辽宁省丹东市2016届高三上学期10月阶段测试文科数学试卷

丹东市 2 016 届高三总复习阶段测试

文科数学
命题:宋润生 马玉林齐 丹 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 审核:宋润生

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)设全集 U ? R ,集合 M ? {x | ?2 ? x ? 2} , N ? {x | x ? 1} ,则 M ? ? U N ? (A) {x |1 ? x ? 2} (C) {x | x ? 1} (2)若复数 (B) {x |1 ? x ? 2} (D) {x | ?2 ? x ? 1}

1 ? ai ( i 是虚数单位, a ? R )的实部和虚部相等,则 a ? 2?i 1 1 (A) ?1 (B) ? (C) (D) 3 3 3

? (3)在△ ABC 中,若 BC ? 3 , AC ? 2 , ?B ? 45 ,则 ? A ?

(A) 60 ? 或 120? (C) 30 ? 或 150?
2

(B) 60 ? (D) 30 ?

(4)已知 y ? f ( x) ? 3x 是奇函数, f (2) ? 3 ,设 g ( x) ? f ( x) ? 3x ,则 g (?2) ? (A) ?27 (B) 27 (C) ?21 (D) 21

(5)在长为 3 的线段上任取一点,则该点到两端点的距离都不小于 1 的概率为 (A)

1 3

(B)

2 3

(C)

4 9

(D)

5 9

(6)已知 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,若 f ( ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 图象的一条对称轴直线是 (A) x ?

?

?
3

3 2? (B) x ? 3

(C) x ?

5? 12

(D) x ?

7? 12

(7)设 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则函数 f ( x ) (A)是偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 (B)是偶函数,且在 (0,1) 上是减函数 (C)是奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 (D)是奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 (8)已知 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a7 ? 9a3 ,则 (A) 9 (B) 5

S9 ? S5
(D)

(C)

18 5

9 25

(9)设 f ( x) ? ax , g ( x) ? 2 ln x ,若 ?x0 ?[1, e] , f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则 (A) a ? 0 (C) 0 ? a ? (B) a ? 0

2 e

(D) 0 ? a ?

2 e
x

(10) 函数 f ( x ) 的图象向右平移 1 个单位长度, 所得图象与函数 y ? 2 的图象关于 y 轴对称, 则 f ( x) ? (A) 2
x ?1

(B) 2

x ?1

(C) 2

? x ?1

(D) 2

? x ?1

(11)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),?,则第 70 个“整数对”为 (A) (3,9)
3

(B) (4,8)
2

(C) (3,10)

(D) (4,9)

(12)已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 1 , f ?( x) ? 3ax( x ? 2) ,若函数 y ? f ( x) 有 3 个不同的 零点,则实数 a 的取值范围是 (A) (??, ? ) (C) ( , ??)

1 4

(B) (0, ) (D) (??, )

1 4

1 4

1 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知 tan x ? 2 ,则 tan( (14)公比为 ?

?
4

? x) ? .

1 的等比数列 {an } 的前 6 项和 S6 ? 21,则 2a1 ? a6 ? . 2
x x

(15)已知 x ? log3 2 ? 1 ,则 4 ? 2 ? . (16)数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2n ? an ? n , a2 n?1 ? an ? 1 ,则{an } 前 29 项和为. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)
2 设函数 f ( x) ? 2 cos (

?

(Ⅰ)求 f ( ?

?
12

? x) ? sin(2 x ? ) ? 1 . 4 3

?

) 的值;

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [?

?
2

, 0] 上的最大值和最小值.

(18) (本小题满分 12 分)

Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,已知 an ? 0 ,
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

an ? 1 ? Sn . 2

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(19) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别是△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边, b cos C ? 3a cos B ? c cos B . (Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)若△ ABC 的面积是 2 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a 和 c 的值.

(20) (本小题满分 12 分) 为了调查某校学生体质健康达标情况,现采用随机抽样的方法从该校抽取了 m 名学生进 行体育测试.根据体育测试得到了这 m 名学生各项平均成绩(满分 100 分) ,按照以下区间分 为七组:[30,40) ,[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100) ,得到频率分布直 方图如下图,己知测试平均成绩在区间[30,60)有 20 人. (Ⅰ)求 m 的值及中位数 n; (Ⅱ)若该校学生测试平均成绩小于 n,则学校应适当增加体育活动时间,根据以上抽样 调查数据,该校是否需要增加体育活动时间?
频率 组距 0.040

0.022 0.018 0.010 0.006 0.002 30 40 50 60 70 80 90 100 成绩

(21) (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? 2 ln x ?

m . x ?1

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,判断函数 f ( x ) 的单 调性; (Ⅱ)若 x ? 1 时, f ( x) ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 AB 是⊙ O 的一条弦,过点 A 作圆的切线 l ,过点 B 作 BC ? l ,垂足是 C , BC 与 ⊙ O 交于点 D ,已知 AC ? 2 3 , CD ? 2 . (Ⅰ)求⊙ O 的面积; (Ⅱ)连结 OD ,交 AB 于点 E ,证明:点 E 为 AB 中点. D C (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : x ? 2 y ? 2 ,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建
2 2

B O E A l

立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ?

