正比例函数的性质_图文

正比例函数的定义:

一般地,形如 y=kx(k是常数,k≠0)的 函数,叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数.

思考

画正比例函数图象有无简便的办法?

结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y
k y= kx (k>0)

y= kx (k<0)

y

0 1

x

0
k

1

x

3 .如何画正比例函数的图像?

因为正比例函数的图像是一条直线, 而两点确定一条直线
画正比例函数的图像时,只需 描两个点,然后过这两个点画一条 直线

在同一坐标系内画下列正比例函数的图像:

1 y ? 3x y ? x y ? x y 3
当k>0 时,它的图 像 经过第 一、三象 限

y ? 3x

3

y?x
1 y? x 3
1
3

1

o

x

在同一坐标系内画下列正比例函数的图像:

y ? ?3x

y ? ?x
1 y?? x 3

y y ? ?3x y ? ? x y ? ? 1 x
3

o

1

当k<0 时,它的 x 图像经过 第二、四 像限

口答:看谁反应快
1.由正比例函数解析式(根据 k的正、负), 由函数解析式,请你说出下列函 来判断其函数图像分布在哪些象限 数的变化情况

2 (1) y ? x 3
(2) y ? 2x

y 随x的增大而增大 一、三象限
y 随x的增大而增大 一、三象限

2 (3) y ? ? x y 随x的增大而减小 二、四象限 3

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3

y
O1
2

y ? 3x

y?x
y?
3 4

4 3

y
O1
2 3 4

1 x 3
-4 -3 -2 -1

2 1

x

-1

-2
-3 -4

1 y?? x 3

x

-4

y ? ?x
y ? ?3x

正比例函数y ? kx(k ? 0)的性质:

(1) 当k>0时,正比例函数的图像经过第一、三象 限,自变量x逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大。 (2) 当k<0时,正比例函数的图像经过第二、四象限, 自变量x逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小。

看谁反应快
1.填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图像是 一条直线它一定经过点 (0,0) 和 (1,k) .

(2)函数 y=4x 经过 第一、三 象 减小 . 限,y y随 x x 的减小而 的增大而增大

(3)如果函数 y= - kx 的图像经过 一、三象限,那么y = kx 的图像经 过 第二、四象限 .

看谁反应快
b 2.已知 ab ? 0 ,y ? x a 的图像经过哪些象限

则函数

二、四象限

3.下列图像哪个可能是函数y=-8x 的图像( B )

A

B

C

D

随堂练习

1.函数y=-7x的图象在第 二、四 象限内,
经过点(0, 而 减少 0 )与点(1, -7 . ),y随x的增大

2.正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、

三象限,则m的取值范围是( B ) A.m=1 B.m>1 C.m<1 D.m≥1

3. 若正比例函数图像又y=(3k-6)x的图像经过 点A(x1,x2)和B(y1,y2),当x1<x2时, y1>y2,则k的取值范围是 ( B ) A.k>2 B.k<2 C.k=2 D.无法确定

4.正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A (x1,x2)和B(y1,y2),且该图像经过第二、 四象限. (1)求m的取值范围 (2)当x1>x2时,比较 y1与y2的大小,并说明理由.

例1. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像 经过二、四象限,求a的取值范围。 ? 该函数图像经过二、四象限 解:

? 比例系数k=8-2a<0 ? a>4
问: 如果正比例函数y=(8-2a)x,y的值随 x的值增大而减少,求a的取值范围。

a>4

2 m 例2.已知正比例函数y=(m+1)x ,它

的图像经过第几象限?
? 解:

?

{ m2=1

该函数是正比例函数 m ? ?1 m? 1 ? 0

m=±1,

?m ? 1

? 根据正比例函数的性质,k>0可得
该图像经过一、三象限。

比例系数k=m+1=2>0

2.已知:正比例函数y= (2-k)x 的图像经过第二.四象限,则函数 y=-kx的图像经过哪些象限? 二、四象限
3.如果 y ? (1 ? m) x 是正比例函数,且y 随x的增大而减小,试求m的值
m 2 ?2

3

例3.在水管放水的过程中,放水的时 间x(分)与流出的水量y(立方米)是 两个变量,已知水管每分钟流出的水量 是0.2立方米,放水的过程持续10分钟, 写出y与x之间的函数解析式,并指出函 数的定义域,再画出函数的图像

1.如图是甲、乙两人的行程函数图,根据图像回答:

⑴谁走得快?
⑵求甲、乙两个函数解析式,并写出自变量的取值范围 ⑶当t = 4时,甲、乙两人行程相差多少?
s( 千 米 ) 15 10 甲 5 乙

0

j1

2

3

t( 小 时 )

正 比 例 函 数
定义 图像

Y=kx(k≠0)
是经过原点和(1,k)点的一条直线 。

性 质

k>0
k<0

图像经过一、三象限 Y随着X的增大而增大 图像经过二、四象限 Y随着X的增大而减少

已知直线y=(a-2)x+a2-9经过 原点,且y随x的增大而增大, 求y与x的关系式.
经过原点 X=0且Y=0

1.已知正比例函数

y ? mx

m2

它的图像除原点外在二、四 象限内,求m值.
2、已知正比例函数y=(1+2m)x, 若y随x的增大而减小,则m的取值 范围是什么?

3.已知:正比例函数 y ? ?m ?

2x

?

m2 ?1

那么它的图像经过哪个象限?

4.已知正比例函数图像经过点(2,- 6),⑴求出此函数解析式;⑵若点M (m,2)、N(? 3,n)在该函数图像上,求

m、n的值;⑶点E(-1,4)在这个图像上吗?试 说明理由;⑷若-2≤x≤5,则y的取值范围是什么; ⑸若点A在这个函数图像上,AB⊥y轴,垂足B的坐
标是(0,-12),求△ABO的面积.


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