抽象函数专题讲义学生版


抽象函数专题讲义学生版 题型一,抽象函数定义运算类型
典型例题
例 1, (2009· 辽宁文理 9)已知偶函数 f ( x) 在区间 [0, +? ) 上单调增加,则 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 取值范围是

1 3

1 2 ( A)( , ) 3 3

1 2 ( B )[ , ) 3 3

1 2 (C )( , ) 2 3

1 2 ( D )[ , ) 2 3

例 2,设函数 f ( x) 为 R 上的增函数,令 F ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) (1) 、求证: F ( x) 在 R 上为增函数 (2) 、若 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,求证 x1 ? x2 ? 2

例 3,若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是 A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? )

( )

3 2

3 2

3 2 3 D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2
B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2)

方法总结

变式训练 1.设偶函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? ?0,??? 时, f ( x) 是增函数,则 f (?2), f (? ) , f (?3) 的大小关系是 ( ) A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) B f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

1

C f (? ) ? f (?3) ? f (?2)

D

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

2, (2009 陕西文)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1 (A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3)

(B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

3,(2009 陕西理)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ,有

( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 .则当 n ? N * 时,有 (A) f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) (B) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) (C) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) (D) f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

w.w.w.k. s.5.u. c.o.m

题型二,抽象函数类周期函数运算问题
典型例题 例 1 , (2011 年高考上海卷理科 13) 设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若

f ( x) ? x ? g ( x) 在 [3, 4] 上 的 值 域 为 [?2,5] , 则 f ( x) 在 区 间 [?10,10] 上 的 值 域
为 。

例 2 , (2011 年 高 考 四 川 卷 理 科 11) 已 知 定 义 在 ? 0, ?? ? 上 的 函 数 f ( x) 满 足

f ( x)? 3 f ( ? x

,当 2 ) x ? ?0, 2? 时, f ( x) ? ? x2 ? 2 x .设 f ( x) 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值
n ??

为 an (n ? N*) ,且 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 lim S n ? (A)3 (B )

5 2

(C)2

(D)

3 2

例 3, (2011 年高考陕西卷理科 3)设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x) , 则 y ? f ( x) 的图像可能是

2

方法总结

变式训练 1. ( 2012 高 考 真 题 上 海 理 9 ) 已 知 y ? f ( x) ? x 2 是 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若

g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ?



4. (2009 山东文)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是 增函数,则( ). A. f (?25) ? f (11) ? f (80) B. f (80) ? f (11) ? f (?25)
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

5、(2009 四川文、理)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实 数 x 都有 A.

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 5 0 B. C. 1 D. 2 2

题型三:抽象函数新概念定义运算问题
例 1 , ( 2010
重 庆 15 ) 已 知 函 数

f ? x ? 满 足 : f ?1? ?

1 , 4

4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 f ? 2010? =_____________.

3

例 2,(2011 年高考天津卷理科 8)对实数 a 与 b , 定义新运算 “? ” : a ?b ? ?

?a, a ? b ? 1, ?b, a ? b ? 1.

2 2 设函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共

?

? ?

?

点,则实数 c 的取值范围是( A. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

) B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? 2?

? ?

3? ? 4?

C. ? ??, ? ? ?

? ?

1? 4?

?1 ? , ?? ? ?4 ?

D.

3 ? ?1 ? ? ? ?1, ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ? ?

例 3,已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x) 是奇函数;
(2) f ( x) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0, 求 a 的取值范围。

方法总结: 变式训练:
1.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当

x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,证明: (1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数;
(2)函数 y ? f ( x) 是奇函数。

4

2.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且

f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 和 g ( x) 的解析式. x ?1

3.【2012 高考真题福建理 10】函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有

f(

x1 ? x2 1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 )?则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有 2 2

性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的; ②f(x2)在[1, 3 ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④

历届抽象函数模拟题汇编
1. 已 知 函 数 y = f (x)(x ∈ R , x ≠ 0) 对 任 意 的 非 零 实 数 x1 , x2 , 恒 有 f( x1 x2 )=f( x1 )+f( x2 ), 试判断 f(x)的奇偶性。

5

2 已知定义在[-2,2]上的偶函数,f (x)在区间[0,2]上单调递减,若 f (1-m)<f (m), 求实数 m 的取值范围

3. 设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3) =-f(x),求 f(1998)的值。

? 1? 4. 设 函 数 f ( x ) 对 任 意 x1 , x 2 ? ?0, ? 都 有 f ( x1 ? x2 ) =f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ? 2?

已知 f(1)=2,求 f( 2 ), f ( 4 );

1

1

5. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足:f(x+2)[1-f(x)]=1+ f(x) ,f(1)=1997,求 f(2001)的值。

6. 设 f(x)是定义 R 在上的函数,对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f (x)f(y)且 f(0)≠0. (1)求证 f(0)=1; (2)求证:y=f(x)为偶函数.

6

7. 已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)的一个递增区间为(2,6) ,试判断(4,8) 是 y=f(2-x)的递增区间还是递减区间?

8. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 >0 (1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小;

f ( a ) ? f (b ) a?b

(2).若 f(k ? 3x ) ? f (3x ? 9 x ? 2) <0 对 x∈[-1,1]恒成立,求实数 k 的取 值范围。

9.已知函数 f ( x) 是定义在 (-∞, 3]上的减函数, 已知 f (a2 ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos2 x) 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。

10.已知函数 f ( x ), 当 x, y ? R 时,恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a, 试用a表示f (24) .

7

11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ? R, 都满足:
f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) .

(1)求 f (0), f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论;

8


相关文档

抽象函数专题复习(学生版)
抽象函数型综合问题学生版
抽象函数题型专题学生版
抽象函数专题复习2(学生版)
抽象函数问题(讲义习题)
抽象函数问题整理资料
高考资料:抽象函数问题
抽象函数终极讲义(学生)
讲义DIY-抽象函数-第二讲-抽象函数问题分类解析
抽象函数专题 学生&教师版
电脑版