【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.掌握空间两条直线间的位置关系,理解异 面直线的定义中“不同在”的含义. ? 2.知道两条异面直线所成角的意义,掌握两 条直线垂直的含义. ? 3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解决 有关问题.

? ●温故知新 ? 旧知再现 ? 在初中,我们已经学习了在同一平面内的两 相交或平行 条直线的位置关系: ____________,还学习 有且只有 了一些平行线的性质: ? ①过直线外一点__________一条直线和这条 也互相平行 直线平行. ? ②在同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线____________这 一性质通过本节的学习也能进一步推广到空 间.

相等 相等 ? ③两直线平行同位角 ________,内错角 _______ ,同旁内角_______. 互补

④两直线平行分线段成比例如,在△ABC 中 DE∥BC,交
AE AD EC AB 于点 D,AC 于点 E,则DB=__________.

? 新知导学 ? 1.异面直线 任何一个 ? (1)概念:不同在 __________平面内的两条直 线叫做异面直线. ? [归纳总结] 对定义可作如下理解:“不同在 任何一个平面内的两条直线”是指不存在一 个平面同时经过这两条直线,或者说找不到 一个平面同时经过这两条直线.“异面”的 含义就是“不能共面”的意思.定义中“任 何”是不可缺少的关键词,不能误解为“不 同在某一平面内”.

? (2)图示:如图(1)(2)所示,为了表示异面直线 不共面的特点,作图时,通常用一个或两个 平面来衬托.

? 2.空间两条直线的位置关系 有且只有 ? (1)相交直线——同一平面内,__________一个 没有 公共点. ? (2)平行直线——同一平面内,__________公共 点. ? (3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有 公共点.

[名师点拨]

(1)若无特别说明,本书中的两条直线均指不

重合的两条直线. (2)空间两条直线的位置关系
? ? 相交 ?共面? ? ? 空间两条直线? ?平行 ? ?异面

平行 ______ ? 文字语言 3.公理平行于同一条直线的两条直线互相 4 图形语言 符号语言 作用 说明 a∥c 直线a,b,c,a∥b,b∥c?__________ 证明两条直线平行 传递性 公理4表述的性质通常叫做空间平行线的______

? [名师点拨] 公理4是今后论证平行问题的主 要依据.在公理4中,若把直线a,b,c的平 行关系限制在同一平面内,则可看作是公理4 的一种特殊情况.

?

文字 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这 4.等角定理 相等 互补 语言 两个角__________ 或__________ 图形 语言 符号 语言 作用 OA∥O′A′,OB∥O′B′?∠AOB=∠ A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180° 证明两个角相等或互补

? [归纳总结] 等角定理是由平面图形推广到空 间图形而得到的,它是公理4的直接应用,并 且当这两个角的两边方向分别相同或相反时, 它们相等,否则它们互补.
? 初中的一些结论在空间中仍然成立:如果两 条平行线中的一条垂直于第三条直线,那么 另一条也垂直于第三条直线.但是,初中有 的结论在空间中不成立:如果两条直线都和 第三条直线垂直,那么这两条直线平行.初 中的结论在空间中成立的标准是已知条件能 确定在同一个平面内,在空间中就成立,否 则不成立.

? 5.两条异面直线所成的角(夹角) ? (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间 锐角 a′直角 任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把 与b′所 成的_____(或______)叫做异面直线a与b所成 的角(或夹角). ? [名师点拨] 在定义中,空间一点O是任取的, 根据等角定理,可以断定异面直线所成的角 与a′,b′所成的锐角(或直角)相等,而与点O 的位置无关.异面直线所成的角是刻画两条 异面直线相对位置的一个重要的量,是通过 转化为相交直线所成的角来解决的.

0°<α≤90° ? (2)异面直线所成的角α的范围: ________________. ? 直角 (3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所 ⊥ ,那么就说这两条直线互相 成的角是_______ 垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作 a______b. ? [归纳总结] 两条直线垂直是指相交垂直或异 面垂直.

