2015高中数学 2.2.2第2课时 对数函数及其性质的应用(习题课)课件 新人教A版必修1_图文

2.2 2.2.2

1回顾相 关知识 题型一 题型二 题型三

第 二 章

第二 课时

2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍

对数函 数及其 性质的 应用(习 题课)

4 应用落 实体验

随堂即时演练 课时达标检测

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2.2.2 第二课时

对数函数及其性质

对数函数及其性质的应用(习题课)

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1.对数函数的定义是什么?

2.对数函数的定义域和值域分别是什么?

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3.对数函数的图象与底数 a 之间有什么关系?

4.对数函数的单调性与底数 a 之间有什么关系?

5. 对数函数 y=logax 的图象与指数函数 y=ax 的图象之间 有什么关系?所过定点的坐标是什么?

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对数值的大小比较

[例 1]

(1)下列大小关系正确的是

(

)

A.0.43<30.4<log40.3 B.0.43<log40.3<30.4 C.log40.3<0.43<30.4 D.log40.3<30.4<0.43

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(2)比较下列各组值的大小. 3 4 ①log54与 log53; ②log 1 2 与 log 1 2;
3 5

③log23 与 log54.

(1)[解析]
[答案] C

0<0.43<1,30.4>1,log40.3<0,故选 C.

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(2)[解] ①法一:对数函数 y=log5x 在(0,+∞)上是增函数, 3 4 3 4 而4<3,∴log54<log53. 3 4 法二:∵log54<0,log53>0, 3 4 ∴log54<log53.

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②由于 log 2=
1 3

1,log 2= 1. log23 log25
1 5

1

1

1 1 又因对数函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,且3>5, 1 1 1 1 ∴0>log23>log25,∴ 1< 1. log23 log25 ∴log 1 2<log 1 2.
3 5

③取中间值 1, ∵log23>log22=1=log55>log54,∴log23>log54.
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[类题通法] 比较对数值大小的方法 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. (1)若底数为同一常数, 则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响, 对底数进行分类讨论. (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后, 再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象,再 进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较.
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[活学活用] 比较下列各组中两个值的大小: (1)ln 0.3,ln 2; (2)loga3.1,loga5.2(a>0,且 a≠1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3π,logπ3.

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解:(1)因为函数 y=ln x 是增函数,且 0.3<2, 所以 ln 0.3<ln 2. (2)当 a>1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数,又 3.1<5.2, 所以 loga3.1<loga5.2; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数, 又 3.1<5.2,所以 loga3.1>loga5.2. 1 1 (3)因为 0>log0.23>log0.24,所以log 3<log 4,即 log30.2<log40.2. 0.2 0.2 (4)因为函数 y=log3x 是增函数,且 π>3,所以 log3π>log33=1. 同理,1=logππ>logπ3,所以 log3π>logπ3.
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求解对数不等式
5- 1 [例 2] (1)已知 a= 2 ,若 logam>loga5,则 m 的取值范围 是________. 1 (2)已知 loga2>1,则 a 的取值范围为________. (3)已知 log0.72x<log0.7(x-1),则 x 的取值范围为________.

[解析]

(1)∵0<a<1,

∴f(x)=logax 在(0,+∞)上是减函数, ∴0<m<5.
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1 1 (2)由 loga2>1 得 loga2>logaa. 1 ①当 a>1 时,有 a<2,此时无解. 1 ②当 0<a<1 时,有2<a, 1 从而2<a<1. ∴a
?1 ? 的取值范围是?2,1?. ? ?

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(3)∵函数 y=log0.7x 在(0,+∞)上为减函数, ?2x>0, ? ∴由 log0.72x<log0.7(x-1)得?x-1>0, ?2x>x-1, ? 即 x 的取值范围是(1,+∞).

解得 x>1,

[答案] (1)0<m<5

?1 ? (2)?2,1? ? ?

(3)(1,+∞)

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[类题通法] 常见对数不等式的解法 常见的对数不等式有三种类型: (1)形如 logax>logab 的不等式, 借助 y=logax 的单调性求解, 如果 a 的取值不确定,需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论. (2)形如 logax>b 的不等式, 应将 b 化为以 a 为底数的对数式 的形式,再借助 y=logax 的单调性求解. (3)形如 logax>logbx 的不等式,可利用图象求解.

