)= h1 ( x) · h2 ( x) ,∴ h(x) 在 [ ? 2kπ, 2 2 π 3π b ? a ? N ,a,b∈ [ ? 2kπ, ? 2kπ] ,函数 y ? f ( x) 在 ? a, b? 上单调递减,且 b ? a ≥1 ,故④正确; 2 2 3π 2 ∵f(π)= f(2π)=0, f ( ) ? ? ,∴当 x∈(0,2π]时 f(x)的图像如图所示, 2 3π 2 ? 3π 2 4 4 ? ) ,∴当 ? 2 <k<0, y=kx 与 f(x)的图像 ∴当 k= 3π ? ? 2 时,y=kx 切 f(x)的图像于点 ( , 3π 9π 2 3π 9π 2
有 2 个交点,故⑤错误.故正确的为①②④,为 3 个,选 C.
9

第 18 题图 三、解答题 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 【解】(探究性理解水平/几何体的直观图,三棱锥的体积,异面直线所成角)(1)因为

1 1 2 S△A1 AD ? ? 2 ? 2 ? 2, 所以 VA? A1ED ? VE ? A1 AD ? Sh ? .(2)取 CC1 中点 F ,联结 DF , B1F . 2 3 3
因为 DF / / AE ,所以 DF 与 B1D 所成的角的大小等于异面直线 AE 与 B1D 所成的角的大小.在 所以 cos ?B1DF ? △B1DF 中, B1D ? 7 ,DF ? 2 , B1F ? 3 ,

DF 2 ? DB12 ? B1F 2 3 14 , ? 2DF DB1 14

所以异面直线 AE 与 B1D 所成的角为 arccos

3 14 . 14

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 【解】 (探究性理解水平/正弦定理, 正弦函数的最值, 两角和与差的正弦) 设扇形的半径为 r .(1) 在 中 ,

△ODC

r ? s ? iC n D
.

C O ? s

D



2 3 ? CD ? r sin ? iC n O D 3







CE ?

2 3 π r sin( ? ? ) 3 3

? s ? f (? ) ?
π

2 3 2 3 π 2 3 π r sin ? ? r sin( ? ? ) ? r sin(? ? ) 3 3 3 3 3
π π π π 2π

? ? ? 0, ? .(2) s ? r sin(? ? ) , ? ? (0, ) . ? ? (0, ), ?? ? ? ( , ), 3 3 3 3 3 3 3 ? 3?
? 当? ?
π π π π 2 3 ? ,即 ? ? 时, smax ? f ( ) ? r. 6 3 2 6 3
10

?

π?

2 3

21.(本题满分 14 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 6 分. 【解】 (探究性理解水平/对数的函数性质,函数的奇偶性,单调性,不等式恒成立问题) (1)

f ( x) ? log 1

1 ? ax ? x 为 奇 函 数 , ? f ( ? x) ? f ( x) ? 0 对 定 义 域 内 的 任 意 x 都 成 立 , 2 x ?1

? log 1

1 ? ax 1 ? ax 1 ? ax 1 ? ax ? 1 ,解得 a ? ?1 或 a ? 1 (舍去). ? x ? log 1 ? x ? 0 ,? ?x ?1 x ?1 2 ? x ?1 2 x ?1

故 a ? ?1 .(2) 由 (1) 知 :

1? x f ( x) ? l o 1 g ? x , 任 取 x1 , x2 ? (1, ??) , 设 x1 ? x2 , 则 : x ? 1 2

1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 2 (x2 ? x1 ) 1 ? x1 1 ? x2 ? ? 0 ,? log 1 ? ? ?0 ,? ? log 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1) ( x2 ? 1) 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1

? log 1

1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? log 1 ? x2 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,? f ( x) 在 x ? (1, ??) 上是增函数. 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1
1 2

1 y ? ( ) x 在x ? [3, 4] 上是减函数,? 由(2)知, 2 1 15 g ( x) ? f ( x) ? ( ) x , x ? [3, 4] 是增函数,? g ( x) min ? g (3) ? , 对于区间 [3, 4] 上的每一个 x 8 2 1 x 值,不等式 f ( x ) ? ( ) ? m 恒成立,即 m ? g ( x) 恒成立,? m ? g ( x)min 2 15 ?m ? . 8
x (3)令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ) , x ? [3, 4] ,

