2015高考专题训练:圆锥曲线轨迹及方程求法大全

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轨迹方程的若干求法
一、直接法 直接根据等量关系式建立方程.
0) B(3, 0) ,动点 P ( x,y ) 满足 PA · PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹是( 例 1 已知点 A(?2,,



A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 二、定义法 运用有关曲线的定义求轨迹方程. 例 2 在 △ ABC 中, BC ? 24,AC,AB 上的两条中线长度之和为 39,求 △ ABC 的重心 的轨迹方程.

. 三、转代法 此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.
0) C (1 , 0) ,顶点 A 在抛物线 y ? x 2 上运动,求 △ ABC 的 例 3 已知△ABC 的顶点 B(?3,,

重心 G 的轨迹方程.

. 四、参数法 如果不易直接找出动点的坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数) ,把 x,y 联系 起来. 例 4 已知线段 AA? ? 2a ,直线 l 垂直平分 AA? 于 O ,在 l 上取两点 P, P ? ,使有向线段
· OP? ? 4 ,求直线 AP 与 A?P? 的交点 M 的轨迹方程. OP , OP? 满足 OP

1

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五、待定系数法 当曲线的形状已知时,一般可用待定系数法解决. 例5
0) , B(2, 0) , AD ? 2 , 已知A,B,D三点不在一条直线上,且 A( ?2,

1 AE ? ( AB ? AD) . 2 (1)求 E 点轨迹方程; (2)过 A 作直线交以 A,B 为焦点的椭圆于 M,N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距
离为

4 ,且直线 MN 与 E 点的轨迹相切,求椭圆方程. 5

歼灭难点训练 一、选择题 1.已知椭圆的焦点是 F1、 F2, P 是椭圆上的一个动点, 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一支
2 2

) B.椭圆 D.抛物线

2.设 A1、A2 是椭圆

x y ? =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则 9 4
)

直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为(

x y ? ?1 9 4 x2 y2 ? ?1 C. 9 4
A. 二、填空题 3.△ABC 中, A 为动点, B、 C 为定点, B(- 则动点 A 的轨迹方程为_________.

2

2

y2 x2 ? ?1 9 4 y2 x2 ? ?1 D. 9 4
B.

a a 1 ,0),C( ,0), 且满足条件 sinC-sinB= sinA, 2 2 2

4.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆底部的坐 标分别确定为 A( - 5 , 0) 、 B(5 , 0) ,则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 _________.

2

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三、解答题 5.已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A,又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.

6.双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥A1P,A2Q a 2 b2

⊥A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程.

7.已知双曲线 点 P、Q.

x2 y2 ? =1(m>0,n>0)的顶点为 A1、 A2, 与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于 m2 n2

(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标和离心率.

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基础训练 2 2 2 2 1. 与两圆 x +y =1 和 x +y -8x+7=0 都相切的圆的圆心轨迹是 2.已知动圆过点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切,则动圆的圆心轨迹是

。 .

3 .若动点 P 到点 F ? 2, 0? 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程 是 .
2 2

4. 斜率为 2 的直线与双曲线 2x -y =2 交于 P、Q 两点,则线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程 是 .

5.动圆与 x 轴相切,且与直线 y ? x 相交所得弦长等于2,则动圆圆心的轨迹方程 是
2


2

6.点 P 是 ? x ? 4 ? ? ? y ? 1? ? 4 上的动点, O 是坐标原点,则线段 OP 的中点 Q 的轨迹 方程是 .

7.过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹 方程是 强化练习 .

8.由原点作直线与抛物线 y ? x2 ? 2x ? 2 交于 P 1 2 中点的轨迹. 1, P 2 ,求弦 PP

9.设椭圆 x ?
2

y2 ? 1,过点 M ? 0,1? 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, O 是坐标原点,点 P 满 4

足 OP ?

1 OA ? OB ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

?

?

4

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10.自抛物线 y 2 ? 2 x 上任意一点 P 向准线 l 引垂线,垂足为 Q , F 为焦点, OP 与 FQ 相 交于点 R ,求动点 R 的轨迹方程.

11.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7 和1. (1)求椭圆的方程; (2)若 P 为椭圆 C 上的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的 直线上的点, 曲线.

OP OM

,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么 ? e (e 为椭圆的离心率)

12.如图,线段 AB 的两个端点 A, B 分别在 x, y 轴上滑动, AB ? 3 ,点 M 是线段 AB 上 一点,且 AM ? 1 ,点 M 随 AB 的滑动而运动. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)过定点 N

?

3, 0 的直线 l 交曲线 E 于 C , D 两点,交 y 轴于 P ,

?

若 PC ? ?1 CN , PD ? ?2 DN ,求证: ?1 ? ?2 为定值.

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13.在平面直角坐标中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右顶点为 A, B ,右焦点为 F .设过点 9 5

T ?t, m? 的直线 TA, TB 与椭圆交于 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,其中 m ? 0, y1 ? 0, y2 ? 0
2 2 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求 P 点的轨迹; (2)设 x1 ? 2, x2 ?

1 ,求 t 点的坐 3

标; (3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上一定点(与 m 无关)

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