新绛县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

新绛县第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知直线 x+ay﹣1=0 是圆 C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴,过点 A(﹣4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B, 则|AB|=( A.2 B.6 ) C.4 D.2 )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图,则该 几何体的表面积为(

A.54

B.162 C.54+18

D.162+18 则 2x+4y 的最小值是( )

3. 若实数 x,y 满足不等式组 A.6 B.﹣6 C.4 D.2

4. 设集合 A={x|﹣2<x<4},B={﹣2,1,2,4},则 A∩B=( A.{1,2} A.0 B.{﹣1,4} C.2 C.{﹣1,2} D.3 D.{2,4}

) )

5. 已知集合 P={x|﹣1<x<b,b∈N},Q={x|x2﹣3x<0,x∈Z},若 P∩Q≠?,则 b 的最小值等于( B.1

6. 设函数 f(x)=

则不等式 f(x)>f(1)的解集是(



A.(﹣3,1)∪(3,+∞) B.(﹣3,1)∪(2,+∞) C.(﹣1,1)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,3) 7. 已知 f(x)= A.充分不必要条件 ,则“f[f(a)]=1“是“a=1”的( B.必要不充分条件 )

C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 8. 如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱线长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 错误的是( ) ,则下列结论中

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A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值   9. 487 被 7 除的余数为 a(0≤a<7),则 A.4320 B.﹣4320 C.20 ) A.1 11.椭圆 C : B. C. D. D.﹣20 展开式中 x﹣3 的系数为( )

10.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是(

x2 y 2 ? ? 1 的左右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 是 C 上异于 A1 , A2 的任意一点,且直线 PA1 斜率的 4 3 取值范围是 ?1, 2? ,那么直线 PA2 斜率的取值范围是( )
A. ? ?

? 3 1? ,? ? 4 2? ?

B. ? ?

? 3 3? ,? ? 4 8? ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?3 ? ?4 ?

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识,意在考查函数与方程思想和 基本运算能力. 12.设集合 A ? {x |1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ,则的取值范围是( A. {a | a ? 2} B. {a | a ? 1} C. {a | a ? 1} D. {a | a ? 2} )

二、填空题
13.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积 是      .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 14 .设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? ( a ? 1) x ? 3( a ? 1) y 的最小值是 ?20 ,则实数 a ? ? x ? y ?1 ? 0 ?
______. 【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力.

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15.已知命题 p:实数 m 满足 m2+12a2<7am(a>0),命题 q:实数 m 满足方程 在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,a 的取值范围为      .

+

=1 表示的焦点

16.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)= x 3 ? x ,对任意的 m∈[﹣2,2],f(mx﹣ 2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为_____. 17.在平面直角坐标系中, a ? ( ?1,1) , b ? (1, 2) ,记 ?(? , ? ) ? M | OM ? ? a ? ? b ,其中 O 为坐标原点, 给出结论如下: ①若 ( ?1, 4) ? ?(? , ? ) ,则 ? ? ? ? 1 ; ②对平面任意一点 M ,都存在 ? , ? 使得 M ? ?(? , ? ) ; ③若 ? ? 1 ,则 ?(? , ? ) 表示一条直线; ④ ?(1, ? ) ? ?(? , 2) ? ?(1,5)? ; ⑤若 ? ? 0 , ? ? 0 ,且 ? ? ? ? 2 ,则 ?(? , ? ) 表示的一条线段且长度为 2 2 . 其中所有正确结论的序号是 . 18.如图,在棱长为的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E , F 分别是棱 BC , CC1 的中点, P 是侧 面 BCC1 B1 内一点,若 AP 1 平行于平面 AEF ,则线段 A 1 P 长度的取值范围是_________.

?

???? ?

?

三、解答题
19.已知函数 f(x)=lnx﹣a(1﹣ ),a∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的最小值为 0. (i)求实数 a 的值; (ii)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=f(an)+2,记[x]表示不大于 x 的最大整数,求证:n>1 时[an]=2.    

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20.(本题 12 分)已知数列 {xn } 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2 p ? nq ( n ? N , p ,为常数) ,且 x1,x4,x5
n
*

成等差数列,求: (1) p,q 的值; (2)数列 {xn } 前项和 S n 的公式.

