高中数学必修四人教版3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式14ppt课件_图文

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、 正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系. [理要点] 一、两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)= cos(α±β)= tan(α±β)= sinαcosβ±cosαsin β ; cosαcosβ?sinαsin ;β tan. α± tanβ 1?tanαtanβ 其公式变形为: tanα+tanβ= tan(α+β)(1-tanαtan β) ; tan(α-β)(1+tanαtan β) ; tanα+tanβ . 1- tan?α+β? tanα-tanβ= tanαtanβ= 二、二倍角公式 sin2α= cos2α= tan2α= 2sinαcos α ; 2α cos2α-sin= 2cos =2α-1 ; 1-2sin2α 2tanα . 2 1-tan α 其公式变形为: sin2α= cos2α= 1-cos2α ; 2 1+cos2α . 2 [究 疑 点] 1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗?若出现不 适用的情况如何化简? π 提示:在 T(α+β)中,α、β、α± β 都不等于 kπ+ (k∈Z), 2 即保证 tanα、tanβ、tan(α+β)都有意义;若 α、β 中有 π 一角是 kπ+ (k∈Z),可利用诱导公式化简. 2 2.你能用tanα来表示sin2α,cos2α吗? 2sinαcosα 2tanα 提示:sin2α=2sinαcosα= = ; sin2α+cos2α tan2α+1 2 2 2 cos α - sin α 1 - tan α 2 2 cos2α=cos α-sin α= 2 2 = 2 . cos α+sin α 1+tan α [题组自测] cos2α 2 1.若 =- ,则 cosα+sinα 的值为________. ? π? 2 sin?α- 4 ? ? ? 解析:本题考查了三角函数化简求值. cos2α-sin2α cos2α = ? π? 2 sin?α-4 ? ?sinα-cosα? ? ? 2 2 =- 2(sinα+cosα)=- , 2 1 ∴sinα+cosα= . 2 1 答案: 2 π 2 2.若 tan(α+ )= ,则 tanα=________. 4 5 tanα+1 2 π 解析:tan(α+ )= = , 4 1-tanα 5 ∴5tanα+5=2-2tanα, 3 ∴7tanα=-3,∴tanα=- . 7 3 答案:- 7 3 5 3.在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,求 cosC. 5 13 5 π 12 解:由 cosB= 得 0<B< ,sinB= . 13 2 13 3 12 而 sinA= < =sinB. 5 13 sinA<sinB?2RsinA<2RsinB?a<b?A<B. 4 ∴A 为锐角,∴cosA= , 5 ∴cosC=-cos(A+B) 16 =-cosA· cosB+sinA· sinB= . 65 1 5 4.已知 tanα=- ,cosβ= ,α、β∈(0,π). 3 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值. 解:(1)由 cosβ= 5 2 5 ,β∈(0,π),得 sinβ= ,tanβ=2, 5 5 tanα+tanβ 所以 tan(α+β)= =1. 1-tanαtanβ 1 (2)因为 tanα=- ,α∈(0,π), 3 所以 sinα= 1 3 ,cosα=- , 10 10 3 5 5 5 2 5 f(x)=- sinx- cosx+ cosx- sinx 5 5 5 5 =- 5sinx, 所以 f(x)的最大值为 5. 本题条件不变,求α+β的值. 解:由 4(1)可知 tan(α+β)=1, 5 ∵cosβ= >0,β∈(0,π) 5 π ∴β∈(0, ) 2 1 又 tanα=- <0,α∈(0,π) 3 π ∴α∈( ,π) 2 π 3π ∴ <α+β< 2 2 5π ∴α+β= . 4 [归纳领悟] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角 函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注 意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. [题组自测] 1. (2010· 福建高考)计算 1-2sin222.5° 的结果等于( 1 A. 2 3 C. 3 2 ) 2 B. 2 3 D. 2 2 解析:1-2sin 22.5° =cos45° = . 2 答案:B π 2.函数 f(x)= 3sinx+sin( +x)在 x∈R 上的最小值等于 2 ( A.-2 C.2 B. 0 D.-1 ) π 解析: 由于 f(x)= 3sinx+sin( +x)= 3sinx+cosx= 2 π 2sin(x+ ),故其最小值为-2. 6 答案: A 2 3. 设 a= (sin56° -cos56° ), b=cos50° cos128° +cos40° · cos38° , 2 1-tan240° 30′ 1 c= , d= (cos80° -2cos250° +1), 则 a, b, c, 2 2 1+tan 40° 30′ d 的大小关系为 A.a>b>d>c C.d>a>b>c B.b>a>d>c D.c>a>d>b ( ) 解析:a=sin(56° -45° )=sin11° , b=-sin40° cos52° +cos40° sin52° =sin(52° -40° )=s

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