必修2-1.3-空间几何体的表面积与体积_图文

在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你知道正 方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图 空间问题

平面图形面积 平面问题

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的展 开图是什么?如何计算它们的表面积?

棱柱,棱锥,棱台的表面积

棱柱

棱锥

棱台

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

例1.已知棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,求它的
表面积 .
S

A

B

C

练习:已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为300,求
正四棱锥的侧面积和表面积。

如何根据圆柱,圆锥的几何结构特征,求它们的表面积?

O?

rO

l
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

2?r

l

r

圆锥的侧面展开图是扇形
O

(1)联系圆柱和圆锥的展开图,你能想象圆台展开图的形状并且画出它吗? (2)如果圆台的上,下底面半径分别为 面积吗?

r ?, r

,母线长为l,你能计算出它的表

圆台的侧面展开图是扇环

r 'O’

2?r '

2?r

l
r
O

r 'O’

x

2?r '

2?r

l

r

O
'2 2 '

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

r

O?

r 'O’
l

l

l

O

r
'2

O
2

r

O

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )

例1、圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环 的圆心角是1800,那么圆台的侧面积是

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直径为15cm,底部渗 水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油 漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆 (取 ?

? 3.14,结果精确到1毫升,可用计算器)?
20cm

解:花盆外壁的表面积: 15 2 15 20 1.5 2 S ? ? ? [( ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( ) 2 2 2 2 ? 1000(cm 2 ) ? 0.1( m 2 ) 涂100个花盆需油漆:

15 cm
15 cm

0.1 ? 100 ? 100 ? 1000 (毫升)
答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

棱锥侧面展开图

S表=S底+S侧 三角形组成

棱台的侧面展开图

S表=S底+S侧

梯形组成

7

1.表面积公式

图形

表面积公式
各个面 的 多面体的表面积就是________

多面体

展开图 的面 面积的和,也就是________


πr2 底面积:S 底=_____ 2πrl 侧面积:S 侧=_____ 2πrl+2πr2 表面积:S=__________

旋转 圆 体 柱

图形 圆 旋 转 体 圆 台 锥

表面积公式 底面积:S 底=_____ πr2
πrl 侧面积:S 侧=_____
πrl+πr2 表面积:S=__________ πr′ 2 上底面面积:S 上底=________ πr2 下底面面积:S 下底=_____ πl(r+r′) 侧面积:S 侧=__________ π(r′2+r2+r′l+rl) 表面积:S=__________________

?

2.柱体、锥体、台体的体积公式

名称

体积公式 V 柱体=_____( S 为底面面积,h 为高),V 圆柱=_______ Sh π r 2h 柱体 (r 为底面半径) 锥体
1 1 2 Sh πr h V 锥体=_____( S 为底面面积,h 为高),V 圆锥=__________ 3 3

(r 为底面半径)
1 (S+ SS′+S′)· h V 台体=____________________( S′, S 分别为上、 下底面面积, 3

台体

1 h 为高),V 圆台= πh(r′2+rr′+r2)(r′,r 分别为上、下底 3 面半径)

1.圆柱OO′的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为________,
表面积为________. 答案:24π 32π

2.如图,圆锥的底面半径为 1,高为 3,则 圆锥的侧面积为_____. 答案:2π
3.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于 ______. 答案:67π

4.如图,某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′, 上面部分为正四棱锥SABCD,若几何体高为5,棱AB=2, 则该几何体的体积为________. 1 2 3 解析:V 正方体=2 =8,VSABCD= ×2 ×(5- 2) 3

=4.V=V 正方体+VSABCD= 12.
答案:12

5.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则棱台的体积为 ________. 答案:28

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面面积公式间的关系 r′=r r′=0 S 圆柱侧=2πrl―――→S 圆台侧=π(r+r′)l―――→S 圆锥侧=πrl 4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

1 1 V=Sh→V= (S′+ S′S+S)h→V= Sh 3 3

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. 1.圆锥的侧面展开图是一扇形.( ) )

2.所有棱长为 1 的三棱锥的全面积为 3.(

3.台体的上、下底面面积分别为 S′、S,高为 h,则其体积 V =(S′+ S′S+S)h.(
答案:1.√ 2.√

)
3.×

柱体、锥体、台体的表面积

已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3,求这 个圆锥的侧面积.【互动探究】若本例中条件不变,试求圆锥的全面积

求出底 代入公式 思路点拨: 求母线长 → → 面半径 求侧面积

1.求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤
(1)得到空间几何体的平面展开图.

(2)依次求出各个平面图形的面积.
(3)将各平面图形的面积相加.

2.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤
(1)清楚各侧面的形状,求出每个侧面的面积.

(2)求出其底面的面积.
(3)求和得到表面积.

1.如图,一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,其中 有一个高为x cm的内接圆柱. (1)试用x表示圆柱的侧面积;

(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大.
? x? 2π 2 解:(1)S 圆柱侧=2πrx=2π?2-3?x= 4πx- x ,x∈ (0,6) 3 ? ?