4 2 sin ? ? cos ?



(Ⅰ)写出曲线 C1 的参数方程,曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是曲线 C1 上一点, N 是曲线 C2 上一点,求 | MN | 的最小值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含区间 [1, 2] ,求实数 a 的取值范围.

丹东市 2016 届高三总复习阶段测试

文科数学试题参考答案
一、选择题: (1)B (7)B 二、填空题: (13) ?3 (14) 63 (15) 6 (16) 120 (2)D (8)A (3)A (9)A (4)C (10)C (5)A (11)D (6)D (12)C

(9)解:命题“ ?x0 ?[1, e] , f ( x0 ) ? g ( x0 ) ” 也就是命题“ ?x0 ?[1, e] , ax0 ? 2ln x0 ”, 如图,只要 a ? 0 即可. 【注】因为命题“ ?x0 ?[1, e] , ax0 ? 2ln x0 ”的否定是“ ?x ?[1, e] , ax ? 2 ln x ”, 由图可知, a ? 0 时命题“ ?x ?[1, e] , ax ? 2 ln x ”为真,因此命题“ ?x0 ?[1, e] ,

ax0 ? 2ln x0 ”为真时,应该有 a ? 0 .
1 a1 ? a6 (? ) 2 ? 21 ,得 2a ? a ? 63 . (14)解:依题意 1 6 1 1 ? (? ) 2
(16)解:因为 a2n ? an ? n , a2 n?1 ? an ? 1 ,所以 a2n ? a2n?1 ? n ? 1 , 从而 S30 ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ???? ? (a28 ? a29 )

? 1 ? 2 ? 3 ???? ? 15 ? a30 ? 120
三、解答题:
(17)解:(Ⅰ) f (?

) ? 2 cos 2 ( ? ) ? sin(? ? ) ? 1 12 4 12 6 3

?

?

?

?

?

? 2 cos 2

?

3

? sin

?

(Ⅱ)因为 f ( x) ? cos 2(

?
4

6

?1 ? 0 ;

??(4 分)

? x) ? sin 2 x cos

?
3

? cos 2 x sin

?
3
??(6 分)

? 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin(2 x ? ) , 6 2 2

注:如果在第(Ⅰ)问合一变形正确,请把这 2 分加到第(Ⅰ)问。 因为 x ? [ ?

?
2

, 0] ,所以 2 x ? =

?
6

? [?

5? ? , ], 6 6

因此当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?
6

, x ? 0 时, f ( x ) 取最大值

3 ; 2

??(10 分)

时, f ( x ) 取最小值 ? 3 . ??(12 分) 2 3 a ?1 2 2 ? Sn 化为 an (18)解:(Ⅰ) n ? 2an ? 1 ? 4Sn ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 1 ? 4Sn?1 , 2

?

6

=?

?

,x??

?

可得 an?1 ? an
2

2

? 2(an?1 ? an ) ? 4an?1 ,即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? 2(an?1 ? an ) ,
??(2 分) ??(4 分)

由于 an 又 a1
2

? 0 ,可得 an?1 ? an ? 2 ,

? 2a1 ?1 ? 4a1 ,解得 a1 ? 1 ,

所以 {an } 是首项是 1,公差是 2 的等差数列,通项公式是 an (Ⅱ)设 ?

? 2n ? 1; ??(6 分)

a 2n ? 1 ? an ? ? 前 n 项和为 Tn ,由(Ⅰ)知 n ,则 n n ? 2 2n ?2 ?