? ●自我检测 ? 1.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是 ( ) ? A.SB B.SC ? C.BC D.AB ? [答案] C ? [解析] 如图所示,SB、SC、AB、AC与SA均 是相交直线,BC与SA既不相交,又不平行, 是异面直线.

? 2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 判断下列直线的位置关系:

? (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ________. ? (2)直线A1B与直线B1C的位置关系________. ? (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ________.

序号 ] 结论 ? [解析 (1) (2) (3) (4) 平行

理由 ∵A1D1 綊 BC,∴四边形 A1BCD1 为平行

四边形,∴A1B∥D1C 异面 A1B 与 B1C 不同在任何一个平面内 相交 D1D∩D1C=D1 异面 AB 与 B1C 不同在任何一个平面内

? [规律](1)判断两直线平行、相交可用平面几 何中的定义和方法. ? (2)判断异面直线的方法有如下几种
方法 内容 定义法 依据定义判断两直线不可能在同一个平面内 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经 定理法 过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 即假设这两条直线不是异面直线,那么它们是共 面直线(即假设两条直线相交或平行),结合原题中 假设法 的条件,经正确地推理,得出矛盾,从而断定假 设“两条直线不是异面直线”是错误的,进而得 出结论:这两条直线是异面直线

? 3.如图,AA′是长方体ABCD-A′B′C′D′的一条棱, 那么长方体中与AA′平行的棱共有________ 条.

? [答案] 3

? ? ? ? ?

[解析] ∵四边形ABB′A′,ADD′A′均为长方形, ∴AA′∥BB′,AA′∥DD′. 又四边形BCC′B′为长方形, ∴BB′∥CC′,∴AA′∥CC′. 故与AA′平行的棱共有3条,它们分别是BB′, CC′,DD′.

? 4.已知空间两个角α,β,且α与β的两边对 应平行,α=60°,则β为( ) ? A.60° B.120° ? C.30° D.60°或120° ? [答案] D ? [解析] ∵α与β的两边对应平行,∴α与β相 等或互补,故β为60°或120°.

? 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,则:

? ? ? ?

(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________. (2)AA1与B1C所成的角的度数为________. (3)A1B与B1C所成的角的度数为________. [答案] (1)90° (2)45° (3)60°

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

[解析] (1)∵AA1∥DD1, ∴∠DD1C1即为所求的角. ∵∠DD1C1=90°, ∴AA1与C1D1所成的角为90°. (2)∵AA1∥BB1,∴∠BB1C即为所求的角. ∵∠BB1C=45°, ∴AA1与B1C所成的角为45°. (3)∵易证A1D∥B1C, ∴∠BA1D(或其补角)即为所求, ∵易知△BA1D为正三角形, ∴∠BA D=60°,故A B与B C所成的角为

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●典例探究
空间两条直线位置关系的判定
已知 a,b,c 是空间三条直线,下面给出四个命 题: ①如果 a⊥b,b⊥c,那么 a∥c;②如果 a,b 是异面直线, b,c 是异面直线,那么 a,c 也是异面直线;③如果 a,b 是相 交直线,b,c 是相交直线,那么 a,c 也是相交直线;④如果 a, b 共面,b,c 共面,那么 a,c 也共面.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

在上述命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] A [解析] ①a与c可能相交,也可能异面; ②a与c可能相交,也可能平行; ③a与c可能异面,也可能平行; ④a与c可能不在一个平面内. 故①②③④均不正确.

?

规律总结:1.判断空间中两条直线位置 关系的诀窍 ? (1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、 相交和异面三种位置关系.特别关注异面直 线. ? (2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会 举例说明两条直线的位置关系.

? 2.判定两条直线是异面直线的方法 ? (1)方法一:证明两条直线既不平行又不相 交. ? (2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点 的直线,和这个平面内不经过此点的直线是 异面直线.用符号语言可表示为A?α,B∈α, B?l?AB与l是异面直线(如图).

