高一数学必修2直线平面平行的判定及其性质知识点讲解_图文

[理 要 点]
一、直线与平面平行的判定与性质 判 图形 定 性 质

条件 a与α无交点

a∥α

a∥αa?βα ∩β=b a∥b

结论

a∥α

b∥ α

a∩α= ?

二、面面平行的判定与性质 判 定 性 质

图形



定 a′∩b′=

性 α∥ββ ∩γ=



条件

无公 共点

a,b?βa
αb∥α α∥ β

P′a∩b=P
a′,b′?βa, b?α α∥ β

∩b=P a∥ a∥a′b∥b′

α∥ β

bα∩γ= a?β

a
a∥b a∥α

结论 α∥β

[究 疑 点]
1.若一直线平行于平面α,那么平面α内的任一条直线 与它有何位置关系? 提示:平行或异面. 2.若两平面平行,那么在一个平面内的任一条直线与 另一个平面内的任一条直线有何位置关系? 提示:平行或异面. 3.如果一平面同时平行于两个平面,那么这两个平面

有何位置关系?
提示:平行.

[题组自测]

1.已知直线a,b,平面α,满足a?α,则使b∥α的条
件为 A.b∥a C.a与b异面 答案:B B.b∥a且b?α D.a与b不相交 ( )

2.下列条件中,能判断两个平面平行的是

(

)

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析:由面面平行的定义可知选D.

答案:D

3.设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内 的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是

(
A.m∥β且l1∥α C.m∥β且n∥β B.m∥l1且n∥l2 D.m∥β且n∥l2

)

解析:因m?α,l1?β,若α∥β,则有m∥β且l1∥α,故
α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α,排除A.因m,n?α, l1,l2?β且l1与l2相交,若m∥l1且n∥l2,因l1与l2相交,故 m与n也相交,故α∥β;若α∥β,则直线m与直线l1可能 为异面直线,故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1 且n∥l2. 答案:B

4.(1)(2010· 临沂模拟)已知m,n是两条不同的直线,α、
β为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β, m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④ 若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n. 其中正确的命题是 A.①② B.①③ ( )

C.①④

D.①③④

解析:(1)我们借助于长方体模型来解决本题.对于①,
可以得到平面α,β互相垂直,如图(1)所示,故①正确; 对于②,平面α、β可能垂直,如图(2)所示;对于③,平 面α、β可能垂直,如图(3)所示;对于④,由m⊥α, α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=

g,如图(4)所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以
m⊥n,故选C.

答案:(1)C

(2)C

[归纳领悟]

解决有关线面平行,面面平行的判定与性质的基
本问题要注意: 1.注意判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线 面平行的条件中线在面外易忽视. 2.结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.

3.会举反例或用反证法推断命题是否正确.

[题组自测] 1.在空间中,下列命题正确的是 A.若a∥α,b∥a,则b∥α ( )

B.a∥α,b∥α,a?β,b?β,则β∥α
C.若α∥β,b∥α,则b∥β D.若α∥β,a?α,则a∥β 解析:A、C中b都可能在面内故错,B中α与β相交 也可行. 答案:D

2.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,

AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别
是CC1、C1D1的中点.求证:AC∥平面BPQ.

证明:连接CD1、AD1,

∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点,
∴PQ∥CD1,又CD1?平面BPQ,PQ?平面BPQ, ∴CD1∥平面BPQ.

又D1Q=AB=1,D1Q∥DC∥AB,
∴四边形ABQD1是平行四边形, ∴AD1∥BQ,

又∵AD1?平面BPQ,BQ?平面BPQ,
∴AD1∥平面BPQ. 又AD1∩CD1=D1,∴平面ACD1∥平面BPQ. ∵AC?平面ACD1,∴AC∥平面BPQ.

[归纳领悟]

1.证明直线与平面平行,一般有以下几种方法:
(1)若用定义直接判定,一般用反证法; (2)用判定定理来证明,关键是在平面内找(或作)一条直线与 已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程; (3)应用两平面平行的一个性质,即两平面平行时,其中一

个平面内的任何直线都平行于另一个平面.
2.线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方 法.

[题组自测] 1.设α、β、γ为三个不同的平面,m、n是两条不同的直 线,在命题“α∩β=m,n?γ,且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命 题为真命题.

①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ.
答案:①或③

2.(2010· 苏州模拟) 如图所示,在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,求证平面AB1 D1∥平面C1BD;

证明:∵几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴B1D1∥BD, 又BD?平面C1BD,B1D1?平面C1BD, ∴B1D1∥平面C1BD,

同理D1A∥平面C1BD.
∵B1D1∩AD1=D1,B1D1?平面AB1D1,AD1?平面 AB1D1, ∴平面AB1D1∥平面C1BD.

3.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1 C1D1中,底面是正方形,E、F、G分 别是棱B1B、D1D、DA的中点.求证: 平面AD1E∥平面BGF;

条件变为E、F、G满足“DF∶D1F=1∶2,DG∶DA=1∶3, BE∶BB1=2∶3”,求证平面AD1E∥平面BGF.

证明:∵D1F∶DD1=2∶3 BE∶BB1=2∶3 DD1=BB1,∴D1F=BE

又D1F∥BE,∴四边形D1FBE为平行四边形,
∴D1E∥BF 又DG∶GA=1∶2 DF∶FD1=1∶2 ∴GF∥AD1

又AD1∩D1E=D1,GF∩BF=F
∴平面AD1E∥平面GFB

[归纳领悟]

判定平面与平面平行的方法:
1.利用定义 2.利用面面平行的判定定理 3.利用面面平行的判定定理的推论 4.面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ) 5.利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β?α∥β)

一、把脉考情

从近两年的高考试题来看,直线与平面平行的判定,
以及平面与平面平行的判定是高考的热点,题型既有选择 题、填空题,也有解答题,难度为中等偏高;本节主要考 查线面平行的判定,考查线∥线?线∥面?面∥面的转化 思想,并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.

预测2012年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点,
重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.

二、考题诊断
1.(2010· 山东高考)在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 )

D.垂直于同一平面的两条直线平行
解析:两平行直线的投影不一定重合,故A错;由空间 直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性 质定理可知B、C均错误.

答案:D

2.(2010· 浙江高考)设l,m是两条不同的直线,α是一个平 面,则下列命题正确的是 A.若l⊥m,m?α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α ( )

C.若l∥α,m?α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m 解析:根据定理:两条平行线中的一条垂直于一个 平面,另一条也垂直于这个平面知B正确. 答案:B

3.(2010· 浙江高考第Ⅰ问)如图,在平 行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC =120°,E为线段AB的中点,将△ADE 沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′ DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点. 求证:BF∥平面A′DE;

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