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n , 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 两式相减得 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? ? 1 1 2 2 2 n 2 2n ? 1 即 Tn ? ? ? n ?1 , 1 2 2 2 1? 2 2n ? 3 所以 Tn ? 3 ? . 2n Tn ?
(19)解: (Ⅰ)由正弦定理得 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B , 即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B , 所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又 sin( B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A . 所以 sin A ? 3sin A cos B , 因为 sin A ? 0 ? 0 ,所以 cos B ? ;

??(12 分)

??(2 分)

1 3

??(6 分)

(Ⅱ)由

1 2 2 ac sin B ? 2 2 , sin B ? 得 ac ? 6 ①, 2 3
1 3

??(8 分)

由(Ⅰ)知 cos B ? ,所以 ac ? 6 , 又因为 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 8 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 所以 a 2 ? c 2 ? 12 ②, 由①②式解得 a ? c ? 6 . ??(12 分)

(20)解: (Ⅰ)由直方图知第 1 组,第 2 组和第 3 组的频率分别是 0.02,0.02 和 0.06, 则 m× (0.02+0.02+0.06)=20,解得 m=200. 由直方图可知,中位数 n 位于[70,80) ,则 0.02+0.02+0.06+0.22+0.04(n-70)=0.5,解得 n=74.5. (Ⅱ)设第 i 组的频率和频数分别为 pi 和 xi,由图知, p1=0.02,p2=0.02,p3=0.06,p4=0.22,p5=0.40,p6=0.18,p7=0.10, 则由 xi=200× pi,可得 x1=4,x2=4,x3=12,x4=44,x5=80,x6=36,x7=20, 故该校学生测试平均成绩是 — 35x1+45x2+55x3+65x4+75x5+85x6+95x7 x= =74<74.5, 200 所以学校应该适当增加体育活动时间. (21)解: (Ⅰ) f ( x ) 定义域是 (0, ??) , f ?( x) ? 依题意 f ?(1) ? 1 , f ?( x) ? 2 ? ??(12 分) ??(8 分) ??(6 分) ??(3 分)

2 m ? , x ( x ? 1) 2

m ? 1, m ? 4 , 4
??(6 分)

f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 单调增加; x( x ? 1)2
m ? 1, x ?1

(Ⅱ)不等式 f ( x) ? 1 即 2 ln x ?

因为 x ? 1 ,所以 m ? x ? 1 ? 2( x ? 1) ln x , 设 g ( x) ? x ? 1 ? 2( x ? 1) ln x , g ?( x) ? ?

2 x ln x ? x ? 2 , x

当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 [1, ??) 单调递减, 所以当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 ,因此 m ? 2 ,

实数 m 的取值范围是 [2, ??) . (22)解: (Ⅰ)取 BD 中点为 F ,连结 OF , 则 OF //AC , OF ? AC , 因为 AC 为圆 O 的切线, BC 为割线, 所以 CA2 ? CD ? CB ,由 AC ? 2 3, CD ? 2 , D 所以 BC ? 6, BD ? 4, BF ? 2 在 Rt ?OBF 中, r ? OB ? OF 2 ? BF 2 ? 4 , 所以⊙ O 的面积是 16? ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OA ∥ BD, OA ? BD ,连结 AD , 则四边形 OADB 为平行四边形, 所以 OD 与 AB 交于点 E ,所以点 E 为 AB 中点. C B O E A

??(12 分)

l

??(5 分)

??(10 分)

? ? x ? 2 cos? (23)解: (Ⅰ)曲线 C1 参数方程是 ? ( ? 是参数) , ? ? y ? sin ?
方程 ? ?

4 2 sin ? ? cos ?

可以化为 2? sin 2 ? ? ? cos? ? 4 , ??(5 分)

曲线 C2 的普通方程是 x ? 2 y ? 4 ? 0 ;

(Ⅱ)因为曲线 C2 是直线,所以 | MN | 的最小值就是 M 到直线 C2 距离的最小值, 设 M ( 2 cos ? ,sin ? ) ,则 M 到直线 C2 距离是

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? , 3 3
2 . 3
??(10 分)

?

当且仅当 ? ? 2k? ?

?
4

(k ? Z) 时取等号,则 | MN | 的最小值是

(24)解: (Ⅰ)当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 即 | x ? 3 | ? | x ? 2 |? 3 ,等价于:

?x ? 2 ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 或? 或? , ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
所以不等式 f ( x) ? 3 的解集是 {x | x ? 1或x ? 4} ; ??(5 分)

(Ⅱ)因为关于 x 的不等式 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含区间 [1, 2] , 而当 x ? [1, 2] 时, | x ? a | ? | x ? 2 |?| x ? 4 | 等价于 | x ? a |? 2 , 不等式 | x ? a |? 2 解集是 [?2 ? a, 2 ? a] , 所以 [?2 ? a, 2 ? a] ? [1, 2] ,所以 ? 因此实数 a 的取值范围是 [?3, 0] .

??2 ? a ? 1 , ?2 ? a ? 2
??(10 分)


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