江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第1讲 集合与常用逻辑用语(2)教学案

江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 (2) 教学案
复备栏 教学内容:集合与常用逻辑用语(2) 教学目标: 理解集合间的关系,掌握集合的运算; 掌握充分条件与必要条件。 逻辑联结词、全称量词和存在量词。 教学重点: 逻辑联结词、 全称量词和存在量词。 教学难点: 充分条件与必要条件. 教学过程: 基础训练: 1.已知集合 A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|=2},则 A∩B=________. 解析:A∩B 中的元素同时具有 A,B 的特征,问题等价于|1-2ai|=2,a∈R,解得 a 3 =± 2 . 故 A∩B={1+ 3i,1- 3i}. 答案:{1+ 3i,1- 3i} 2. 若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,实数 a 的取值范围是________.
? 解析: ax2-2ax-3≤0 恒成立, 当 a=0 时, -3≤0 成立; 当 a≠0 时, ?a<0 ? ? ?Δ=4a2+12a≤0.

得-3≤a<0; ∴-3≤a≤0. 答案:-3≤a≤0 3.命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为__________. 答案:若 a≤b,则 2a≤2b-1 4. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是__________________. 答案:存在一个能被 2 整除的数不是偶数 二、例题教学: 例 1 (2014· 徐州调研)设集合 A,B,则 A?B 是 A∩B=A 成立的________条件. [解析] 由 A?B,得 A∩B=A;反过来,由 A∩B=A,且(A∩B)?B,得 A?B.因此,A ?B 是 A∩B=A 成立的充要条件. [答案] 充要 [方法归纳] 判断充要条 件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件 与集合之间的对应关系, 把命题对应的元素用集合表示出来, 根据集合之间的包含关 系进行判断,再以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法.

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变式训练: (1)设集合 A,B,则 A?B 是 A∪B=A 成立的________条件. (2)(2014· 高考天津卷改编)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件. 解析 :(1)由 A?B,得 A∪B=B,不一定有 A∪B=A,反之 A∪B=A,也不一定有 A ?B. (2)当 ab≥0 时,可得 a>b 与 a|a|>b|b|等价.当 ab<0 时,可得 a>b 时 a|a|>0>b|b|; 反之,由 a|a|>b|b|知 a>0>b,即 a>b. 答案:(1) 既不充分也不必要 (2) 充要 例 2 (2014· 扬州调研)下列命题中的真命题的序号是________. 3 ①?x∈R,使得 sin xcos x=5; ②?x∈(-∞,0),2x>1; ③?x∈R,x2≥x-1; ④?x∈(0,π),sin x>cos x. 3 6 [解析] 由 sin xcos x=5,得 sin 2x=5>1,故①错误;结合指数函数和三角函数的图

? 1? 3 象,可知②,④错误;因为 x2-x+1= x-2 2+4>0 恒成立,所以③正确. ? ?
[答案] ③ [方法归纳] (1)全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为存在量词 (或存在量 词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论. (2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时, 往往可以将条件进行等价转化. 若是由 命题的真假求某个参数的取值范围, 还可以考虑从集合的角度来思考, 将问题转化为 集合间的运算. 变式训练: (1)下列四个命题: 1 ? π? ①?x∈R,使 sin x+cos x=2;②对?x∈R,sin x+sin x≥ 2;③对?x∈ 0,2 ,tan x

?

?

1 +tan x≥2;④?x∈R,使 sin x+cos x= 2. 其中正确命题的序号为________. (2)命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范 围为________.

? π? 解析:(1)∵sin x+cos x= 2sin x+4 ∈[- 2, 2 ]; ? ?
故①?x∈R,使 sin x+cos x=2 错误; ④?x∈R,使 sin x+cos x= 2正确 1 1 ∵sin x+sin x≥2 或 sin x+sin x≤-2, 1 故②对?x∈R,sin x+sin x≥2 错误; 1 1 ? π? ③对?x∈ 0,2 ,tan x>0,tan x>0,由基本不等式 可得 tan x+tan x≥2 正确.

?

?

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(2)?x∈R,2x2-3ax+9<0 为假命题,则?x∈R,2x2-3ax+9≥0 恒成立,有 Δ=9a2- 72≤0,解得-2 2≤a≤2 2. 答案:(1)③④ (2)[-2 2,2 2 ] 巩固练习: 1.给出以下三个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0; ②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; ③在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________.(填序号) 解析: 在△ABC 中,由正弦定理得 sin A =sin B?a=b?A=B.故填②答案: ② 2.(2014· 苏州模拟)设 x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的________条件.(填“充 要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”) 解析:x2+y2≥9 表示以原点为圆心,3 为半径的圆上 及圆外的点, 当 x2+y2≥9 时, x>3 且 y≥3 并不一定成立, 当 x=2, y=3 时, x2+y2≥9, 但 x>3 且 y≥3 不成立;而 x>3 且 y≥3 时,x2+y2≥9 一定成立,应填必要不充分. 答案: 必要不充分 3. 若命题“?x∈[-1,1], 1+2x+a·4x<0”是假命题, 则实数 a 的最小值为 __________. 2x+1 1 1 1 解析:变形得 a<-( 4x )=-(2x+2)2+4, 1 1 1 令 t=2x,则 a<-(t+2)2+4, 1 ∵x∈[-1,1],∴t∈[2,2], 1 1 1 ∴f(t)=-(t+2)2+4在[2,2]上是减函数, 1 1 ∴[f(t)]min=f(2)=-(2+2)2+4=-6, 又因为该命题为假命题. ∴a≥-6, 故实数 a 的最小值为-6. 答案:-6

? 1? 4.(2014· 苏州押题)设平面点集 A={(x,y)|(y-x) y-x ≥0},B={(x,y)|(x-1)2+(y- ? ?
1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为________. 1 解析:由题意知 A∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分,曲线 y=x 与直线 y=x 将圆 (x-1)2+(y-1)2=1 分成 S1,S2,S3,S4 四部分.

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1 ∵圆(x-1)2+(y-1)2=1 与 y=x 的图象都关于直线 y=x 对称, 从而 S1=S2, S3=S4, 而 S1+S2+S3+S4=π, π ∴S 阴影=S 2+S4=2. π 答案:2 课后反思:

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