21.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan﹣n(n﹣1). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别求出 an 的表达式; (2)设数列 (3)设 Cn=   的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< ; ,Tn=C1+C2+…+Cn,试比较 Tn 与 的大小.

1 2 ax ? x, a ? R . 2 (1)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ax ? 1? ,讨论 g ? x ? 的单调区间;
22.已知函数 f ? x ? ? ln x ?

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(2)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 x2 ? 0 ,证明 x1 ? x2 ?

5 ?1 . 2

23.已知数列{an}满足 a1= ,an+1=an+ (Ⅰ) (Ⅱ)0<an<1.   < ;

(n∈N*).证明:对一切 n∈N*,有

24.已知集合 P={x|2x2﹣3x+1≤0},Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}. (1)若 a=1,求 P∩Q; (2)若 x∈P 是 x∈Q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

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新绛县第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵圆 C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2)2+(y﹣1)2 =4, 表示以 C(2,1)为圆心、半径等于 2 的圆. 由题意可得,直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心(2,1), 故有 2+a﹣1=0,∴a=﹣1,点 A(﹣4,﹣1). ∵AC= ∴切线的长|AB|= 故选:B. 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性质的合理运用,属 于基础题.   2. 【答案】D 【解析】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体截去一个三棱锥得到的组合体, 其表面有三个边长为 6 的正方形,三个直角边长为 6 的等腰直角三角形,和一个边长为 6 成, 故表面积 S=3×6×6+3× ×6×6+ 故选:D   3. 【答案】B 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设 z=2x+4y 得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ 直线 y=﹣ 由 x+ x+ , x+ 经过点 C 时, × =162+18 , 的等边三角形组 = =2 =6. ,CB=R=2,

x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ 的截距最小,此时 z 最小, ,

,解得

即 C(3,﹣3), 此时 z=2x+4y=2×3+4×(﹣3)=6﹣12=﹣6. 故选:B

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义是解决本题的关键.   4. 【答案】A 【解析】解:集合 A={x|﹣2<x<4},B={﹣2,1,2,4},则 A∩B={1,2}. 故选:A. 【点评】本题考查交集的运算法则的应用,是基础题.   5. 【答案】C 【解析】解:集合 P={x|﹣1<x<b,b∈N},Q={x|x2﹣3x<0,x∈Z}={1,2},P∩Q≠?, 可得 b 的最小值为:2. 故选:C. 【点评】本题考查集合的基本运算,交集的意义,是基础题.   6. 【答案】A 【解析】解:f(1)=3,当不等式 f(x)>f(1)即:f(x)>3 如果 x<0 则 x+6>3 可得 x>﹣3,可得﹣3<x<0. 0≤x<1 如果 x≥0 有 x2﹣4x+6>3 可得 x>3 或 故选 A.   7. 【答案】B 【解析】解:当 a=1,则 f(a)=f(1)=0,则 f(0)=0+1=1,则必要性成立, 若 x≤0,若 f(x)=1,则 2x+1=1,则 x=0, 若 x>0,若 f(x)=1,则 x2﹣1=1,则 x= ,
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综上不等式的解集:(﹣3,1)∪(3,+∞)

即若 f[f(a)]=1,则 f(a)=0 或 若 a>0,则由 f(a)=0 或 1 得 即 a2=1 或 a2= a2 +1,解得 a=1 或 a=

, ﹣1=0 或 a2﹣1= , , ,

若 a≤0,则由 f(a)=0 或 1 得 2a+1=0 或 2a+1= 即 a=﹣ ,此时充分性不成立, 即“f[f(a)]=1“是“a=1”的必要不充分条件, 故选:B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据分段函数的表达式解方程即可.   8. 【答案】 D 【解析】解:∵在正方体中,AC⊥BD,∴AC⊥平面 B1D1DB,BE?平面 B1D1DB,∴AC⊥BE,故 A 正确; ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,EF?平面 A1B1C1D1,∴EF∥平面 ABCD,故 B 正确; ∵EF= ,∴△BEF 的面积为定值 ×EF×1= ,又 AC⊥平面 BDD1B1,∴AO 为棱锥 A﹣BEF 的高,∴三棱锥