4π (2)由 (1)知当 x=- ? = 3 时, 这个二次函数有最大值为 6 π , 2π? 2?- ? 3? ? 2 ∴当圆柱的高为 3 cm 时,它的侧面积最大为 6π cm .

柱体、锥体、台体的体积 如图是一个几何体的三视 图(单位:cm),画出它的直观图,并

求出它的体积(精确到1 cm).

思路点拨: 还原直观图 确定底面 代入体 → → 积与高 积公式

解:直观图为一个正四棱台,如图所示. AB=10 cm,A1B1=6 cm, 棱台的高 h=8 cm,棱台的体积 1 3 V 台= ×(100+36+ 100×36)×8≈523 cm . 3

柱体、锥体、台体的体积求法 (1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直 接求出.

(2)等积法:根据几何体的结构特征,可转换顶点与底面去求.
(3)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.

(4)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.

2.圆台上、下底面面积分别为π,4π,侧面积为6π,求这个圆台的体
积.
解:设圆台的上、下底面半径分别为 r,R, 母线长为 l,高为 h,轴截面如图所示. 由题意可得, πr2= π,所以 r=1.πR2=4π, 所以 R=2. 由 π(rl+Rl)= 6π,得 l=2. 所以 h= l2- ?R-r?2= 3. 1 7 3 所以 V 台= π· 3· (1+ 2+4)= π. 3 3

简单组合体的表面积和体积 如图所示,已知等腰梯形ABCD的上底AD=2 cm,下底BC=10 cm,底角∠ABC=60°,现绕 腰AB旋转一周,求所得旋转体的体积.

组合体 分解 锥体、台体 思路点拨: ――→ → 代数和 的体积 的体积

解: 梯形绕腰 AB 旋转一周所得的几何体是一个圆锥和一个圆台 挖去一个小圆锥的组合体. 过 D 作 DE⊥AB 于 E,过 C 作 CF⊥AB 于 F.

Rt△ BCF 绕 AB 旋转一周形成以 CF 为底面半径,BC 为母线长 的圆锥; 直角梯形 CFED 绕 AB 旋转一周形成圆台; 直角三角形 ADE 绕 AB 旋转一周形成一个圆锥. 那么梯形 ABCD 绕 AB 旋转一周所得 的几何体是以 CF 为底面半径的圆锥和圆台,挖去以 A 为顶点,以 DE 为底面半径的圆锥的组合体. ∵AD=2,BC=10,∠ABC=60° , ∴BF=5,ED= 3,AE=1,FC=5 3,EF= 4,AB=8. 1 1 2 2 ∴旋转后所得几何体的体积为 V= π·BF· FC + π·EF· (DE + 3 3 1 FC + DE· FC)- π·AE· DE 2=248π cm3. 3
2

求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的 结构特征及组合形式.根据构成形式,设计计算方法,特别要注意 “拼接面”面积的处理.对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条 件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.

3.如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在其中一个面的中心位
置上,挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形成的洞,求挖洞后几何

体的表面积是多少.(π取3.14)
解:正方体的表面积为4×4×6=96 cm2,

圆柱的侧面积为2π·1×1=2π cm2,
圆柱的底面积为π·1=π cm2, 则挖洞后几何体的表面积为 96-π+2π+π=96+2π≈102.28 cm2.

1.求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三角形的高(称为斜高),这就 需要充分利用棱锥的高、边心距(底面中心到各边的距离)和斜高所构 成的直角三角形来求解;求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台 中的直角梯形,它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件 中几何图形元素间关系的桥梁.

2.计算柱体、锥体和台体的体积时,关键是根据条件找出相应的底面 面积和高,要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面,将空间 问题转化为平面问题.旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转 体而得到的截面.例如,圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是三角 形,圆台的轴截面是梯形. 3.在求不规则的几何体的体积时,可利用分割几何体或补全几何体的 方法转化为柱、锥、台的体积计算问题.

1.了解并掌握球的体积和表面积公式.(易混点) 2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题.(重点) 3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.(难点)

思考:如何求球的体积?

排液法:

H h h

4 3 球的体积 V球 ? ? R 3
球的表面积 S球 ? 4? R
2

O

R

都是以R为自变量的函数

例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 3 2 6

(变式1)把钢球(直径是5cm)放入一个正方体 的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体 侧棱长为5cm

S ? 6 ? 5 ? 150cm
2

2

例题
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:

(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二;
(2)球的表面积与圆柱的侧面积相等.
O

R

基本计算问题 2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍,则体积扩大为原来的________倍. (2)把球的半径扩大到原来的2倍,则表面积扩大为原来的_______倍. (3)三个球的半径之比为1:2:3,则它们的表面积之比为_________. (4)三个球的体积之比为1:8:27,则它们的半径之比为________.

例2.如图,已知球O的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,
3 它的各个顶点都在球O的球面上,求证: R? a 2
D C D A O D1 C1 A1 B1 B1 C1 B C

分析:正方体内接于球,则由球
和正方体都是中心对称图形

A
O D1 A1

B

可知,它们中心重合,则正方体
对角线与球的直径相等.

