高一数学必修2《直线、平面平行地判定及其性质》练习题

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高一数学必修 2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题
第 1 题. 已知? ? ? a , ? ? ? m ,? ? ? b ,且 m//? ,求证: a//b .

答案:证明:

? ? ? m?

?

m//?

? ?

?

m//a

? ?

?

a//b



? ? ? a ?? 同理 ? m//b??

?

b ??

m

a

第 2 题. 已知:? ? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是( )

A. a//b C. a , b 相交但不垂直

B. a ? b D. a , b 异面

答案:A.

第 3 题. 如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD所在平面外的一点,E ,F 分别是 PA ,BD 上的点且 PE∶EA ? BF∶FD ,求证: EF//平面 PBC .
P E

D

C

F A
B

答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M .连结 PM ,

∵ AD//BC ,∴ BF ? MF ,又由已知 PE ? BF ,∴ PE ? MF .

FD FA

EA FD EA FA

由平面几何知识可得 EF// PM ,又 EF ? PBC , PM ? 平面 PBC ,

∴ EF//平面 PBC .

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第 4 题. 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E1F1 是平面 A1C1 上的线段,求证:E1F1// 平

面 AC .

D1

F1

C1

A1

E1

B1

D A

C B

答案:证明:如图,分别在 AB 和 CD 上截取 AE ? A1E1 , DF ? D1F1 ,连接 EE1 , FF1 , EF . ∵长方体 AC1 的各个面为矩形,

∴ A1E1 平行且等于 AE , D1F1 平行且等于 DF ,

故四边形 AEE1A1 , DFF1D1 为平行四边形.

∴ EE1 平行且等于 AA1 , FF1 平行且等于 DD1 .

∵ AA1 平行且等于 DD1 ,∴ EE1 平行且等于 FF1 ,

四边形 EFF1E1 为平行四边形, E1F1//EF .

∵EF ? 平面 ABCD, E1F1 ? 平面 ABCD,

∴ E1F1// 平面 ABCD.

D1

F1

C1

A1

E1

B1

D A
E

F C
B

第 5 题. 如图,在正方形 ABCD中,BD 的圆心是 A ,半径为 AB ,BD 是正方形 ABCD的
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对角线,正方形以 AB 所在直线为轴旋转一周.则图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋转所得几何体的

体积之比为



D A



Ⅱ Ⅲ

B

C

答案:1∶1∶1

第 6 题. 如图,正方形 ABCD的边长为13 ,平面 ABCD外一点 P 到正方形各顶点的距离 都是13 , M , N 分别是 PA , DB 上的点,且 PM∶MA ? BN∶ND ? 5∶8 . (1) 求证:直线 MN// 平面 PBC ; (2) 求线段 MN 的长.
P

M D N

C

E

A B

(1) 答案:证明:连接 AN 并延长交 BC 于 E ,连接 PE , 则由 AD//BC ,得 BN ? NE .
ND AN ∵ BN ? PM ,∴ NE ? PM .
ND MA AN MA ∴MN//PE ,又 PE ? 平面 PBC , MN ? 平面 PBC , ∴ MN// 平面 PBC . (2) 解:由 PB ? BC ? PC ?13,得 ?PBC ? 60? ;
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由 BE ? BN ? 5 ,知 BE ? 5 ?13 ? 65 ,

AD ND 8

8

8

由余弦定理可得 PE ? 91 ,∴MN ? 8 PE ? 7 .

8

13

第 7 题. 如图,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .
P

M
B A
C D
答 案 : 证 明 : 连 接 AC 、 BD 交 点 为 O , 连 接 MO , 则 MO 为 △BDP 的 中 位 线 , ∴ PD//MO . ∵PD ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC ,∴ PD// 平面 MAC .
P

M

B A

C

O

D

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第 8 题. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E ,F 分别是棱 BC ,C1D1 的中点,求证: EF// 平面 BB1D1D .