A﹣BEF 的体积为定值,故 C 正确; ∵利用图形设异面直线所成的角为 α,当 E 与 D1 重合时 sinα= ,α=30°;当 F 与 B1 重合时 tanα= 直线 AE、BF 所成的角不是定值,故 D 错误; 故选 D. ,∴异面

  9. 【答案】B 解析:解:487=(49﹣1)7= ∵487 被 7 除的余数为 a(0≤a<7), ∴a=6, ∴ 展开式的通项为 Tr+1= , ﹣ +…+ ﹣1,

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令 6﹣3r=﹣3,可得 r=3, ∴ 故选:B.. 10.【答案】C 【解析】解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角面时,其面积最大 为 . . 因此可知:A,B,D 皆有可能,而 故选 C. 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为   11.【答案】B 是解题的关键. <1,故 C 不可能. 因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为 展开式中 x﹣3 的系数为 =﹣4320,

12.【答案】D 【解析】 试题分析:∵ A ? B ,∴ a ? 2 .故选 D. 考点:集合的包含关系.

二、填空题
13.【答案】 50π . 【解析】解 : 长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 所以长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为: 所以球的半径为: 故答案为:50π. ;则这个球的表面积是: =50π. ,

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【点评】本题是基础题,考查球的内接多面体的有关知识,球的表面积的求法,注意球的直径与长方体的对角 线的转化是本题的解答的关键,考查计算能力,空间想象能力.   14.【答案】 ?2 【 解 析 】

15.【答案】 [ , ] . 【解析】解:由 m2﹣7am+12a2<0(a>0),则 3a<m<4a 即命题 p:3a<m<4a, 实数 m 满足方程 + =1 表示的焦点在 y 轴上的椭圆,





,解得 1<m<2, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 解得 , ,

故答案为[ , ]. 【点评】本题考查充分条件、必要条件,一元二次不等式的解法,根据不等式的性质和椭圆的性质求出 p,q 的等价条件是解决本题的关键.  

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16.【答案】 ? ?2,

? ?

2? ? 3?

【解析】 17.【答案】②③④ 【解析】解析:本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力. 由 ? a ? ? b ? ( ?1, 4) 得 ?

??? ? ? ? ?1 ?? ? 2 ,∴ ? ,①错误; ?? ? 2 ? ? 4 ?? ? 1

a 与 b 不共线,由平面向量基本定理可得,②正确; ??? ? ???? ? ???? ? 记 a ? OA ,由 OM ? a ? ? b 得 AM ? ? b ,∴点 M 在过 A 点与 b 平行的直线上,③正确; ?? ? 1 由 a ? ? b ? ? a ? 2b 得, (1 ? ? )a ? ( ? ? 2)b ? 0 , ∵ a 与 b 不共线, ∴? , ∴ a ? ? b ? ? a ? 2b ? (1,5) , ∴④ ?? ? 2
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正确;

2 1 ? ? ?? x? y ? ? x ? ?? ? ? ?2 x ? y ? 0 ? 3 3 设 M ( x, y ) ,则有 ? ,∴ ? ,∴ ? 且 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,∴ ?(? , ? ) 表示的一 ? y ? ? ? 2? ?x ? y ? 0 ?? ? 1 x ? 1 y ? 3 3 ? 条线段且线段的两个端点分别为 (2, 4) 、 ( ?2, 2) ,其长度为 2 5 ,∴⑤错误.
18.【答案】 ? 【解析】

?3 2 , 5 ? , ? 2 ? ? 4

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考点:点、线、面的距离问题. 【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题,其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质,三角 形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及 推理与运算能力,同时考查了学生空间想象能力的训练,试题有一定的难度,属于中档试题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= ﹣ 当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x>a;由 f′(x)<0,解得 0<x<a. 所以 f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a). 综上述:a≤0 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞); a>0 时,f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+∞). (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)无最小值,不合题意; 当 a>0 时,[f(x)]min=f(a)=1﹣a+lna=0, 令 g(x)=1﹣x+lnx(x>0),则 g′(x)=﹣1+ = , = .