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[活学活用] 若 a>0 且 a≠1,且 loga(2a+1)<loga3a<0,求 a 的取值范围.
解:不等式可化为 loga(2a+1)<loga3a<loga1, ? ?a>1 ?2a+1>0 等价于? ?2a+1<3a ? ?0<3a<1 0<a<1 ? ? 或?2a+1>3a, ? ?3a>1

?1 ? 1 解得3<a<1,即 a 的取值范围为?3,1?. ? ?

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对数函数性质的综合应用

[例 3]

(1)下列函数在其定义域内为偶函数的是 B.y=2x D.y=x2

(

)

A.y=2x C.y=log2x

(2)已知 f(x)=loga(a-ax)(a>1). ①求 f(x)的定义域和值域; ②判断并证明 f(x)的单调性.
(1)[解析] 指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性,故 选D. [答案] D
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(2)[解]

①由 a>1,a-ax>0,即 a>ax,得 x<1.

故 f(x)的定义域为(-∞,1). 由 0<a-ax<a,可知 loga(a-ax)<logaa=1. 故函数 f(x)的值域为(-∞,1). ②f(x)在(-∞,1)上为减函数,证明如下: 任取 1>x1>x2,又 a>1,∴ax1>ax2,∴a-ax1<a-ax2, ∴loga(a-ax1)<loga(a-ax2),即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在 (-∞,1)上为减函数.
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[类题通法] 解决对数函数综合问题的方法 对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问 题综合,求解中通常会涉及对数运算.解决此类综合问题,首先 要将所给的条件进行转化,然后结合涉及的知识点,明确各知识 点的应用思路、化简方向,与所求目标建立联系,从而找到解决 问题的思路.

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[活学活用] 已知函数 f(x)=loga(3-ax), (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并 且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说 明理由.

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解:(1)由题设,3-ax>0 对 x∈[0,2]恒成立,且 a>0,a≠1. 设 g(x)=3-ax, 则 g(x)在[0,2]上为减函数, ∴g(x)min=g(2)=3-2a>0, 3 ∴a<2. ∴a
? 3? 的取值范围是(0,1)∪?1,2?. ? ?

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(2)假设存在这样的实数 a,则由题设知 f(1)=1, 3 即 loga(3-a)=1,∴a=2. 此时
? ? 3 f(x)=log 3 ?3-2x?. ? 2?

但 x=2 时,f(x)=log 3 0 无意义.故这样的实数 a 不存在.
2

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7.对数函数与方程、不等式的综合问题
[典例] -3,求函数 (12 分)已知 x 满足不等式 2(log0.5x)2+7log0.5x≤
? x? ? x? ?log2 ?的最值. f(x)=?log22?· 4? ? ??

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[解题流程]
? x? ? x? ? ? ? log24?的最值,应先确定函数的定义域 求f?x?= log22 · ? ?? ?

?1?由2?log0.5x?2+7 log0.5x≤-3可求解x 的取值范围,即确定函数f?x?的定义域. ?2?f?x?可变形为f?x?=?log2x?2-3log2x+2 ?3?由方程的形式可联想二次函数,故可 采用换元法求解.

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[规范解答] 由2(log0.5x)2+7log0.5x≤-3, 得(log0.5x+3)(2log0.5x+1)≤0, 1 则-3≤log0.5x≤-2,(2分) 即log0.50.5-3≤log0.5x≤log0.5 0.5

1 2

[名师批注]
解形如logax≤b的不等式,应将 常数化为与logax同底的对数, 即转化为logax<logaab求解.故此 1 处将-3≤log0.5x≤-2转化为 该不等式组,进而利用对数函 数的单调性求得x的取值范围.



∴ 2≤x≤8.(4分)
? x? ? x? ?log2 ? 又∵f(x)=?log22?· 4? ? ??

