268sihu.com:高中数学 第二章2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案4

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学习资料专题

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

学习目标:1.平面向量的数量积.(重点)2.平面向量数量积的几何意义.(难点)3.向量

的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1.平面向量数量积的定义

非零向量 a,b 的夹角为 θ ,数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积,记作 a·b, 即 a·b=|a||b|cos θ .特别地,零向量与任何向量的数量积等于 0.
思考:向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同?

[提示] 数量积的运算结果是实数,线性运算的运算结果是向量.

2.向量的数量积的几何意义

(1)投影的概念:

①b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ ; ②a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ . (2)数量积的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.

思考:投影一定是正数吗?

[提示] 投影可正、可负也可以为零.

3.向量数量积的性质

垂直向量

a·b=0

平行向量

同向 反向

a·b=|a||b| a·b=-|a||b|

向量的模

a·a=|a|2 或|a|= a·a

求夹角

cos θ =|aa|·|bb|

不等关系

a·b≤|a||b|

4.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
尚水作品

[基础自测]

1.思考辨析

(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.( ) (2)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ >0?a·b>0.( ) (3)|a·b|≤a·b.( ) (4)(a·b)2=a2·b2.( )

[解析] (1)×.因向量的夹角包括 180°,直线的倾斜角不包括 180°.

(2)√.由数量积的定义可知. (3)×.|a·b|≥a·b, (4)×.(a·b)2=(|a|·|b|cos θ )2=a2·b2cos2θ . [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|= 3,且 a 与 b 的夹角为 60°,那么 a·b 等于________.

3 [a·b=|a||b|cos 60°=2× 3×12= 3.]

3.已知|b|=3,a 在 b 方向上的投影是23,则 a·b 为________.

2

[设 a

与b

的夹角为

θ

,则 a



b

方向上的投影|a|cos

θ

2 =3,

所以 a·b=|b||a|cos θ =3×23=2.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

向量数量积的计算及其几何意义

(1)已知单位向量 e1,e2 的夹角为π3 ,a=2e1-e2,则 a 在 e1 上的投影是________.

(2)给出下列结论:①若 a≠0,a·b=0,则 b=0;②若 a·b=b·c,则 a=c;③(a·b)c =a(b·c);④a·[b(a·c)-c(a·b)]=0,其中正确结论的序号是________.

(3)已知向量 a 与 b 满足|a|=10,|b|=3,且向量 a 与 b 的夹角为 120°.求:

①(a-b)·(a-b);

②(2a+b)·(a-b).

[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.

(1)32 (2)④ [(1)设 a 与 e1的夹角为 θ ,则 a 在 e1上的投影为|a|cos θ =a|·e1e|1=a·e1 =(2e1-e2)·e1
=2e21-e1·e2 =2-1×1×cosπ3 =32.

尚水作品

(2)因为两个非零向量 a,b 垂直时,a·b=0,故①不正确;

当 a=0,b⊥c 时,a·b=b·c=0,但不能得出 a=c,

故②不正确;

向量(a·b)c 与 c 共线,a(b·c)与 a 共线,故③不正确;

a·[b(a·c)-c(a·b)]

=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0,故④正确.

(3)①(a-b)·(a-b)

=a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91.

②因为|a|=10,|b|=3,且向量 a 与 b 的夹角为 120°,

所以 a·b=10×3×cos 120°=-15,

所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2

=200+15-9=206.]

[规律方法] 求平面向量数量积的步骤是: 求 a 与 b 的夹角 θ ,θ ∈[0,π ]; 分别求|a|和|b|; 求数量积,即 a·b=|a||b|cos θ ,要特别注意书写时 a 与 b

之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.

求投影的两种方法:

b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ θ 为 a,b 的夹角 ,a 在 b 方向上的投影 为|a|cos θ .
b 在 a 方向上的投影为a|·a|b,a 在 b 方向上的投影为a|·a|b.

[跟踪训练]

1.(1)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若→BD=2D→C,A→E=λ →AC-→AB(λ ∈R),且

→AD·→AE=-4,则 λ 的值为________.

3 11

[设→AB=a,A→C=b,由已知得|a|=3,|b|=2,a·b=|a||b|cos 60°=3,

因为→BD=2D→C,所以A→D-A→B=2(→AC-→AD),

所以→AD=13A→B+23A→C=13a+23b,

所以→AD·→AE=???13a+23b???·(λ b-a)=???λ3 -23???a·b-13a2+23λ b2=(λ -2)-13×9+23λ

×4=-4,

3 解得 λ =11.]

(2)设非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ .

尚水作品

①若|a|=5,θ =150°,求 a 在 b 方向上的投影; ②若 a·b=9,|a|=6,求 b 在 a 方向上的投影.

[解] ①|a|·cos θ =5×cos 150°=5×???- 23???=-5 2 3,

∴a



b

5 方向上的投影为-

2

3 .

②a|·a|b=96=32,

∴b



a

3 方向上的投影为2.

与向量模有关的问题 (1)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=_______.

(2)已知向量 a 与 b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a+b|= 10,求|b|. [思路探究] 灵活应用 a2=|a|2 求向量的模.

(1)2 3 [(1)|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+2·|a|·|2b|·cos 60°+(2|b|)2 =22+2×2×2×12+22=4+4+4=12,

所以|a+2b|= 12=2 3.