由 g′(x)>0,解得 0<x<1;由 g′(x)<0,解得 x>1. 所以 g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 故[g(x)]max=g(1)=0,即当且仅当 x=1 时,g(x)=0. 因此,a=1. (ⅱ)因为 f(x)=lnx﹣1+ ,所以 an+1=f(an)+2=1+ +lnan.

由 a1=1 得 a2=2 于是 a3= +ln2.因为 <ln2<1,所以 2<a3< . 猜想当 n≥3,n∈N 时,2<an< . 下面用数学归纳法进行证明.

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①当 n=3 时,a3= +ln2,故 2<a3< .成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N)时,不等式 2<ak< 成立. 则当 n=k+1 时,ak+1=1+ +lnak,

由(Ⅰ)知函数 h(x)=f(x)+2=1+ +lnx 在区间(2, )单调递增, 所以 h(2)<h(ak)<h( ),又因为 h(2)=1+ +ln2>2, h( )=1+ +ln <1+ +1< . 故 2<ak+1< 成立,即当 n=k+1 时,不等式成立. 根据①②可知,当 n≥3,n∈N 时,不等式 2<an< 成立. 综上可得,n>1 时[an]=2. 【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等 , 考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等,属难题.   20.【答案】(1) p ? 1, q ? 1 ;(2) S n ? 2
n ?1

?2?

n(n ? 1) . 2

考 点:等差,等比数列通项公式,数列求和. 21.【答案】 【解析】解:(1)证明:∵Sn=nan﹣n(n﹣1)

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∴Sn+1=(n+1)an+1﹣(n+1)n… ∴an+1=Sn+1﹣Sn=(n+1)an+1﹣nan﹣2n… ∴nan+1﹣nan﹣2n=0 ∴an+1﹣an=2, ∴{an}是以首项为 a1=1,公差为 2 的等差数列 … 由等差数列的通项公式可知:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, 数列{an}通项公式 an=2n﹣1;… (2)证明:由(1)可得 … = (3)∴ = 两式相减得 = , , … … , ,

=



= = ∴ ∴ ∵n∈N*, ∴2n>1, ∴ , , …





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∴  



22.【答案】(1)当 a ? 0 时,函数单调递增区间为 ? 0, ?? ? ,无递减区间,当 a ? 0 时,函数单调递增区间 为 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? ,单调递减区间为 ? , ?? ? ;(2)证明见解析. a? ?a ?

【解析】

试 题解析:

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(2)当 a ? ?2 时, f ? x ? ? ln x ? x ? x, x ? 0 ,
2

由 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 x2 ? 0 可得 ln x1 x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? x2 ? 0 ,
2 2

即 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? ln x1 x2 ,
2

1 t ?1 , t t 则 ? ? t ? 在区间 ? 0,1? 上单调递减,在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,
令 t ? x1 x2 , ? ? t ? ? t ? ln t ,则 ? ? ? t ? ? 1 ? ? 所以 ? ? t ? ? ? ?1? ? 1 ,所以 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ,
2

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5 ?1 , 2 由 x1 ? 0, x2 ? 0 可知 x1 ? x2 ? 0 .1
又 x1 ? x2 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 考点:函数导数与不等式. 【方法点晴】解答此类求单调区间问题,应该首先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错. 解决 含参数问题及不等式问题注意两个转化:(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒 成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数 的单调性问题处理. 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 23.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)∵数列{an}满足 a1= ,an+1=an+ ∴an>0,an+1=an+ ∴ ∴对一切 n∈N*, >0(n∈N*),an+1﹣an= , < . < , >0, (n∈N*),

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对一切 k∈N*, ∴ ∴当 n≥2 时, = >3﹣[1+ =3﹣[1+ =3﹣(1+1﹣ = , , ) ] ] ,

∴an<1,又

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∴对一切 n∈N*,0<an<1. 【点评】本题考查不等式的证明,是中档题,解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用,注意不等式性质 的灵活运用.   24.【答案】 【解析】解:(1) 当 a=1 时,Q={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2} 则 P∩Q={1} (2)∵a≤a+1,∴Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}={x|a≤x≤a+1} ∵x∈P 是 x∈Q 的充分条件,∴P?Q ∴ ,即实数 a 的取值范围是

【点评】本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,以及充分条件的运用,也是高考常会考的题型.  

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