3不等式的性质证明和基本不等式_图文

不等式的性质、证明 和基本不等式

一、两实数比大小的基本方法 →作差法
即等价关系:
a ? b ? a ? b ? 0; a ? b ? a ? b ? 0; a ? b ? a ? b ? 0

二、不等式的基本性质
(1)传递性:a
? b,b ? c ? a ? c

a (2)加法单调性:
a (3)乘法单调性:

? b ? a? c ? b? c
? b, c ? 0 ? ac ? bc ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

(4)同向相加性: a
a (5)同向相乘性:

(6)倒数性质:a

? b, ab ? 0 ?

1 a

?

1 b

(7)乘方开方性质:
a ? b ? 0? a
n

? b ,
n

n

a ?

n

b ? n ? N , n ? 1?
*

(8)含有绝对值不等式的性质
a ? b ? a ? b ? a ? b

且可推得:
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n

注意等号成立的条件 →同号或异号

注:不等式性质均为充分非必要条件

Ex:给出下列命题,其中假命题是(? 1 ? ? 2 ? ? 4 ?)
( 1) 若 a ? b , 则 1 a ?
2

1 b

( 2) 若 a ? b , 且 k ? N , 则 a
*

k

? b ;
k

( 3) 若 a c

2

? bc ,则 a ? b
a c ? a ? b c ? a

( 4) 若 c ? a ? b ? 0 , 则

Ex:判断下列各题中A与B的充分必要关系
?a ? 2 (1 ) A : ? ?b ? 2
(2) A : 1 a ? 1 b

?
?

?a ? b ? 4 B :? ? ab ? 4

?a,b ?

R?

?

?

B :a ? b ? 0

?
(3) A :
3

a ?

3

b

?
?
?

B :a ? b

(4 ) A : a ? b ? a ? b

B : a?b ? a ? b

Ex:已知

?1 ? a ? b ? 3, 2 ? a ? b ? 4,
? 9 13 ? ?? , ? ? 2 2 ?

求 2 a ? 3 b 的范围.

注:不等式性质应用于比大小、求范围, 性质的使用会使范围扩大。

三、常用的基本不等式
R , a ? b ? 2 a b ? 当 且 仅 当 a ? b时 取 等 号 ? a ? b ? ? ab ?当 且 仅 当 a ? b ? 0时 取 等 号 ?2?a,b ? R , 2

?1? a , b ?

2

2

? ?

且可推广:
?

a,b,c ? R ,

a ? b? c 3
?

?

3

abc ? 仅 当 a ? b ? c ? 0时 取 等 号 ?
n

且进一步:

ai ? R ,

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

a1 ?? ? a n

称作:n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数 且变形为:

?1 ? a,b ?
*

R , ab ?
?

a

2

? b 2

2

?当 且 仅 当 a
2

? b时 取 等 号

?

? a ? b ? ? 2 ? a , b ? R , ab ? ? ? ? 2 ?
*

?当 且 仅 当 a

? b ? 0时 取 等 号

?

四、不等式的应用

1.不等式证明:
1.比较法: (1)作差比较法; (2)作商比较法. 2.综合法: 由条件到结论

3.分析法: 由结论到条件,注意格式规范→步
步可逆即充要

x Ex:已知:

? y ? 0 ,比较:

x ? y x ? y



x x

2 2

? y ? y

2 2

的大小.
Ex:比较
x
2

与 2 x 的大小。
1 a ? b ? 1 b? c ? 1 a ? c
a?b 2

Ex:已知 a

? b ? c ,求证:
?

Ex:已知 a , b ?

R , a ? b , 求证: a b b ? ( a b ) a
?

( Ex:已知 a , b ? R , 求证:

a

2

1

)2 ? (

b

2

1

1

1

)2 ? a 2 ? b 2

b

a

Ex:已知
求证: lg
2

a,b,c ? R ,
? lg b? c 2

?

且不全相等
a ? c 2 ? lg a ? lg b ? lg c

a ? b

? lg

Ex:已知 a , b , c ?
4 4 4 2 2

R

,求证:
2 2 2 2

a ? b ? c ? a b ? b c ? a c

? abc (a ? b ? c )

Ex:已知 a , b , c ?
a ? b
2 2

R ,
2

?

求证:
c ? a
2 2

?

b ? c
2

?

?

2 (a ? b ? c )

a Ex:已知: , b , c ?

R ,a ? b ? c ? 1
1 c
?

?

求证:( a

1

? 1 )(

1 b

? 1 )(

? 1) ? 8

a Ex:已知: , b , c ? R

,a ? b ? c ? 1

求证:

1

?

1 b

?

1 c

? 9

a

a Ex:已知: , b , c ?
( 求证:a ? b ? c )(

R ,
1 ? 1 b ? c ? 1 c ? a )? 9 2

?

a ? b

注:有和、积、常数形式等条件→基本不等式

Ex: A B C ,求证: ?
1 ( 1 ? 1 b ? 1 c )? cos A a ? cos B cos C b c 2 a

Ex:已知:a , b ?
a b

R

?

,a ? b ? 1

求证:3 ? 3 ? 4

2.基本不等式求最值

注:和、积、常数形式转化求最值(范围)→基本 不等式,1的“妙用”。 充分非 a 1 必要 条件; a 1、 ? 4 是对任意的正数 x ,均有 x ? x ? 1 的 2、设
x ? 0,
2 x ?


3 y

y ? 3? 3x ?

1 x

有最 大 值为 3 ? 2 则
1 x ?

3

。 。
3

3、已知

? 2 ? x ? 0, y ? 0 ? ,

xy
1 y

的最小值

6

4、已知 x y
x 5、 , y
x 6、 , y

? 0 , x ? 3 y ? 1,


2 x

的最小值 4 ? 2
7 4
2

。 。

? 0, 2 x ? 3 y ? 4,
? 0, 1 x ? 1 y ? 1,



?

1 y

的最小值

?

3

则 x ? 2 y 的最小值

3? 2



Ex:求函数 y ? Ex:求函数 y ?

x ?

1 2x

?x

? 0?

? 的最大值。

2
2 2

1 x ? 3

? 2x

?x

? 3?

9 的最小值。?

Ex:求函数 y ?
Ex:求函数 的最大值。

2x 1? x
2

?x

? 0?

的最小值。1
?

y ? x ? a ? 2 x ? ? x ? 0 , a ? 2的 常 数
a
2

8

b Ex:若正数 a , b 满足aabb ??aa??bb??1 3?, 0 , 则求 aa? b 的

取值范围。

ab ? 9

a ? b ? 2? 2

2


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