haiwangxing99com:等比数列的概念与性质练习题

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等比数列的概念与性质练习题

1.已知等比数列{an} 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a52 , a2 =1,则 a1 =

A. 1

B. 2 C. 2

D.2

2

2

2. 如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么( )

A、 b ? 3, ac ? 9 B、 b ? ?3, ac ? 9 C、 b ? 3, ac ? ?9 D、 b ? ?3, ac ? ?9

? 3、若数列 an? 的通项公式是 an ? (?1)n (3n ? 2),则a1 ? a2 ? ? a10 ?

(A)15

(B)12 (C) ???

D) ???

4.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,,则公比 q 为( )

A.2

B.3

C.4

D.8

5..若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为

A.2

B.4

C.8

D.16

6.若互不相等的实数 a,b, c 成等差数列, c, a,b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ?10 ,则 a ?

A.4

B.2

C.-2

D.-4

7.公比为 3 2 等比数列{an} 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log 2 a16 =(



A. 4

B. 5

C. ?

D. ?

? ? 8.在等比数列 an

中, a7

? a11

? 6, a4

? a14

? 5 ,则 a20 a10

?(



A. 2

B. 3

3

2

C. 2 或 3 32

D. - 2 或- 3 32

9.等比数列{an} 中,已知 a1a2a12 ? 64 ,则 a4a6 的值为( )

A.16

B.24

C.48

D.128

10.实数 a1, a2 , a3, a4 , a5 依次成等比数列,其中 a1 =2, a5 =8,则 a3 的值为(



A. -4

B.4

C. ±4

D. 5

? ? 11.等比数列 an 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4a7 =18,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 a10 =

A.12

B.10

C. 8

D.2+ log3 5

? ? 12. 设函数 f ?x? ? ?x ?1?2 ? n ?1 ? x ? 3, n ? N * 的最小值为 an ,最大值为 bn ,则 cn ?bn 2 a?bn n 是( )

A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列

C.常数列

D.既不是等差数列也不是等比数列

13. 三个数 a,b, c 成等比数列,且 a ? b ? c ? m, m ? 0 ,则 b 的取值范围是( )

A.

???0,

m 3

? ??

B.

????

m,?

m 3

? ??

C. ?? 0, m ?? ? 3?

D.

??

m,0?

?

?? ?

0,

m 3

? ??

14.已知等差数列{an } 的公差 d

?

0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 a2 ? a4

? a9 ? a10

的值为



15.已知 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则 a1 ? a2 ? ______. b2

-可编辑修改-



a1

16.已知

an

?

2

?

?? ?

1 3

?? ?

n

,把数列 {an }

的各项排成三角形状:

a2 a5

, ,

a3 a6

, ,

a4 a7

,

a8

,

a9

??

记 A?m, n?表示第 m 行,第 n 列的项,则 A?10,8?=_______.

17.设二次方程 an x2 ? an?1x ?1 ? 0(n ? N ? ) 有两个实根? 和 ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 .

(1)试用 an 表示 an?1 ;

(2)求证:{an

?

2} 3

是等比数列;

(3)当

a1

?

7 6

时,求数列{an} 的通项公式.

18.已知两个等比数列?an ?、 ?bn ?满足 a1 ? a?a ? 0?, b1 ? a1 ? 1,b2 ? a2 ? 2,b3 ? a3 ? 3 . (1)若 a ? 1 ,求数列?an ?的通项公式; (2)若数列?an ?唯一,求 a 的值.

-可编辑修改-


等比数列的概念与性质练习题参考答案

? ? 1.B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q2 ? a1q8 ? 2 a1q4 2 ,即 q2 ? 2 ,又因为等比数列{an} 的公比为正数,

所以 q ?

2 ,故 a1

?

a2 q

?

1? 2

2 ,选 B 2

2.B 3.A 4. A 5。B

6. D解析 由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ?10 可得b=2,

所以a=2-d,c=2+d,又 c, a,b 成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D

7.【解析】 a3a11 ? 16 ? a72 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5 .

8.C 9.A 10.B 11.B 12.【解析】选 A.由已知得 an=f(1)=n,bn=f(-1)=f(3)=n+4,∴cn=bn2-anbn=(n+4)2-n(n+4)=4n+16,显然{cn}是

公差为 4 的等差数列。

13.【分析】应用等比数列的定义和基本不等式。选 D。

14. 13 16

15. 5 2

;解析:∵1,

a1,

a2,

4

成等差数列,∴ a1 ? a2

? 1? 4 ? 5 ;∵1,

b1,

b2,

b3,

4

成等比数列,

∴ b22 ? 1? 4 ? 4 ,

又 b2

? 1? q2

? 0 ,∴ b2

? 2 ;∴ a1 ? a2
b2

?

5 2



16.前

m

项共有

m2

个项,前

9

项共用去 81项,A?10,8? 为第10

行第 8

个数,即

n

?

89



A?10,8?

?

2?

??

1

?89 ?



?3?

17.(1)解析:? ? ? ? an?1 ,?? ? 1 ,而 6? ? 2?? ? 6? ? 3 ,得 6an?1 ? 2 ? 3 ,

an

an

an an



6an?1

?

2

?

3an

,得

an?1

?

1 2

an

?

1 3



(2)证明:由(1)

an?1

?

1 2

an

?

1 3

,得

an?1

?

2 3

?

1 2

(an

?

2) 3

,所以{an

?

2} 3

是等比数列;

(3)解析:当

a1

?

7 6

时,{an

?

2} 3

是以

7 6

?

2 3

?

1 2

为首项,以

1 2

为公比的等比数列,

an

?

2 3

?

1 2

?

(

1 2

)

n?1

,得

an

?

2 3

? (1)n(n? 2

N?) .

18.【分析】 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2. 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2, 所以{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1. (2)设{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0.(*)由 a>0 得,Δ =4a2+

-可编辑修改-


4a>0 ,故方程(*)有两个不同的实根,由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a=13.

19.数列{an}为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列{bn} 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1,数列

{ban } 是公比为 64 的等比数列, b2S2 ? 64 .

(1)求 an , bn

;(2)求证

1 S1

?

1 S2

?

? 1 ? 3. Sn 4

19.解:(1)设{an}的公差为 d ,{bn}的公比为 q ,则 d 为正整数,
an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1

依题意有

? ? ?

ban?1 ban

?

q3?nd q 3? ( n ?1) d

? qd

? 64 ? 26



? ?

S2b2 ? (6 ? d )q ? 64

由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子1, 2,3, 6 之一,

解①得 d ? 2, q ? 8

故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1

(2) Sn ? 3 ? 5 ? ? (2n ?1) ? n(n ? 2)

∴1?1? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1

S1 S2

Sn 1?3 2? 4 3?5

n(n ? 2)

? 1 (1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 )

2 32435

n n?2

? 1 (1? 1 ? 1 ? 1 ) ? 3 2 2 n?1 n? 2 4

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