? (2013~2014·河北馆陶一中月考试题)分别和 两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 ( ) ? A.一定平行 B.一定相交 ? C.一定异面 D.相交或异面 ? [答案] D

? [分析] 画出图形,得到结论.

? 如图①,分别与异面直线a,b平行的两条直 线c,d是相交关系; ? 如图②,分别与异面直线a,b平行的两条直 线c,d是异面关系. ? 综上可知,应选D.

公理4、等角定理的应用
如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E,F,E1,F1 分别是棱 AB, AD,B1C1,C1D1 的中点.求证: (1)EF 綊 E1F1; (2)∠EA1F=∠E1CF1.

1 1 [分析] (1) EF綊2BD,E1F1綊2B1D1 →

BD綊B1D1 → EF綊E1F1

(2) CF1∥A1E,A1F∥CE1 → ∠EA1F=∠E1CF1

[解析] (1)如图,连接 BD,B1D1,在△ABD 中,因为 E, 1 F 分别为 AB,AD 的中点,所以 EF 綊2BD.

1 同理,E1F1 綊2B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 綊 DD1, 所以四边形 BB1D1D 为平行四边形,所以 BD 綊 B1D1, 1 1 又 EF 綊2BD,E1F1 綊2B1D1, 所以 EF 綊 E1F1.

(2)取 A1B1 的中点 M,连接 F1M,BM,则 MF1 綊 B1C1. 又 B1C1 綊 BC,所以 MF1 綊 BC, 所以四边形 BMF1C 为平行四边形, 所以 BM∥CF1.

1 1 因为 A1M=2A1B1,BE=2AB,且 A1B1 綊 AB, 所以 A1M 綊 BE,所以四边形 BMA1E 为平行四边形, 所以 BM∥A1E,所以 CF1∥A1E. 同理可证 A1F∥CE1. 因为∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行,且方向都相 反,所以∠EA1F=∠E1CF1.

[方法探究]

在证明∠EA1F=∠E1CF1 时, 还可以通过证明

△A1EF≌△CF1E1 来实现, 由于 EF=E1F1, 所以只需要证明 A1E =A1F=CE1=CF1(在这些边所在的直角三角形中,利用勾股定 理即可证明).

?

规律总结:求证两直线平行,目前有两 种途径:一是应用公理4,即找到第三条直线, 证明这两条直线都与之平行,这是一种常用 方法,要充分用好平面几何知识,如有中点 时用好中位线性质等;二是证明在同一平面 内,这两条直线无公共点.

? 求证角相等:一是用等角定理;二是用三角 形全等或相似.

? 已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 AD、A1D1的中点,求证:∠BEC=∠B1E1C1. ? [分析] 欲证两个角相等,可通过等角定理来 实现.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

[证明] 如图所示,连接EE1. ∵E、E1分别是AD、A1D1的中点, ∴AE∥A1E1,且AE=A1E1. ∴四边形AEE1A1是平行四边形. ∴AA1∥EE1,且AA1=EE1. 又∵AA1∥BB1,且EE1=BB1. ∴四边形BEE1B1是平行四边形. ∴BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1. 又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同, ∴∠BEC=∠B1E1C1.

求异面直线所成的角

如图, P 是平面 ABC 外一点, PA=4, BC=2 5, D, E 分别为 PC 和 AB 的中点, 且 DE=3.求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小.

[分析]

平移PA,BC至 找出PA和 求出 → → 一个三角形中 BC所成的角 此角

? [解析] 如图,取AC中点F, 连接DF,EF,在△PAC中, ? ∵D是PC中点,F是AC中点, ? ∴DF∥PA,同理可得 EF∥BC, ? ∴∠DFE为异面直线PA与 在△DEF 中,DE=3, BC所成的角(或其补角).
1 1 又 DF=2PA=2,EF=2BC= 5, ∴DE2=DF2+EF2. ∴∠DFE=90° ,即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90° .

