广东省六校2012届高三第一次联考试题(数学理)

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广东省六校 2012 届高三第一次联考试题 数学(理)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第 Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? ? B ? U A. {x | 0 ? x ? 1} 2.已知 sin ? ? B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} D. {x | x ? 1}

3 ,且 ? 在第二象限,那么 2? 在 4
B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限
2 3.已知命题 p : ?x ? R, x ? x ?

1 ?0 4 1 2 C. ?x ? R, x ? x ? ? 0 4
A. ?x ? R, x ? x ?
2

1 ? 0 ,则命题 p 的否定 ? p 是 4 1 2 B. ?x ? R, x ? x ? ? 0 4 1 2 D. ?x ? R, x ? x ? ? 0 4

1

4.已知 a ? 2 2 , b ? log

3

3 ,运算原理如右图所示,则输出的值为
B. 2

A.

2 2 2 ?1 2

开始

C.

D.

2 ?1 2


输入 a、 b 否

a?b

输出

b ?1 a

输出

a ?1 b

5.函数 f ( x ) ? log 2 x ? A. ? 0, ?

1 的零点所在区间为 x

结束

? ?

1? 2?

B. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

C. ?1, 2 ?

D. ? 2,3?

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6.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ....

1

1

1
主视图

1
左视图

1

1

1 1

1

1

1

1

1

A

B

C

D

7.在△ OAB 中, OA ? a, OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 λ 等于

??? ?

? ??? ?

?

A. ? C. ?

? ? ? a? b?a ? ? | a ? b |2 ? ? ? a? b?a ? ? | a ?b|

?

B. ? D. ?
? a1 a2

?

? ? ? a? a ?b ? ? | a ? b |2 ? ? ? a? a ?b ? ? | a ?b|

? ?

8. 已知集合 A ? ?1,2,3,4? , 函数 f ? x ? 的定义域、 值域都是 A , 且对于任意 i ? A ,f ? i ? ? i , 设 a1 , 2 , 3 , 4 是 1, 3, 的任意一个排列, 2, 4 定义数表 ? a a a

? f ? a1 ? f ? a2 ? f ? a3 ?

a3

? ?, f ? a4 ? ? a4

若两个数表对应位置上至少有一个数不同, 就说这是两个不同的数表, 那么满足条件的不同 的数表共有 A.216 个 B.108 个 C.48 个 D.24 个

第 Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须做答. 9.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 iz ? 1 ? i ,则 z ? .

1? ? 4 10.在二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中,含 x 项的系数为_____________. (用数字作答) x? ?
11. 中华人民 共和国道路 交通安全 法》规定 :车 辆驾驶员 血液酒精 浓度 在 20 ? 80 《

5

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mg /100mL (不含 80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80 mg /100mL (含 80)
以上时,属醉酒驾车。 据有关调查,在一周内,某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共 500 人.如图是对这 500 人 血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为 __________. 频率 组距
0.02 0.015 0.01 0.005 20 30 40 50 60 70 80

酒精含量
90 100 (mg/100mL)

12.函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 4 的最小值是

.

13. 如果在一次试验中, 某事件 A 发生的概率为 p , 那么在 n 次独立重复试验中, 事件 A 发 生偶数次的概率为 .

(二)选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题)

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t ? x ? 1 ? cos ? ? (t为参数) 曲线 C1 : ? ( ? 为参数)上的点到曲线 C 2 : ? 上的点 1 ? y ? sin ? ? y ? 1? t ? ? 2
的最短距离为 .

15. (几何证明选讲选做题) 如图,已知: △ ABC 内接于 ? O ,点 D 在 OC 的延长线上, AD 是 ? O 的切线, 若 ?B ? 30? , AC ? 1 ,则 AD 的长为 .

D

C
B A

O
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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

1 . 2

(Ⅰ)若 x ? ?0,

? ?

??
2? ?

,求 f ? x ? 的最大值及取得最大值时相应的 x 的值;

(Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 f ? 求 a 的值.

? A? ? ? 1 ,b=l, c ? 4 , ?2?