D1 A1

F C1
B1

D A

C
E B

答案:证明:如图,取 D1B1 的中点 O ,连接 OF , OB ,

∵ OF

平行且等于

1 2

B1C1



BE

平行且等于

1 2

B1C1



∴OF 平行且等于 BE ,则 OFEB 为平行四边形,

∴EF// BO .

∵EF ? 平面 BB1D1D , BO ? 平面 BB1D1D ,

∴ EF// 平面 BB1D1D .

D1 A1

F O

C1 B1

D A

C
E B

第 9 题. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,试作出过 AC 且与直线 D1B 平行的截面,
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并说明理由.
D1 A1

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C1 B1

D A

C B

答案:解:如图,连接 DB 交 AC 于点 O ,取 D1D 的中点 M ,连接 MA ,MC ,则截面 MAC
即为所求作的截面.

D1
A1 M

D

A

O

C1 B1
C B

∵MO 为 △D1DB 的中位线,∴ D1B//MO . ∵ D1B ? 平面 MAC , MO ? 平面 MAC , ∴ D1B// 平面 MAC ,则截面 MAC 为过 AC 且与直线 D1B 平行的截面.

第 10 题. 设 a , b 是异面直线, a ? 平面? ,则过 b 与? 平行的平面( )

A.不存在

B.有 1 个

C.可能不存在也可能有 1 个

D.有 2 个以上

答案:C.

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第 11 题. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,求证:平面 A1BD// 平面 CD1B1 .

D1 A1

C1 B1

D A

C B

答案:证明:

??B1B

? ??

A1

A

∥ A1 A ∥D1D

?

B1B

∥D1D

? 四边形 BB1D1D 是平行四边形

?D1B1//DB

?

? ?

DB

?

平面A1BD

??D1B1 ? 平面A1BD

?D1B1//平面A1BD ? ??同理B1C//平面A1BD

? ?

D1B1

B1C ? B1

? 平面B1CD1//平面A1BD .

第 12 题. 如图, M 、 N 、 P 分别为空间四边形 ABCD的边 AB , BC , CD 上的点,且 AM∶MB ? CN∶NB ? CP∶PD . 求证:(1) AC// 平面 MNP , BD// 平面 MNP ; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线 //AC .
A

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M

E

B N

D
P C

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答案:证明:(1)

AM ? CN ? MN//AC MB NB AC ? 平面MNP

? ? ? ?

?

AC//平面MNP



MN ? 平面MNP

? ?

?

CN NB BD

? ?

CP ? PN PD 平面MNP

//BD?? ? ?

BD//平面MNP



PN ? 平面MNP

? ?

?

(2)

设平面MNP 平面ACD ? PE?

AC ? 平面ACD

? ?

?

PE//AC,

AC//平面MNP

? ?

即平面MNP与平面ACD的交线//AC .

第 13 题. 如图,线段 AB , CD 所在直线是异面直

线,E ,F ,G ,H 分别是线段 AC ,CB ,BD ,

DA 的中点.

(1) 求证: EFGH 共面且 AB∥面 EFGH ,

CD∥面 EFGH ;

C

(2) 设 P ,Q 分别是 AB 和 CD 上任意一点,求

证: PQ 被平面 EFGH 平分.

A
E M Q F

H
P D
N G
B

答案:证明:(1)∵ E , F , G , H 分别是 AC , CB , BD , DA 的中点., ∴EH//CD , FG//CD ,∴EH//FG .因此, E , F , G , H 共面. ∵CD//EH , CD ? 平面 EFGH , EH ? 平面 EFGH , ∴CD// 平面 EFGH .同理 AB// 平面 EFGH .
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(2)设 PQ 平面 EFGH = N ,连接 PC ,设 PC EF ? M .
△PCQ 所在平面 平面 EFGH = MN ,
∵CQ// 平面 EFGH , CQ ? 平面 PCQ ,∴CQ//MN . ∵EF 是 △ABC 是的中位线, ∴M 是 PC 的中点,则 N 是 PQ 的中点,即 PQ 被平面 EFGH 平分.
第 14 题. 过平面? 外的直线 l ,作一组平面与? 相交,如果所得的交线为 a ,b ,c ,… ,
则这些交线的位置关系为( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点
答案:D.