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 【解】 ( 探 究 性 理 解 水 平 / 等 差 数 列 通 项 公 式 及 其 性 质 , 二 项 式 定 理 ) (1) 因 为 a1 ? b1 , 所 以

a ? a ?1 ? b, b ? ?1 , 由 a2 ? b2 ,得 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,所以 1 ? 2 ? a ? 1 ? 2 , 因为 a …2 且 a ? N? ,
所以 a ? 2 ,所以 bn ? 3n ? 1 , {bn }是等差数列, (2)由题意,得: an ? 2n (n ? N ? ) ,(反证法)假设存在数 列 {an } 中的三项 2
p

,2

q

,2

r

成等差数列,其中 p, q, r ? N? , p ? q ? r ,则 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,
q p r



等式右边为奇数, 所以等式不 2q? p ? N ? , 2r ? p ? N * ,所以 2 ? 2q ? p ? 1 ? 2r ? p ,因为等式左边为偶数, 成 立 , 所 以 假 设 不 成 立 . 所 以 数 列 {an } 中 的 任 意 三 项 都 不 能 构 成 等 差 数 列 .(3) 当 a ? 2, b ? 1
11

时 , an ? 2n , bn ? 3n ? 1 , n ? N

?

, 设 m0 ? C , 则 m0 ? A 且 m0 ? B , 设 m0 ? 2t (t ? N * ) ,

m0 ? 3s ? 1(s ? N * ) ,则 2t ? 3s ? 1 ,
t ?1 ? (?1) ? 2t ? 1 (3 ? 1)t ? 1 3t ? C1 t3 ? ? 所以 s ? 3 3

? Ctt ?1 3 ? (?1)t ?1 ? (?1)t ? 1 , 3

因为 t , s ? N? ,所以当且仅当 t 为偶数时上式才能成立.当 t 为偶数时,
t ?1 2t ? (3 ?1)t ? 3t ? C1 ? (?1) ? t3

? Ctt ?13 ? (?1)t ?1 ? (?1)t ? 3k ?1, k ? N *
n *

所以 at ? B ,所以 C ? { y | y ? 4 , n ? N ) ,所以 cn ? 4n (n ? N * ) . 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. 【解】 (探究性理解水平/椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系)

9 ? ? 1 ?a 2 ? 4 x2 y 2 ? ? 4 ?1 ? ? ?1; (1)由题意,得: F (1, 0) ,所以 ? 2 , 解得 ? 2 ,所以椭圆的方程为: 2 a b 4 3 ?b ? 3 ? ? 2 2 ? ?a ? b ? 1
(2) 设 直 线 PQ 的 方 程 为 : y ? k ( x ? 1), (k ? 0) , 代 入

x2 y 2 ? ?1 , 得 : 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ? ? (?8k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4k 2 ?12) ? 0 恒成立.
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 线段 PQ 的中点为 R( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x2 4k 2 3k ? , y0 ? k ( x0 ? 1) ? ? , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

由 QP ? NP ? PQ ? NQ 得: PQ ? (NQ ? NP) ? PQ ? (2NR ) ? 0 , 所以直线 NR 为直线 PQ 的垂直平分线,直线 NR 的方程为:

k2 1 3k 1 4k 2 ? y? ? ? (x ? ) ,令 y ? 0 得: N 点的横坐标 n ? , 2 2 2 3 3 ? 4k 3 ? 4k k 3 ? 4k ? 4 k2
因为 k ? (0, ??) , 所以
2

3 1 ? 4 ? (4, ??) ,所以 n ? (0, ) . 2 k 4
12

所以线段 OF 上存在点 N ( n, 0) 使得 QP ? NP ? PQ ? NQ ,其中 n ? (0, ) . (3)证明:设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4), (k ? 0) ,代入

1 4

x2 y 2 ? ? 1 ,得: 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 ,
由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 ,得: k ? ( ? 设 A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ), E( x4 , ? y4 ) ,则 x3 ? x4 ?

1 1 , ), 2 2

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? ,则直线 AE 的方程为 3 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

y ? y3 ?

y3 ? y4 ( x ? x3 ) ,令 y ? 0 得: x3 ? x4 x3 ? x4 x y ?x y x ? k ( x4 ? 4) ? x4 ? k ( x3 ? 4) ? x3 ? 3 4 4 3 ? 3 y3 ? y4 y3 ? y4 k ( x3 ? x4 ? 8)

x ? ? y3 ?

?

2 x3 x4 ? 4( x3 ? x4 ) ? x3 ? x4 ? 8

2

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 1 ,所以直线 AE 过定点 (1, 0) . 32k 2 ?8 3 ? 4k 2

13


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