【课堂新坐标】2017年高考数学理科江苏版二轮专题复习与策略名师寄语第3点注重知识交汇强化综合运用_图文

2017版高三二轮复习与策略

第3点

注重知识交汇,强化综合运用

2017版高三二轮复习与策略

在知识交汇处命制试题是一个永恒不变的规律.分析高考试题,我们不难发 现,几乎所有的试题都是在“联系”上做“文章”,如果我们对数学知识的掌握 是孤立的,那么在解题时,条件与条件之间、条件与结论之间的“联系”就很难 做到沟通,也就很难找到解决问题的有效策略.因此,我们在经历了一轮基础性 复习之后,关注知识点间的联系,强化综合成为二轮专题复习的重要策略.

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(2016· 全国乙卷)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (2)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
[解题指导] 结合a的取值 图象的变化趋势 求 f′(x) ――→ 讨论函数 f(x)的单调性 ――――――→

转化思想 构造法 求 a 的取值范围 ――→ x1+x2<2?f(x1)>f(2-x2) ――→ 证明结论.

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[解] (1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).1 分 ①设 a=0,则 f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点. ②设 a>0,则当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. a a 又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b 满足 b<0 且 b<ln 2,则 f(b)>2(b-2)+a(b-1)2
? 2 3 ? =a?b -2b?>0,故 ? ?

2分

f(x)存在两个零点.

4分

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③设 a<0,由 f′(x)=0 得 x=1 或 x=ln(-2a). e 若 a≥-2,则 ln(-2a)≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此 f(x)在(1, +∞)内单调递增. 又当 x≤1 时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. e 若 a<-2,则 ln(-2a)>1,故当 x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0; 当 x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.

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因此 f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增. 6分 又当 x≤1 时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞). 8分

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(2)证明:不妨设 x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(- ∞,1),f(x)在(-∞,1)内单调递减, 所以 x1+x2<2 等价于 f(x1)>f(2-x2), 即 f(2-x2)<0.9 分 由于 f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2, 而 f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0, 所以 f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.11 分 设 g(x)=-xe2-x-(x-2)ex, 则 g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).

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所以当 x>1 时,g′(x)<0,而 g(1)=0, 故当 x>1 时,g(x)<0.13 分 从而 g(x2)=f(2-x2)<0,故 x1+x2<2. 【名师点评】 14 分

本题以函数的零点为载体,融导数、不等式于其中,重点考

查了学生的分类讨论思想和等价转化及推理论证能力.复习该部分知识时,要强 化函数、方程、不等式三者间的内在联系,突现导数解题的工具性.

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由本例可以看出, 在二轮专题复习中, 我们务必要密切关注知识之间的相互联 系,在强化综合中,加强思维灵活性训练,从而提高分析问题和解决问题的能力, 回避偏题、难题、怪题和旧题. 总体来说, 在二轮专题复习中, 我们要做到“三个强化, 三个淡化, 一个渗透”, 即强化主干知识,淡化细枝末节;强化基础能力,淡化题型套路;强化综合应用, 淡化“偏、难、怪、旧”,渗透数学思想.


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