www.4698.com:(2)(教师版)考点专题二--平面向量和复数

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考点专题二
【考情分析】

平面向量与复数(2)

从近四年高考试卷分析来看,本专题知识理科每年考查 1—2 题,所占分值比例约为 4.8%, 难易度以容易题、中等题为主,文科每年考查 1—2 题,所占分值比例约为 4.5%,难易度以 容易题为主,此知识是高考中的必考内容. 此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现,主要考查复数的四则 运算,复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.

【知识梳理】
[重难点] 1. 复数的相等:两个复数 z1 ? a ? bi(a, b ? R), z 2 ? c ? di(c, d ? R) ,当且仅当 a ? c 且

b ? d 时, z1 ? z 2 . 特别地,当且仅当 a ? b ? 0 时, a ? bi ? 0.
2. 复数的模: 复数 z1 ? a ? bi(a, b ? R) 的模记作 z 或 a ? bi , 有 z ? a ? bi ?

a2 ? b2 .

3. 共轭复数: 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做共轭复数.复数 z 的共轭复数记作 z , z 、 z 互为共轭复数. 如果 z ? a ? bi, z ? a ? bi(a, b ? R) ,则有 z ? R 的充要条件是 z ? z; z 是纯虚数的充要条 件是 z ? ? z 且 z ? 0. 4.复平面 在平面直角坐标系中, 可以用点 Z ( a, b) 表示复数 z1 ? a ? bi(a, b ? R) , 建立直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面,在复平面上,称 x 、 y 轴分别为实轴和虚轴,并且复数集 C 和 复平面内所有的点构成的集合建立一一对应关系. 5.实系数一元二次方程 实系数一元二次方程在复数集中恒有解,当判别式 ? ? b ? 4ac ? 0 时,实系数一元二次方
2

?

?

?

?

?

2 程 ax ? bx ? c ? 0(a, b, c ? R 且 a ? 0) 在 复 数 集 中 有 一 对 互 相 共 轭 的 虚 数 根

x??

b 4ac ? b 2 ? i. 2a 2a

[易错点] 1/6

1.在进行复数计算时,要灵活利用 i 和 ? (? ? ?

1 3 ? i) 的性质,会适当变形,创造条件, 2 2

从而转化为关于 i 和 ? 的计算问题,并注意以下结论的灵活运用: ① (1 ? i) 2 ? ?2i ; ② ④? ? ?
2

1? i 1? i ? i, ? ?i ;③ i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i(n ? Z ) ; 1? i 1? i

? 1 3 1 ? i ? ? ? , ? 3 ? 1,1 ? ? ? ? 2 ? 0. 2 2 ?

2.在进行复数的运算时, 不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来, 如下面的结论, 当 z ? C 时不总是成立的:① ( z m ) n ? z mn (m, n 为分数) ;② z m ? z n ? m ? n( z ? 1) ;③
2 2 z1 ? z2 ? 0 ? z1 ? z2 ? 0 ,④ z ? z 2 .
2

【基础练习】
. 1. 若复数 (1 ? bi)(3 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 为实数) ,则 b ? _____
2.设 z ? (2 ? i) 2 (i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为________.【答案】5(2013 江苏) 3. 已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点位于( A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

【解析】z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i , 则 z ? 1 ? 2i , 对应点的坐标为 (1, ?2) , 故答案为 D. (2013 福建理) 4. 已知集合 M ? ? 1,2, zi?, i 为虚数单位, N ? ?3,4? , M ? N ? ?4?,则复数 z ? ( )

A. ? 2i

B.2i

C . ? 4i

D.4i

解析:因为 M ? ? 1,2, zi?, N ? ?3,4? ,由 M ? N ? ?4?,得 4 ? M ,所以 zi ? 4 ,所以

z ? ?4i .答案: C
【命题立意】知识:集合的运算和复数的运算.试题难度:较小.(2013 江西理) 5. 若向量 ? , ? 满足 | ? ? ? |?| ? ? ? | ,则 ? 与 ? 所成角的大小为________. 【答案】90°(2001 上春) 6. 已知 z ? C ,且 z ? 2 ? 2i ? 1, (A) 2 . (B) 3 .

i 为虚数单位,则 z ? 2 ? 2i 的最小值是(
(C) 4 .
2

B

)

(D) 5 .(2009 上春) )

7. “ ? 2 ? a ? 2 ”是“实系数一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的( (A)必要不充分条件. (C)充要条件. (B)充分不必要条件. (D)既不充分也不必要条件.

