圆幂与根轴,


圆幂与根轴, 几何综合问题选讲
范端喜 2011.7

根轴
与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。 首先我们有幂的定义:从一点A作一圆周的任 一割线,从A起到和圆周相交为止的两线段 之积,称为点对于圆周的幂。 若A点在圆外,A点的幂等于从A点所引圆周 切线的平方,由相交弦定理及割线定理, 知道点A的幂为定值。

不难证明,幂有下列两个性质 (1):两圆周相交,交点处的切线成直角,则每一圆半径的平方 等于它的圆心对于另一圆周的幂,反之亦然。 (2):点A对于以O为圆心的圆周的幂,等于OA及其半径的平方差。

由此,我们有 定理1:对于两已知圆有等幂的点的轨迹, 是一条垂直于连心线的直线。

由此可以看出: 1 .若两圆同心,则 O 1 O 2 ? 0,所以,同心圆的根轴 不存在;

2 .若 R 2 ? 0,圆 O 2 缩成一点 O 2,这时 M 点对圆 O 2的幂即是 MO
2 2

. 上面的论述均成立。这

时,直线(轨迹)称为

一圆

与一定点的根轴。

定义:两圆等幂点的轨迹,称为两圆的根轴或等幂轴。
定理2:若两圆相交,其根轴就是公共弦所在的直线,由于两圆的交点对于两圆 的幂都是O,所以,它们位于根轴上。根轴是直线,所以,根轴是两交点的连线

定理3:若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线. 这由幂的定义,可立即推出: 定理4:若三个圆两两不同心,则其两两的根轴相交于一点,或互 相平行。若这三条根轴中有两条相交,则这一交点对于三个圆的幂 均相等,所以必在第三条根轴上。这一点,称为三圆的根心。

显然,当三个圆的圆心在一条直线上时,三条根轴互相平行。 当三个圆的圆心不共线时,根心存在。

设 D 、 E 是 Δ ABC 中 AB 、 AC 上的点,求证:以 根轴必通过 Δ ABC 的垂心。

BE 、 CD 为直径的两圆的

已知两个半径不相等的

圆 O 1 与圆 O 2 相交于 M 、 N 两点,且圆 OM ? MN 的充分必要条件是

O 1 与圆 O 2 分别与 S 、 N 、 T 三点共线。

圆 O 内切于 S 、 T 两点,求证:

设 O 和 I 分别为 Δ ABC 的外心和内心, 相切于点

Δ ABC 的内切圆与边

BC 、 CA 、 AB 分别

D 、 E 、 F ,直线 FD 和 CA 相交于点 PE , QF 的中点,求证:

P ,直线 DE 与 AB 相交于点 Q , OI ? MN .

点 M 、 N 分别为线段

如图,设圆

O 1 和圆 O 2 相离,引它们的一条外

公切线切圆

O 1 于 A ,切圆 O 2 于 C , AB 和 CD 的交点

引它们的一条内公切线 在两圆的连心线上。

切圆 O 1 于 B ,切圆 O 2 于 D ,求证:直线

设 A 是圆 O 的直径 BB 上或其延长线上任一定 或 AMM
' '

'

点,过 A 引圆 O 的割线 MAM N ,交 BM
'

'

,过 A 作 BB 的垂线交
'

'

BM 的延长线于点

的延长线于点

N . 求证: AN ? AN

是定值。

N'

M'

B

A

B'

M N

提示:可证

M 、 M 、 N 、 N 四点共圆,记此圆为 A 在根轴上,则 AN ? AN
'

'

'

Γ 。于是, MM ? AB ? AB .
'

'

是圆

O 和圆 Γ 的根轴,又

Δ ABC 中, E 、 F 分别为 AB 、 AC 中点, CM 、 BN 为高, EF 交 MN 于 P , O 、 H 分别为三角形的外心和 垂心。求证: AP ? OH .

A
A

o'
M E
O H

M
P F N

H' P N
H

E
O
C

F

B

B

C

设四边形

ABCD 的对角线交于点

O ,点 M 、 N 分别是 AD 、 BC 的中点,点 H 1H
2

H 1、 H 2 (不重合)分别是
A

Δ AOB 与 Δ COD 的垂心,求证:

? MN .

M

A
H1

O
H2

D
H1

M F O

B N C

D
H2

E B N

C

根轴及其应用
根轴是沟通圆与圆之间关系的一条基本直线。由于 根轴和共轴圆系易于构造和计算,不少涉及圆的 解析几何问题,若运用根轴知识来解决,不仅思 路简捷,解题明快,而且饶有趣味,容易掌握。

例 1 . 已知圆 C 的方程是 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程 .

x

2

? y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0,求经过圆上一点

例 2 . 过点 M ( x 0 , y 0 ) 引圆 ( x ? a ) ? ( y ? b )
2

2

? r ( r ? 0 ) 的两条切线,切点为
2

A , B ,求弦 AB 所在的直线方程

.

例 3 . 求经过圆 C 1 : x 之交点且与直线

2

? y

2

? 4 x ? 28 ? 0 与圆 C 2 : x .

2

? y

2

? 4 x ? 20 y ? 52 ? 0

x ? 7 相切的圆的方程

例 4 . 若圆 C 1 : x

2

? y

2

? 2 x ? 6 y ? 10 ? 0 与圆 C 2 : x AB 为直径的圆的方程 .

2

? y

2

? 2x ? 2y ? 6 ? 0

交于 A , B 两点,求以弦

例 4 . 若圆 C 1 : x

2

? y

2

? 2 x ? 6 y ? 10 ? 0 与圆 C 2 : x AB 为直径的圆的方程 .

2

? y

2

? 2x ? 2y ? 6 ? 0

交于 A , B 两点,求以弦

例 4 . 若圆 C 1 : x

2

? y

2

? 2 x ? 6 y ? 10 ? 0 与圆 C 2 : x AB 为直径的圆的方程 .

2

? y

2

? 2x ? 2y ? 6 ? 0

交于 A , B 两点,求以弦

例 5 . 求经过点 的方程 .

A ( 1, ),并且与直线 4

l : x ? y ? 3 ? 0 相切于点

M ( 1, ) 的圆 2

例 6 . 求圆 x ? y ? 4 y ? 0 关于直线
2 2

x ? 3 y ? 1 ? 0 对称的圆的方程

.

例 7 . 一圆过点

A ( 1, ) 与 B ( 3 , 4 ),且与 x 轴截出的弦长为 2

6,试求该圆的方程

.


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