第八讲函数的奇偶性与周期性A

河北安国中学

数学高考第一轮复习导学案

第八讲
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函数的奇偶性与周期性

(1)如果对于定义域内每一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x) 就叫奇函数;都有 f(-x)=f(x),函数 f(x)叫偶函数;奇偶函数的定义域关 于原点对称(大前提). (2)函数可分为(按奇偶性):奇函数、偶函数、既奇且偶函数、非奇非偶 函数.任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函 f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? f?x?+f?-x? 数的和,即 f(x)= + ,其中 是偶函数, 2 2 2 f?x?-f?-x? 是奇函数. 2 (3)基本性质:在公共定义域上,两函数有:奇±奇=奇,偶±偶=偶, 奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇÷奇=偶,偶÷偶=偶(分母不为零). 奇函数的反函数是奇函数,奇函数的定义域包含 0,则 F(0)=0. (4)图象特征:奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于 Y 轴对称;反 之亦然. (5)判定方法:首先看函数的定义域是否关于原点对称,若对称,再看: f?-x? f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0? =-1(f(x)≠0)? f?x? 图象关于原点对称. f?-x? f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0? =1(f(x)≠0)?f(x)= f?x? f(|x|)=f(-x)?图象关于 y 轴对称. (6)推广:y=f(a+x)是偶函数?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(x)关 a+b 于 x=a 对称;类似地,f(a+x)=f(b-x)?f(x)关于 x= 对称. 2 y=f(b+x)是奇函数?f(b-x)=-f(b+x)?f(x)关于(b,0)成中心对称图形; ?a+b ? 类似地,f(a+x)=-f(b-x)?f(x)关于? ,0?中心对称. ? 2 ? 2.(1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的 每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)叫做周期函数,非零常数 T 叫 f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就 叫 f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若 T≠0 是 f(x)的周期,则 kT(k∈Z)(k ≠0)也一定是 f(x)的周期,周期函数的定义域无上、下界. (3)设 a 为非零常数, 若对 f(x)定义域内的任意 x, 恒有下列条件之一成立: f?x?+1 1 1 ①f(x+a)=-f(x);②f(x+a)= ;③f(x+a)=- ;④f(x+a)= ; f?x? f?x? f?x?-1
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1-f?x? ;⑥f(x+a)=f(x-a),则 f(x)是周期函 1+f?x? 数,2a 是它的一个周期.(上述式子分母不为零) 若 f(x)同时关于 x=a 与 x=b 对称(a<b),则 f(x)是 周期函数,2(b-a)是它的一个周期;若 f(x)关于 x=a 对 称同时关于点(b,0)对称(b≠a),则 f(x)的一个周期 T=4(b -a);若 f(x)关于(a,0)对称同时关于(b,0)对称,则 f(x)是 一个周期函数,周期 T=4(b-a). ⑤f(x+a)=

考点陪练:
1.对任意实数 x, 下列函数中的奇函数是 ( ) A.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln5x D.y=-|x|cosx 2. 已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 那么 a+b 的值是 ( ) 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2 2 4-x 3. 函数 y= ( ) |x+5|-5 A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 4.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x+4)=f(x)+f(2), 若 f(1)=2, f(2007)+f(2009)等于 则 ( ) A.2009 B.2 C.2008 D.4 5.定义在 R 上的函数 y=f(x)具有下列性质:①f(-x)-f(x)=0;②f(x+1)· f(x)=1;③y=f(x)在[0,1]上为增函数,则对于下述命题: ①、y=f(x)为周期函数且最小正周期为 4; ②、y=f(x)的图象关于 y 轴对称且对称轴只有 1 条; ③、 y=f(x)在[3,4]上为减函数. 正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

类型一

判断函数的奇偶性

解题准备: 1.定义法: (1)、 求定义域, 看定义域是否关于原点对称. (2)、 判断 f(-x)与 f(x)的关系. (3)、依据定义下结论:若 f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若 f(-x)= f(x),则函数是偶函数;若 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x),则 f(x)既是奇函数又 是偶函数;若 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x),则 f(x)既不是奇函数,也不是偶 函数. 2.定义等价形式判断: (1)、若 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)为奇函数. (2)、若 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)为偶函数. 此种解法适合对数形式函数的判断. 3.图象法:如图所示,如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以
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坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标 原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. 如图,如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称 图形;反之,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. 【典例 1】 判断下列函数的奇偶性. 1+x lg?1-x2? (1)、 f(x)=(x-1) ; (2)、 f(x)= ; 1-x |x-2|-2
2 ?x +x?x<0?, (3)、 f(x)=? 2 ?x -x?x>0?;

(4)、 f(x)= 3-x2+ x2-3.

类型二

函数的周期

解题准备: 1.周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个常数 T ≠0,使得当 x 取定义域内的每一值时,都有 f(x+T)=f(x)成立,那么函数 y =f(x)叫周期函数,非零常数 T 叫做 f(x)的周期. 2.最小正周期:周期函数的周期可以不止一个,如果在所有的周期中存 在着一个最小正数,则称这个最小正数为该函数的最小正周期. 3.设 m 是非零常数,若对于函数 f(x)定义域中的任意 x,恒有下列条件 1 1 之一成立: (1)f(x+m)=-f(x); (2)f(x+m)= ; (3)f(x+m)=- ; f?x? f?x? f?x?+1 1-f?x? (4)f(x+m)= ; (5)f(x+m)= ; (6)f(x+m)=f(x-m). f?x?-1 1+f?x? 【典例 2】已知 f(x)的定义域为 R,对任意整数 k, 1? ? 1 当 x∈?k-2,k+2?时,有 f(x)=|x-k|. (1)求证:f(x)是周期函数; ? ? (2)用偶函数的定义证明函数 f(x)是偶函数(x∈R).

[点评] 应注意应用奇偶性和周期性的定义. 探究: 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f(x+2)=-f(x), 0≤x≤1 当 1 1 时,f(x)= x,试求 f(x)=- 的一切 x 值. 2 2

类型三

抽象函数的奇偶性与周期性的综合

解题准备:1.f(x)是偶函数且关于直线 x=a 对称,则 T=2|a|; 2.f(x)是奇函数且关于直线 x=a 对称,则 T=4|a|.
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【典例 3】 定义在实数集上的函数 f(x),对任意 x、y∈R,有 f(x+y)+f(x -y)=2f(x)· f(y),且 f(0)≠0. (1)求证:f(0)=1;(2)求证:y=f(x)是偶函数; c? ? (3)若存在常数 c,使 f?2?=0. ? ? ①求证对任意 x∈R,有 f(x+c)=-f(x)成立. ②试问函数 f(x)是不是周期函数,如果是,找出它的一个周期,如果 不是,请说明理由.

类型四

抽象函数的奇偶性与单调性的综合

解题准备: 1.讨论函数的单调性和奇偶性时,应先确定函数的定义域. 2.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于 原点对称的单调区间内有相反的单调性. 3.将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题型. 【典例 4】 函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}, 且满足对于任意的 x1, 2∈D, x 有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)、求 f(1)的值; (2)、判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)、 如果 f(4)=1, f(3x+1)+f(2x-6)≤3, f(x)在(0, 且 +∞)上是增函数, 求 x 的取值范围.

快速解题:
技法:设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,它的图象关于直线 x=2 对称,已 知 x∈[-2,2]时, f(x)=-x2+1, x∈[-6, 则 -2]时, f(x)的解析式是________.

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