2/6

解:由实系数一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 有虚根,可得 ? ? a ? 4 ? 0 ,
2 2

即 可 得 a ? (? 2, 2), ∵ (?2, 2) ? [?2, 2] , ∴ “ ?2 ? a ? 2 ” 是 “ 实 系 数 一 元 二 次 方 程

x 2 ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的必要不充分条件, 故应选 A. (2009 上文)
8. 设 z 1 、 z 2 是复数,则下列命题中的假命题是( ) 【答案】D(2013 陕西理)

A. 若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 C. 若 z1 ? z 2 ,则 z1 ? z1 ? z 2 ? z 2

B. 若 z1 ? z 2 ,则 z1 ? z 2
2 D. 若 z1 ? z 2 ,则 z12 ? z 2

【 解 析 】 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di, 若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 | z1 ? z2 |? (a ? c) ? (b ? d )i ,

a ? c, b ? d ,所以 z1 ? z2 ,故 A 项正确;若 z1 ? z2 ,则 a ? c, b ? ?d ,所以 z1 ? z2 ,故
B 项正确;若 | z1 |?| z2 | ,则

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ,所以 z1.z1 ? z2 .z2 ,故 C 项正确;
2 2 2 2

当 | z1 |?| z2 | 时,可取 z1 ? 1, z 2 ? i ,显然 z1 ? 1, z 2 ? ?1,即 z1 ? z 2 ,假命题.

【例题精讲】
例 1. 已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z2 的虚部为 2 , z1 ? z2 是 实数,求 z2 .(2011 上) 解: ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1 z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i , ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i 例 2. 已知 z 是复数, z ? 2 i 、

z 均为实数( i 为虚数单位) ,且复数 ( z ? a i ) 2 在复平面上 2?i

对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.(2005 上春) 设 z ? x ? yi ( x、y ? R) ,? z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i ,由题意得 y ? ?2 .

?

z x ? 2i 1 ? ? ( x ? 2i )( 2 ? i ) 2?i 2?i 5 1 1 ? (2 x ? 2) ? ( x ? 4)i 5 5

由题意得 x ? 4 . ∴ z ? 4 ? 2i .∵ ( z ? ai) 2 ? (12 ? 4a ? a 2 ) ? 8(a ? 2)i ,

?12 ? 4a ? a 2 ? 0 根据条件,可知 ? ,解得 2 ? a ? 6 ,∴ 实数 a 的取值范围是 (2, 6) . ?8(a ? 2) ? 0
3/6

2 例 3. 已知复数 z ? a ? bi ( a 、b ? R )( i 是虚数单位)是方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的根 . 复

?

数 w ? u ? 3i ( u ? R )满足 w ? z ? 2 5 ,求 u 的取值范围 . (2009 上文) 解:原方程的根为 x1, 2 ? 2 ? i,

? a, b ? R ? , ? z ? 2 ? i,
?| w ? z |?| (u ? 3i ) ? (2 ? i ) |? (u ? 2) 2 ? 4 ? 2 5 , ? ?2 ? u ? 6 .
例 4. 对于复数 若集合 S ? {a, b, c, d } 具有性质 “对任意 x ,y ? S , 必有 xy ? S ” , ..a, b, c, d ,

? a ? 1, ? 2 则当 ?b ? 1 时, b ? c ? d 等于( ) (2010 福建理) ?c 2 ? b ?
A.1 B.-1 C.0 D.i
2 解法 1:由 b ? 1 ,得 b ? 1 或 b ? ?1 .又? a ? 1,?由集合中元素的互异性知 b ? ?1. 由

c 2 ? b ,即 c 2 ? ?1 ,得 c ? i 或 c ? ?i .(1)当 a ? 1, b ? ?1, c ? i 时, S ? ? 1,?1, i, d ?,
因为集合 S 具有性质“对任意 x 、 y ? S ,必有 xy ? S ” ,所以 ac ? i ? S , bc ? ?i ? S , 故 d ? ?i ,? b ? c ? d ? ?1.(2)当 a ? 1, b ? ?1, c ? ?i 时, S ? ? 1,?1,?i, d ?,因为集 合 S 具有性质 “对任意 x 、 y ? S , 必有 xy ? S ” , 所以 ac ? ?i ? S , bc ? i ? S , 故d ? i,

? b ? c ? d ? ?1.

?a ? 1, ? a ? 1 ?a ? 1 ?a ? 1 ?a ? 1 ? ? ? ? ? 2 解法 2: ?b ? 1 ,? ?b ? 1 或 ?b ? 1 或 ?b ? ?1 或 ?b ? 1 ,又因为集合中的元素具有 ?c ? 1 ?c ? ?1 ?c ? i ? c ? ?i ?c 2 ? b ? ? ? ? ?