=(log2x-1)(log2x-2)
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=(log2x)2-3log2x+2,(6 分) 令 t=log2x. ∵x∈[ 2,8],
?1 ? ∴t∈?2,3?,(8 ? ?

分)

利用换元法解决问题时, 一定要求出换元后的变 量的取值范围,即新 函数的定义域.
求此类函数的最值,应 借助函数的图象求解, 此处极易将两端点处的 函数值作为最值,从 而导致解题错误.

则 y=h(t)=t2-3t+2,
?1 ? t∈?2,3?,(10 ? ?

分)

?3? 1 ∴ymin=h?2?=-4, ? ?

ymax=h(3)=2.(12 分)
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[活学活用] 1 设 x∈[2,8],函数 f(x)=2loga(ax)· loga(a2x)的最大值是 1, 1 最小值是-8,求 a 的值. 1 解:f(x)=2(logax+1)(logax+2)
1 =2(log2 ax+3logax+2) 3?2 1 1? =2?logax+2? -8, ? ?
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由题设, 1 3 ∵f(x)min=-8,这时 logax=-2, 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是关于 logax 的二次函数, ∴函数最大值必在 x=2 或 x=8 时取得. 3?2 1 1? 若2?loga2+2? -8=1, ? ? 则 a= 2

1 3

.
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取得最小值时 x= 2

? ? ? ?

1 ?- 3 - ? 2 3?
?

= 2<2,

这时 x [2,8],舍去. 3?2 1 1? 若2?loga8+2? -8=1, ? ? 1 则 a=2,此时取得最小值时
?1?- 3 x=?2? 2 =2 ? ?

2∈[2,8]符合题意,

1 ∴a=2.
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[随堂即时演练]
1.设 a=log54,b=log53,c=log45,则 A.a<c<b C.a<b<c B.b<c<a D.b<a<c ( )

解析:由于 b=log53<a=log54<1<log45=c,故 b< a<c.

答案:D
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2.函数

? f(x)=lg? ? ?

? 1 ? 的奇偶性是 2 x +1+x? ?

(

)

A.奇函数 C.既奇又偶函数
? f(-x)+f(x)=lg? ? ?

B.偶函数 D.非奇非偶函数

解析:f(x)定义域为 R,
? ? ? 1 1 ? ? ? + lg 2 2 ? x +1+x? x + 1 - x? ? ? ?

1 =lg 2 =lg 1=0, ?x +1?-x2 ∴f(x)为奇函数,故选 A.

答案:A
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3.不等式 log 1 (2x+1)>log 1 (3-x)的解集为_____________.
2 2

?2x+1>0, ? 解析:由题意?3-x>0, ?2x+1<3-x ? 1 2 ?-2<x<3.
1 2 答案:{x|-2<x<3}

1 ? ?x>-2, ? ??x<3, ? 2 ?x< ? 3

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4.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值 1 之差为2,则 a=________. 解析:∵a>1,
∴f(x)=logax 在[a,2a]上递增, 1 ∴loga(2a)-logaa=2, 1 即 loga2=2, ∴a =2,a=4.
1 2

答案:4
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5.已知函数 f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0 且 a≠1),设 h(x)=f(x)-g(x). (1)求函数 h(x)的定义域,判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(3)=2,求使 h(x)<0 成立的 x 的集合.
解:(1)∵f(x)=loga(1+x)的定义域为{x|x>-1},

g(x)=loga(1-x)的定义域为{x|x<1},
∴h(x)=f(x)-g(x)的定义域为{x|x>-1}∩{x|x<1}={x|-1<x<1}. ∵h(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x), ∴h(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=-[loga(1+x)-loga(1-x)] =-h(x), ∴h(x)为奇函数.
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(2)∵f(3)=loga(1+3)=loga4=2,∴a=2. ∴h(x)=log2(1+x)-log2(1-x), ∴h(x)<0 等价于 log2(1+x)<log2(1-x), ?1+x<1-x, ? ∴?1+x>0, ?1-x>0 ? 解得-1<x<0. 故使 h(x)<0 成立的 x 的集合为{x|-1<x<0}.
“课时达标检测”见 “课时跟踪检测(十

九)”

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