第 15 题. a , b 是两条异面直线, A 是不在 a , b 上的点,则下列结论成立的是( ) A.过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在 B.过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b C.过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b D.过 A 有无数个平面平行于 a 和 b
答案:A.

第 16 题. 若空间四边形 ABCD的两条对角线 AC ,BD 的长分别是 8,12,过 AB 的中点 E

且平行于 BD 、 AC 的截面四边形的周长为



答案:20.

第 17 题. 在空间四边形 ABCD中, E , F , G , H 分别为 AB , BC , CD , DA 上的

一点,且 EFGH 为菱形,若 AC// 平面 EFGH ,BD// 平面 EFGH ,AC ? m ,BD ? n ,

则 AE:BE ?



答案: m∶n .

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第 18 题. 如图,空间四边形 ABCD的对棱 AD 、 BC 成 60? 的角,且 AD ? BC ? a ,平行 于 AD 与 BC 的截面分别交 AB 、 AC 、 CD 、 BD 于 E 、 F 、 G 、 H . (1)求证:四边形 EGFH 为平行四边形; (2) E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大?最大面积是多少?

A

E

F

B

H

D

G

C

答案:(1)证明:∵BC// 平面 EFGH , BC ?平面 ABC , 平面 ABC 平面 EFGH ? EF , ∴BC//EF .同理 BC//GH , ∴EF//GH ,同理 EH//FG , ∴四边形 EGFH 为平行四边形. (2)解:∵ AD 与 BC 成 60? 角, ∴ ?HGF ? 60? 或120? ,设 AE : AB ? x ,∵ EF ? AE ? x ,
BC AB BC ? a ,∴ EF ? ax ,由 EH ? BE ? 1? x ,
AD AB
得 EH ? a(1? x) .

∴ S四边形EFGH ? EF ? EH ? sin 60?

? ax ? a(1? x) ? 3 2

?

3 a2(?x2 ? x) ? 2

3 2

a2

????(x

?

1)2 2

?

1 4

? ??





x

?

1 2

时,

S最大值

?

3 a2 , 8

即当 E 为 AB 的中点时,截面的面积最大,最大面积为 3 a2 . 8

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第 19 题. P 为 △ABC 所在平面外一点,平面?// 平面 ABC ,? 交线段 PA , PB , PC

于 A'B'C' , PA'∶A'A ? 2∶3 ,则 S△ S A'B'C'∶ △ABC ?



答案: 4∶25

第 20 题. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD是平行四边形,M ,N 分别是 AB ,PC
的中点.
求证: MN// 平面 PAD .
P
N

D C

A

M

B

答案:证明:如图,取 CD 的中点 E ,连接 NE , ME ∵ M , N 分别是 AB , PC 的中点, ∴NE//PD , ME//AD , 可证明 NE// 平面 PAD , ME// 平面 PAD . 又 NE ME ? E , ∴平面 MNE// 平面 PAD , 又 MN ? 平面 MNE ,∴ MN// 平面 PAD .
P

N

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D

C

E

A

M

B

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第 21 题. 已知平面?// 平面 ? , AB ,CD 是夹在两平行平面间的两条线段, A ,C 在?
内, B , C 在 ? 内,点 E , F 分别在 AB , CD 上,且 AE∶EB ? CF∶FD ? m∶n . 求证: EF// 平面? . 答案:证明:分 AB , CD 是异面、共面两种情况讨论. (1) 当 AB , CD 共面时,如图( a ) ∵?//? ,∴ AC//BD ,连接 E , F . ∵AE∶EB ? CF∶FD ,∴EF//AC//BD 且 EF ?? , AC ?? ,∴ EF// 平面? .

?

A

C

E

F

B

D?

图( a )

?

A

C

G

E

F

H D?