? a ?1 ? a ?1 ?b ? ?1 ?b ? ?1 ? ? 互异性,且对任意 x , y ? S ,必有 xy ? S ,所以 ? 或? ,所以 b ? c ? d ? ?1 . ? c ? ?i ? c?i ? ? d ?i ?d ? ?i ?
点评: (1) 本题涉及复数与集合等知识点, 考查阅读与理解、 信息迁移以及学生的学习潜力, 考查学生分析问题和解决问题的能力,属于创新题型. (2)解法 1 步步为营,借助“分类讨论”求出不同情况下的 c、 d 的不同取值,进而 求出 b ? c ? d ;解法 2 直接解方程,然后验证条件,排除不满足的条件;显然解法 1 优于 解法 2 (3)主要考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识;考查函数与 方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想. 4/6

(4)与前三年的复数、集合题型有很大的不同,往年较少出现复数与集合的交汇题型, 在题目的设计上更显新意,虽然题型新颖,但是万变不离其宗,所以在复习中一定要掌握好 基本知识. (5)随着高中新课程标准、新教材的使用,高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提 高. “出活题,考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识,思想方法,对新概念、 新知识、新信息、新情景、新问题进行分析,探索、创造性地解决问题.所以“新定义问题” 将是高考创新题中一种命题趋势.

【能力强化】
1. 在复平面内,复数 (2 ? i ) 2 对应的点位于( A.第一象限 B. 第二象限 )(2013 北京理) 【答案】 D D. 第四象限 )(2013 全国新课标 I 理)

C.第三象限

2. 若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为(

A.?4

B .?

4 5

C .4

D.

4 5

【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题. 【解析】由题知 z =

4 | 4 ? 3i | 42 ? 32 (3 ? 4i) 3 4 = = ? i ,故 z 的虚部为 ,故选 D. 5 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 5 5
?

1? z 3. z ? 2 ? mi, m ? R ,若 对应点在第二象限,则 m 的取值范围为__________. 1? i
4. 在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 点对应的复数为___________. 5. 已知 z 为复数,则 z ? z ? 2 的一个充要条件是 z 满足 【答案】 6. 设 集 合 M ? y y ? cos x ? sin x , x ? R , N ? ? x x ?
2 2

3?i 、 ? 2 ? i 、0,则第四个顶 1? i

.(2003 上春)

?

?

? ?

? 1 ? 2 , i为虚数单位,x ? R? , 则 i ?

M ? N 为_______.【答案】 ?0,1? (2011 陕西理)
2 7. (2013 福建理第 5 题)满足 a, b ???1,0,1, 2? ,且关于 x 的方程 ax ? 2 x ? b ? 0 有实数

解的有序数对 ( a, b) 的个数为( A.14 B.13

) C.12 D.10【答案】B

2 【解析】方程 ax ? 2 x ? b ? 0 有实数解,分析讨论

①当 a ? 0 时,很显然为垂直于 x 轴的直线方程,有解.此时 b 可以取 4 个值.故有 4 种有 序数对 ②当 a ? 0 时, 需要 ? ? 4 ? 4ab ? 0 , 即 ab ? 1 . 显然有 3 个实数对不满足题意, 分别为 (1,2) , 5/6



2,1

) , (

2,2

) .











( a, b)









(?1,0), (?1,1), (?1,?1), (?1,2), (1,1), (1,0), (1,?1), (2,?1) ,
(2,0) ,共 9 个. 8. 在复数范围内解方程 z 解:原方程化简为 z
2

2

? ( z ? z )i ?

3?i (i 为虚数单位)(2005 上) 2?i

? ( z ? z )i ? 1 ? i ,

设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, ∴x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=-

1 3 且 y=± , 2 2

∴原方程的解是 z=-

1 3 ± i. 2 2
2x ? 1 ? 0 ,试判断方程 z 2 ? 2 z ? 5 ? p 2 ? 0 x?2

9. 已知实数 p 满足不等式

有无实根,并给出证明.(2004 上春) ?1 ? 0 , 解: 由 2xx 解得 ? 2 ? x ? ? 1 , . 方程 z 2 ? 2 z ? 5 ? p 2 ? 0 的判别式 ? ? 4( p 2 ? 4) . ?? 2 ? p ? ? 1 ?2 2 2 ,? 1 ?? 2 ? p ? ? 1 ? p2 ? 4 , ? ? 0 ,由此得方程 z 2 ? 2 z ? 5 ? p 2 ? 0 无实根. 2 4 10. 已 知 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 有 两 个 虚 根 x1 、 x2 , 且
2

(1 ? 3ai )i ? c ?

a (i 为虚数单位) , x1 ? x2 ? 1 ,求实数 b 的值. i

【命题意图】考查复数相等、复数的代数运算,复数的模及一元二次方程根与系数的关系. 解:由题设 (1 ? 3ai )i ? c ? 两虚根为 x1 ?

?a ? 1 ?a ? 1 a 2 ,得 ? ,所以 ? ,代入方程 x ? bx ? 3 ? 0 ,求出 i 3 a ? c c ? 3 ? ?

? b ? 12 ? b 2 i ? b ? 12 ? b 2 i 2 ,于是 x1 ? x 2 ? 12 ? b ,由 , x2 ? 2 2

12 ? b 2 ? 1,得 b ? 11 或 ? 11 .

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