2019届高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和课件_图文

第五章 数列 第四节 数列求和 高考·导航 C 目 录 ONTENTS 主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业 高考· 导航 掌握等差、等比数列的前n项和公式. 主干知识 自主排查 求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? Sn= = na1+ 2 d 2 ②等比数列的前 n 项和公式 (ⅰ)当 q=1 时,Sn= na1 ; a1?1-qn? a1-anq (ⅱ)当 q≠1 时,Sn= 1-q = 1-q . (2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化 为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消 剩下首尾若干项. (4)倒序相加法:把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差 数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应 项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程 的推广. (6)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则 称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求 解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98 +97)+…+(2+1)=5 050. [必记结论] 1.常见的裂项公式 1 1 1 (1) = - . n?n+1? n n+1 1 ? 1 1? ? 1 (2) = ?2n-1-2n+1? ?. ?2n-1??2n+1? 2? ? 1 (3) = n+1- n. n+ n+ 1 2.常见数列的求和公式 n?n+1??2n+1? (1)1 +2 +3 +…+n = 6 2 2 2 2 (2)1 +2 +3 +…+n 3 3 3 3 ?n?n+1?? ?2 =? ? 2 ? ? ? [小题诊断] 1.(2018· 安溪质检)数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=1-2 +3-4+…+(-1)n 1· n,则 S17=( A ) - A. 9 C.17 B.8 D.16 解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+ 3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1 +1+…+1=9. 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数 ? ? 1 ? ? 列?a a ?的前 ? n n+1? ? ? 100 项和为( 99 B. 101 101 D. 100 ) 100 A. 101 99 C. 100 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a5=5,S5=15, ?a1+4d=5, ? ∴? 5×?5-1? 5a1+ d=15, ? 2 ? ∴an=a1+(n-1)d=n. 1 1 1 1 ∴ = =n- , anan+1 n?n+1? n+ 1 ? ?a1=1, ∴? ? ?d=1, ? ? 1 ? ? ? ∴数列 a a ?的前 ? ? n n+1? ? 100 ? ? 1 1? ?1 1? 1 ? 项和为?1-2?+?2-3?+…+?100-101? ? ? ? ? ? ? 1 100 =1- = . 101 101 答案:A 1-xn nxn - ?1-x?2 1-x 3.1+2x+3x2+…+nxn-1=__________________0 且 x≠1). 解析:设 Sn=1+2x+3x2+…+nxn 1,① - 则 xSn=x+2x2+3x3+…+nxn,② ①-②得:(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn 1-nxn - 1-xn = -nxn, 1-x 1-xn nxn ∴Sn= - . ?1-x?2 1-x 4.(2017· 高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3, S4=10,则 ? n k=1 1 =__________. Sk 解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意, ? ?a1+2d=3, ? ? ?4a1+6d=10, 即 ? ?a1+2d=3, ? ? ?2a1+3d=5, 解得 ? ?a1=1, ? ? ?d=1, 所以Sn= n 1 ? n?n+1? 1 1 1 1 ? ,因此 ? S =2 1-2+2-3+…+n 2 ? k= 1 k 1 ? 2n ? - = . n+ 1 ? ? n+ 1 2n 答案: n+ 1 5.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an} -1 007 的前n项和,则S2 017=________. 解析:由a1=1,an+1=(-1)n(an+1), 可得,该数列是周期为4的数列,且a1=1,a2=-2, a3=-1,a4=0,所以S2 017=504(a1+a2+a3+a4)+a2 017= 504×(-2)+1=-1 007. 1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比 数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论. 2.在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负号;结论 中形如an,an+1的式子应进行合并. 3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即 前剩多少项则后剩多少项. [小题纠偏] 1.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),则f(3)= 2 7 (8 -1) ____________. 7 2.若数列{an}的前n项和为Sn且an=n· 2n,则Sn=________. 解析:(n-1)2n+1+2 核心考点 互动探究 题组练通 [典例] (2016· 高考北京卷)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数 列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求

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