B

图( b )

(2) 当 AB , CD 异面时,如图( b ),过点 A 作 AH//CD 交 ? 于点 H . 在 H 上取点 G ,使 AG∶GH? m∶ n,连接 EF ,由(1)证明可得 GF// HD, 又 AG∶GH? AE∶ EB得 EG//BH .∴平面 EFG// 平面 ? // 平面? . 又 EF ? 面 EFG ,∴ EF// 平面? .
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第 22 题. 已知? ? ? a , ? ? ? m , ? ? ? b ,且 m//? ,求证: a//b .

答案:证明:

? ? ? m?

?

m//?

? ?

?

m//a

? ?

?

a//b



? ? ? a ?? 同理 ? m//b??

?

b

??

m

a

第 23 题. 三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ? a ,截面 MNPQ 与 AB 、 CD 都平行,则截面

MNPQ 的周长是( ).

A. 4a C. 3a
2

B. 2a
D.周长与截面的位置有关

答案:B.

第 24 题. 已知:? ? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是( ).

A. a//b C. a 、 b 相交但不垂直

B. a ? b D. a 、 b 异面

答案:A.

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第 25 题. 如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD所在平面外的一点,E 、F 分别是 PA 、BD 上的点且 PE : EA ? BF : FD,求证: EF//平面 PBC .
P E
D C
F A
B
答案:证明:连结 AF 并延长交 BC 于 M . 连结 PM , ∵ AD//BC ,∴ BF ? MF ,
FD FA 又由已知 PE ? BF ,∴ PE ? MF .
EA FD EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM , 又 EF ? PBC , PM ? 平面 PBC , ∴ EF//平面 PBC .

第 26 题. 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E1F1 是平面 A1C1 上的线段,求证: E1F1//

平面 ABCD.

D1

F1

C1

A1

E1

B1

D A

C B

答案:证明:如图,分别在 AB 和 CD 上截得 AE ? A1E1 , DF ? D1F1 ,连接 EE1 , FF1 ,

EF .

∵长方体 AC1 的各个面为矩形,

∴ EE1 平行且等于 AA1 , FF1 平行且等于 DD1 .

∵ AA1 平行且等于 DD1 ,∴ EE1 平行且等于 FF1 ,

四边形 EFF1E1 为平行四边形,

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E1F1//EF .

∵EF ? 平面 ABCD, E1F1 ? 平面 ABCD,

∴ E1F1// 平面 ABCD.

D1

F1

C1

A1

E1

B1

D A
E

F C
B

第 27 题. 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,

求证:平面 AB1D1// 平面 C1BD .

D1

A1

D A

答案:证明:因为 ABCD ? A1B1C1D1 为正方体, 所以 D1C1//A1B1 , D1C1 ? A1B1 . 又 AB//A1B1 , AB ? A1B1, 所以 D1C1//AB , D1C1 ? AB , 所以 D1C1BA 为平行四边形. 所以 D1A//C1B .由直线与平面平行的判定定理得
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C1 B1
C B

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D1 A// 平面 C1BD . 同理 D1B1// 平面 C1BD ,又 D1A D1B1 ? D1 , 所以,平面 AB1D1// 平面 C1BD .

第 28 题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这 个平面.
如图,已知直线 a , b 平面? ,且 a//b , a//? , a , b 都在? 外. 求证: b//? .

?

a

b

c ?

答案:证明:过 a 作平面 ? ,使它与平面? 相交,交线为 c .
因为 a//? , a ? ? ,? ? ? c ,
所以 a//c . 因为 a//b , 所以 b//c . 又因为 c ? ? , b ? ? , 所以 b//? .

第 29 题. 如图,直线 AA' , BB' , CC' 相交于 O , AO ? A'O , BO ? B'O ,CO ? C'O . 求证: ABC// 平面 A'B'C' .
C'

B'

A'

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O

A

B

C

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答案:提示:容易证明 AB//A'B' , AC//A'C' . 进而可证平面 ABC// 平面 A'B'C' . 第 30 题. 直线 a 与平面? 平行的充要条件是( ) A.直线 a 与平面? 内的一条直线平行 B.直线 a 与平面? 内两条直线不相交 C.直线 a 与平面? 内的任一条直线都不相交 D.直线 a 与平面? 内的无数条直线平行
答案:C.
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