481236.com:安徽省寿县安丰高级中学人教A版高中数学课件 选修1-2《第一章 统计案例》本章优化总结_图文

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统计案例

优化总结

本 章 优 化 总 结

知识体系网络

专题探究精讲

知识体系网络

专题探究精讲

回归分析问题 分析两个变量的相关关系常用的方法: (1)把样本数据表示的点在直角坐标系中标出, 得到散点图; (2)利用R2进行检验,在确认具有相关关系后, 再求线性回归方程.

例1 某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在

市场试验中发现,此商品的销售单价x(x取整数) 元与日销售量y台之间有如下对应数据: 单价x/元 日销量y/台 35 56 40 41 45 28 50 11

(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系

?如果有,求出线性回归方程;(方程的斜率保留
一个有效数字)

(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据(1)写
出P关于x的函数关系式,并预测当销售单价x为

多少元时,才能获得最大日销售利润?

【解】 (1)散点图如图所示: 从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近 , 因此两个变量具有线性相关关系.

设回归直线方程为^ y =^ b x +^ a, 由题知 x =42.5, y =34, 则求得

? ?xi- x ??yi- y ?
^ b=
i= 1 4 2 ? x - x ? ? i i= 1

4

-370 = ≈-3. 125

^ a = y -^ b x =34-(-3)×42.5=161.5. ∴^ y =-3x+161.5. (2)依题意有 P=(-3x+161.5)(x-30) =-3x2+251.5x-4845 251.5 2 251.52 =-3(x- )+ -4845. 6 12 251.5 ∴当 x= ≈42 时,P 有最大值. 6

即预测销售单价为42元时,能获得最大日销售利 润. 【思维总结】 该类题属于线性回归问题,解答 此类题目的关键是:首先通过散点图来判断两变 量是否相关,然后再利用求回归方程的公式求解 回归方程.在此基础上,借助回归方程对实际问 题进行分析.

例2 炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用

过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀 ,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出 使用次数x与增大的容积y之间的关系. 使用次数 x 2 3 4 5 6 7 8 9

增大的容 6.42 8.20 9.58 9.50 9.70 10.00 9.93 9.99 积y

使用次数x

10

11

12

13

14

15

16

增大的容 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76 积y

【解】

先根据试验数据作散点图,如图所示:

从图中可以看出 x 与 y 之间不存在线性 相关关系.但仔细分析一下,知道钢包 开始使用时侵蚀速度快,然后逐渐减 慢.显然,钢包容积不会无限增大,它 必有一条平行于 x 轴的 渐近线.于是根据这一特点,我们试设 b 指数型函数曲线 y= aex.对它两边取对 b 数得 lny=lna+ . x

1 令 z=lny,t= ,a′=lna,则上式可写 x 为线性方程: z=a′+bt,t、z 的数值对应表为:
1 t= x z= lny 0.50 1.8594 1 t= x z= lny 0.3333 2.1041 0.25 2.2597 0.20 2.2513 0.1667 2.2721 0.1429 2.3026 0.1250 2.2956 0.1111 2.3016 0.10 2.3504

0.0909 2.3599

0.0833 2.3609

0.0769 2.3795

0.0714 2.3609

0.0667 2.3888

0.0625 2.3758

^ a′, b 的最小二乘估计^ b ≈-1.1107, a′ = z -^ b t ≈2.1052. 由此得 ^ a =e^ a ′= -1.1107 ^ 8.2087, y =8.2087e . x

【思维总结】

对于非线性问题,挑选一种跟这

些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量 代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解 决.

独立性检验 独立性检验的一般步骤: (1)提出假设H0:Ⅰ和Ⅱ没有关系; (2)根据2×2列联表计算K2的观测值; (3)根据K2的观测值与临界值的大小关系作统计推 断. 例3 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与 性别的关系,得到下面的数据表,试问婴儿的性 别与出生的时间是否有关系?

出生时间 性别

晚上 白天 总计

男婴 女婴 总计

15 8 23

31 26 57

46 34 80

【解】

2 n ? ad - bc ? K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

80×?15×26-31×8?2 = ≈0.787<2.706. 46×34×23×57 所以我们没有把握认为“婴儿的性别与 出生的时间有关系”.

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