17. (本题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 .数列 {bn } 为等比数列,且 b1 ? 1 , b4 ? 8 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {cn } 满足 cn ? abn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本题满分 13 分) 如图,在四棱锥
? ? P ? ABCD中,底面为直角梯形, AD // BC,? BAD? 90 , PA 底面

ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC , M , N 分别为 PC , PB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB ? DM ; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值. N A B 19. (本小题满分 14 分) 为了让更多的人参与 2011 年在深圳举办的 “大运会” 深圳某旅游公司向国内外发行总量为 , 2000 万张的旅游优惠卡,其中向境外人士发行的是旅游金卡(简称金卡) ,向境内人士发行
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P

M D

C

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3 是 4

的是旅游银卡 (简称银卡) 。现有一个由 36 名游客组成的旅游团到深圳参观旅游, 其中 境外游客,其余是境内游客。在境外游客中有

1 2 持金卡,在境内游客中有 持银卡. 3 3

(Ⅰ)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (Ⅱ) 在该团的省内游客中随机采访 3 名游客, 设其中持银卡人数为随机变量 X , X 求 的分布列及数学期望 EX .

20. (本小题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C 的顶点在原点 O ,焦点为 F ? 0,1? . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)在抛物线 C 上是否存在点 P ,使得过点 P 的直线交抛物线 C 于另一点 Q , 满足

PF ? QF , PQ 与抛物线 C 在点 P 处的切线垂直? 若存在, 求出点 P 的坐标; 且 若不存在,
请说明理由.

y Q

P F O 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = ln x - px + 1 ? p ? 0? . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点,并判断其为极大点还是极小值点; (Ⅱ)若对任意的 x>0,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围; 第 20 题图 x

(Ⅲ)证明:

ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ??? 2 ? (n ? N , n ? 2). . 2(n ? 1) 22 3 n

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广东省六校 2012 届高三第一次联考试题 数学(理)答案
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. B C A D C C B A

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. ? 1 ? i ; 10. 10; 11.75; 15. 12. ?

9 ; 2

13.

1? n 1? 1? 2 p? ? ? ? ? 2

选做题: 14. 1;

3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

1 . 2

(Ⅰ)若 x ? ?0,

? ?

??
2? ?

,求 f ? x ? 的最大值及取得最大值时相应的 x 的值;

(Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 f ? 求 a 的值. 解: (Ⅰ) f ? x ? ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

? A? ? ? 1 ,b=l, c ? 4 , ?2?

1 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 ? sin 2 x ? 2 2 2
?????4 分

?? ? ? sin ? 2 x ? ? . 6? ?
∵0 ? x ? ∴?

?
2

,∴

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? , 6
即?

1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 6? ?

1 ? f ? x? ? 1 . 2

∴ f ? x ?m a n ? 1 ,此时 2 x ? (Ⅱ)∵ f ?

?
6

?

?
2

,∴ x ?

?
6



?????8 分

?? ? A? ? ? ? sin ? A ? ? ? 1 , 6? ?2? ?

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在 ?ABC 中,∵ 0 ? A ? ? , ∴

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? A?

?
6

?
6

?

A?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

7? , 6
?????10 分



又 b ? 1, c ? 4 , 由余弦定理得 a ? 4 ? 1 ? 2 ? 4 ?1cos 60? ? 13 ,
2 2 2

故 a ? 13 . 17. (本题满分 13 分)

???????????????????12 分

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 .数列 {bn } 为等比数列,且 b1 ? 1 , b4 ? 8 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {cn } 满足 cn ? abn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 解: (Ⅰ)∵ 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 , ∴ 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1. 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 亦满足上式, 故 an ? 2n ? 1( n ? N ) .
*

?????2 分

?????4 分

又数列 {bn } 为等比数列,设公比为 q , ∵ b1 ? 1 , b4 ? b1q3 ? 8 , ∴ q ? 2 . ∴ bn ? 2n?1 ( n ? N ) .
*

?????6 分 ?????8 分 ?????10 分

(Ⅱ) cn ? abn ? 2bn ?1 ? 2n ?1.

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ??cn ? (21 ?1) ? (22 ?1) ? ? ? (2n ?1) ? (21 ? 22 ? ?2n ) ? n ?
所以 Tn ? 2
n?1

2(1 ? 2n ) ?n. 1? 2

?2?n.