截面问题

用一个平面α去截一个球O,截面是圆面 球的截面的性质: 球心和截面圆心的连线垂直于截面
? O

R

d

r

球心到截面的距离为d,球的半径为R, 则

r ? R ?d
2 2

2

“接”与“切”:
两个几何体相(内)切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上 解决“接切”问题的关键是画出正确的截面,把空间“接切”转化为平面 “接切”问题

球与正方体的“接切”问题

典型:有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一

球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.

a

a r1 ? 2

a

r2 ?

2 a 2

a

3 r3 ? a 2

a

2a

2a

?画出正确的截面:(1)中截面;(2)对角面
?找准数量关系

1.球的表面积
2 4π R 设球的半径为 R,则球的表面积 S=_____,即球的表面积等于

它的大圆面积的_____ 4 倍. 2.球的体积

4 3 πR _. 设球的半径为 R,则球的体积 V=3 ____

4π 已知一个球的体积为 ,则此球的表面积为______. 3 4 3 4 解析:设球的半径为 r,则由题意得 πr = π, 3 3

所以 r=1.则球的表面积 S=4π×12=4π.

断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
1.设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为

直角顶点的直角三角形.(

)
)

2.若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的4倍.(

3.球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱
底面圆的直径.( )

答案:1.√ 2.×

3.√

球的体积与表面积

(1)已知球的直径为 6 cm,求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积为 64 π,求它的体积. 500 (3)已知球的体积为 π,求它的表面积. 3
4 3 思路点拨: 确定半径 →代入 S=4πR 或 V= πR → 结论 3
2

解:(1)∵直径为 6 cm,∴半径 R=3 cm. ∴表面积 S 球=4πR2=36π cm2, 4 3 体积 V 球= πR =36π cm3. 3 (2)∵ S 球=4πR2=64π,∴R2=16,即 R= 4. 4 3 4 256 3 ∴ V 球= πR = π×4 = π. 3 3 3 4 3 500 (3)∵ V 球= πR = π, 3 3 ∴R =125,R=5.∴ S 球=4πR =100π.
3 2

求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R, 然后代入体积或表面积公式求解.

(2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或
体积的相关题目也就易如反掌了.

1.如果两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为
________.

解析:根据球的体积及表面积公式可知,两个球的体积之比等于半径之
比的立方,表面积之比等于半径之比的平方.

∵两个球的体积之比为8∶27,
∴两个球的半径之比为2∶3.

∴两个球的表面积之比为4∶9.
答案:4∶9

球的截面问题 已知球面面积为100π的球中,有两个平行截面的周长分别为 6π和8π,试求这两个截面之间的距离. 解:设球的半径为R,则4πR2=100 π,所以R2=25,即R=5,

设球心到两个平行截面的距离分别为 h1、 h2,两个截面圆的半 径分别为 r1、r2,则 6π=2πr1,8π=2πr2,所以 r1=3,r2=4, 若两个平行截面在球心的同侧, 依题意有两平行截面间的距离 d= 52- 32- 52- 42=1; 若两个平行截面在球心的异侧, 依题意有两平行截面间的距离 d= 52- 32+ 52- 42=7. 即所求距离为 1 或 7.

球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆 的问题.

(2)解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成
的直角三角形,即R2=d2+r2.

2.已知球的一个截面的面积为9π,且此截面与球心距离为4,求该球的
表面积和体积.

解:设球的半径为 R, ∵截面圆面积为 9π,∴截面圆半径 r=3. ∵球心与截面距离 d=4, ∴由 R =r +d 得 R=5. ∴球的表面积 S 表=4πR2= 100π, 4 3 500 球的体积 V= πR = π. 3 3
2 2 2

根据三视图计算球的表面积与体积 某个几何体的三视图如图所示(单位:m),求该几何体的表面 积与体积.

求出各部分的 思路点拨: 还原直观图 → → 相加 表面积与体积
解:由三视图知,此几何体是一个由半径为 1 的半球和一个棱 长为 2 的正方体组成的几何体. 1 2 2 2 (1)S= ×4π×1 +6×2×2-π×1 = (24+ π) m . 2
? 2 ? 3 1 4 3 3 (2)V= V 半球+ V 正方体= × π×1 +2 =?8+ π? m . 3 ? 2 3 ?

由三视图计算体积与表面积的关注点 (1)由三视图求简单组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体, 并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据球与球的组合

体的结构特征及数据计算其表面积或体积.
(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重

叠和交叉等.

3.如图,已知某几何体的三视图,则该几何体的表面积是________.

解析:由三视图可得,该几何体是由底面半径为 3、高为 4 的圆 锥与半径为 3 的半球组合而成,由于圆锥的母线长为 3 + 4 =5,故 该几何体的表面积 S= π×3×5+2π×3 = 33π.
答案:33π
2 2 2

1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三 角形,进行相关计算. 2.球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题转化为圆的问题的关键,因 此在解决球的有关问题时,必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分 析解决问题. 3.有关球的组合体,要注意区分是内切还是外接,是与面相切,还是 与棱相切.


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