(2)因为|2a+b|= 10, 所以(2a+b)2=10, 所以 4a2+4a·b+b2=10, 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且|a|=1,

所以 4×12+4×1×|b|× 22+|b|2=10,

整理得|b|2+2 2|b|-6=0,

解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去).] [规律方法] 求向量的模的常见思路及方法
求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用 a2=|a|2,勿忘 记开方.

a·a=a2=|a|2 或|a|= a2,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向

量运算的相互转化

一些常见的等式应熟记,如 a±b 2=a2±2a·b+b2, a+

b

a-b =a2-b2 等.

[跟踪训练]

2.已知向量 a、b 满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.

[解] 由已知,|a+b|=4,

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∴|a+b|2=42,∴a2+2a·b+b2=16.(*) ∵|a|=2,|b|=3, ∴a2=|a|2=4,b2=|b|2=9, 代入(*)式得 4+2a·b+9=16, 即 2a·b=3. 又∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10, ∴|a-b|= 10.
与向量垂直、夹角有关的问题 [探究问题] 1.设 a 与 b 都是非零向量,若 a⊥b,则 a·b 等于多少?反之成立吗? 提示:a⊥b?a·b=0. 2.|a·b|与|a||b|的大小关系如何?为什么?对于向量 a,b,如何求它们的夹角 θ ? 提示:|a·b|≤|a||b|,设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 a·b=|a||b|cos θ . 两边取绝对值得: |a·b|=|a||b||cos θ |≤|a||b|. 当且仅当|cos θ |=1, 即 cos θ =±1,θ =0 或 π 时,取“=”, 所以|a·b|≤|a||b|, cos θ =|aa·||bb|.
(1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量,若向量 e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角 为锐角,则 k 的取值范围为________.
(2)已知非零向量 a,b 满足 a+3b 与 7a-5b 互相垂直,a-4b 与 7a-2b 互相垂直,求 a 与 b 的夹角.
[思路探究] (1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于 0 且方向不相同. (2)由互相垂直的两个向量的数量积为 0 列方程,推出|a|与|b|的关系,再求 a 与 b 的 夹角. (1)(0,1)∪(1,+∞) [(1)∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角, ∴(e1+ke2)·(ke1+e2) =ke21+ke22+(k2+1)e1·e2 =2k>0,∴k>0. 当 k=1 时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为 0,不符合题意,舍去. 综上,k 的取值范围为 k>0 且 k≠1. (2)由已知条件得
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?? a+3b

? ??

a-4b

a-5b =0, a-2b =0,

即?????77aa22+-1360aa··bb-+185bb2=2=00,,

① ②

②-①得 23b2-46a·b=0,

∴2a·b=b2,代入①得 a2=b2,

∴|a|=|b|,∴cos

θ

a·b 12b2 1 =|a||b|=|b|2=2.

∵θ ∈[0,π ],∴θ =π3 .] 母题探究:1.将例 3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变,求 k 的取值范 围. [解] ∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为钝角, ∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=ke21+ke22+(k2+1)e1·e2=2k<0, ∴k<0. 当 k=-1 时 e1+ke2 与 ke1+e2 方向相反,它们的夹角为 π ,不符合题意,舍去. 综上,k 的取值范围是 k<0 且 k≠-1.

2.将例 3(1)中的条件“锐角”改为“π3 ”,求 k 的值.

[解] 由已知得|e1+ke2|= e12+2ke1·e2+k2e22= 1+k2,

|ke1+e2|= k2e21+2ke1·e2+e22= k2+1, (e1+ke2)·(ke1+e2)=ke21+ke22+(k2+1)e1·e2=2k,

则 cosπ3 =

e1+ke2 ke1+e2 |e1+ke2||ke1+e2|

2k =1+k2,

2k 1 即1+k2=2整理得

k2-4k+1=0

解得 k=4±2 12=2± 3.

[规律方法] 1.求向量夹角的方法: (1)求出 a·b,|a|,|b|,代入公式 cos θ =|aa·||bb|求解. (2)用同一个量表示 a·b,|a|,|b|代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角.

2.要注意夹角 θ 的范围 θ ∈[0,π ],当 cos θ >0 时,θ ∈???0,π2 ???;当 cos θ <0

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时,θ ∈???π2 ,π ???,当 cos θ =0 时,θ =π2 .
[当 堂 达 标·固 双 基] 1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1,则 a·(2a-b)=( )

A.4

B.3

C.2

D.0

B [因为|a|=1,a·b=-1,所以 a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3,故

选 B.]

2.设 e1 和 e2 是互相垂直的单位向量,且 a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则 a·b 等于( )

A.-2

B.-1

C.1

D.2

B [因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,所以 a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2

+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.故选 B.]

3.已知|a|=3,|b|=5,且 a·b=12,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为________.

12 5

[设 a 与 b 的夹角为 θ ,

因为 a·b=|a||b|cos θ =12, 又|b|=5,所以|a|cos θ =152,

即 a 在 b 方向上的投影为152.]

4.若 a·b<0,则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是________.

???π2 ,π ??? [因为 a·b=|a||b|cos θ <0,

所以 cos θ <0,又 θ ∈[0,π ],所以 θ ∈???π2 ,π ???.]

5.已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为π3 ,求|a+b|,|a-b|.

[解]

a·b=|a||b|cos

θ

1 25 =5×5×2= 2 .

|a+b|= a+b 2

= |a|2+2a·b+|b|2

25 = 25+2× 2 +25=5 3.

|a-b|= a-b 2

= |a|2-2a·b+|b|2

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= 25-2×225+25=5.
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