? [易错警示] ∠DFE是否异面直线PA与BC所成 的角,还要检验它的值是否在(0°,90°] 内.若在,则为所求,否则其补角才是所 求.这是容易忽略的一步.

?

规律总结:1.求异面直线所成的角的一 般步骤为: ? (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法, 遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直 线依附于某几何体,且直线对异面直线平移 有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异 面直线转化为相交直线. ? (2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解 三角形,求出所找的角. ? (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若 0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ< 180°,则180°-θ为所求.

? 2.求两异面直线所成角的大小. ? (1)求两异面直线所成角的关键在于作角,总 结起来有如下“口诀”: ? 中点、端点定顶点,平移常用中位线; ? 平行四边形柱中见,指出成角很关键; ? 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨; ? 平行线若在外,补上原体在外边.

? (2)如果求得的角的余弦值为负值的话,这说 明两条异面直线所成的角应该是所求角的补 角,所以在指明所求角的时候,应该说“这 个角或其补角”即为所求的角. π
特别提醒:两条异面直线所成角的范围:(0,2].

? 四面体A-BCD中,AB=CD,AB与CD成30° 角,E,F分别是BC,AD的中点,求EF和AB所 成的角. [解析] 如图,取 BD 的中点 G,连
接 EG,FG. ∵E,F,G 分别是 BC,AD,BD 的 中点, 1 1 ∴EG 綊2CD,GF 綊2AB,

? ? ? ? ?

∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角, 即∠EGF=30°或150°. ∵AB=CD,∴EG=GF, 故由等腰△EGF知∠GFE=75°或15°. 而由FG∥AB知,∠GFE就是EF和AB所成的 角. ? 从而EF和AB所成的角为75°或15°.

●误区警示 易错点 没有形成立体感考虑问题易出错 设点 P 是直线 a 外一定点,过点 P 与 a 成 30° 角的异面直线有( A.无数条 C.至多有两条 ) B.两条 D.一条

? [错解] B ? [错因分析] 错误产生的原因是局限在平面内 了,而我们现在研究的平台是三维空间.

? [思路分析] 如图,与α成30°角的圆锥面上 的母线有无数条.

? [正解] A

? 已知∠AOB=30°,过点O与直线OA、OB成 等角的直线有( )条( ) ? A.无数 B.2 ? C.1 D.至多2 ? [答案] A

随堂测评

? ? ? ? ?

1.不平行的两条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 [答案] D [解析] 由于空间两条直线的位置关系是平行、 相交、异面,则不平行的两条直线的位置关 系是相交或异面.

? 2.如果两条直线a和b没有公共点,那么a和 b( ) ? A.共面 B.平行 ? C.异面 D.平行或异面 ? [答案] D ? [解析] 直线a,b没有公共点时,a,b可能 平行,也可能异面.

? 3.(2013~2014沈阳二中月考试题)空间中垂 直于同一条直线的两条直线的位置关系( ) ? A.平行 B.相交 ? C.异面 D.不确定 ? [答案] D

? 4.已知∠ABC=120°,异面直线MN、PQ其 中MN∥AB,PQ∥BC,则异面直线MN与PQ所 成的角为( ) ? A.60° B.120° ? C.60°或120° D.30° ? [答案] A

AE AH CF CG 5. 在空间四边形 ABCD 中, 如图所示, AB=AD, CB=CD, 则 EH 与 FG 的位置关系是________.

? [答案] 平行

[解析] 如图,连接 BD,在△ABD 中, AE AH AB=AD,则 EH∥BD, 同理可得 FG∥BD. ∴EH∥FG.

? 6.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E、 F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点, 求证:EE′∥FF′.

? ? ? ? ?

[证明] ∵E、E′分别是AB、A′B′的中点, ∴BE∥B′E′,且BE=B′E′. ∴四边形EBB′E′是平行四边形. ∴EE′∥BB′,同理可证FF′∥BB′. ∴EE′∥FF′.

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