??????13 分

18. (本题满分 13 分) 如图,在四棱锥
? ? P ? ABCD中,底面为直角梯形, AD // BC,? BAD? 90 , PA 底面

P
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M

N

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ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC , M , N 分别为 PC , PB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB ? DM ; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值. 解: (Ⅰ)解法 1:∵ N 是 PB 的中点, PA ? AB , ∴ AN ? PB . ∵ PA ? 平面 ABCD ,所以 AD ? PA .

PA 又 AD ? AB , ? AB ? A , AD ? 平面 PAB , ∴ AD ? PB .
又 AD ? AN ? A ,∴ PB ? 平面 ADMN . ∵

DM ?





A

D

M ,

N∴

PB ? DM .

??????6 分

解法 2:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 BC ? 1 , 可得, A? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , B ? 2,0,0? , C ? 2,1,0? , M ? 1, 因为 PB ? DM ? ? 2, 0, ?2 ? ? ?1, ? ,1? ? 0 ,所以 PB ? DM .

? 1 ? ,1? , D ? 0, 2,0? . ? 2 ?
??????6 分

??? ???? ? ?

? ?

3 ? 2 ?

z P

P

N A B x

M y D C B

N A

M D Q C

(Ⅱ)解法 1:取 AD 中点 Q ,连接 BQ 和 NQ ,则 BQ / / DC ,又 PB ? 平面 ADMN , ∴ CD 与平面 ADMN 所成的角为 ?BQN .

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10 . 5

设 BC ? 1 ,在 Rt ?BQN 中,则 BN ? 2 , BQ ? 5 ,故 sin ?BQN ?

所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为

10 . 5

??????13 分

解法 2:因为 PB ? AD ? ? 2,0, ?2 ? ? ? 0, 2,0 ? ? 0 . 所以 PB ? AD ,又 PB ? DM ,所以 PB ? 平面 ADMN , 因此 PB, DC 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ? ??? ???? ? PB ? DC 10 ? 因为 cos PB, DC ? ??? ???? ? . 5 | PB || DC |
所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为 19. (本小题满分 14 分) 为了让更多的人参与 2011 年在深圳举办的 “大运会” 深圳某旅游公司向国内外发行总量为 , 2000 万张的旅游优惠卡,其中向境外人士发行的是旅游金卡(简称金卡) ,向境内人士发行 的是旅游银卡 (简称银卡) 。现有一个由 36 名游客组成的旅游团到深圳参观旅游, 其中 境外游客,其余是境内游客。在境外游客中有

10 . 5

??????13 分

3 是 4

1 2 持金卡,在境内游客中有 持银卡. 3 3

(Ⅰ)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (Ⅱ) 在该团的省内游客中随机采访 3 名游客, 设其中持银卡人数为随机变量 X , X 求 的分布列及数学期望 EX . 解: (Ⅰ)由题意得,境外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;境内游客有 9 人,其中 6 人持银 卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” , 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” , 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” ..w.w.

P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 )

?
?

1 2 1 1 1 C9C21 C9C6C21 ? 3 3 C36 C36

9 27 ? 34 170

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? 36 . 85

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所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是

36 . 85
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3

???6 分

P( X ? 0) ?

0 3 C6 C3 1 ? , 3 C9 84

P( X ? 1) ?

1 C6C32 3 ? 3 C9 14

P( X ? 2) ?

2 1 C6 C3 15 C 3 15 ? , P( X ? 3) ? 6 ? , 3 3 C9 28 C9 21

???10 分

所以 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 3 84 14 1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 故 EX ? 0 ? 84 14 28 21
20. (本小题满分 14 分)

15 28

5 21
????????14 分

如图,已知抛物线 C 的顶点在原点 O ,焦点为 F ? 0,1? . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)在抛物线 C 上是否存在点 P ,使得过点 P 的直线交抛物线 C 于另一点 Q , 满足

PF ? QF , PQ 与抛物线 C 在点 P 处的切线垂直? 若存在, 求出点 P 的坐标; 且 若不存在,
请说明理由. y Q

P F O 第 20 题图
第 10 页 共 13 页

x

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(Ⅰ)解:设抛物线 C 的方程是 x2 ? 2 py ,由于焦点为 F ? 0,1? , ∴

p ? 1 ,即 p ? 2 , 2
???????4 分

故所求抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y .

(Ⅱ) 设 P ? x1 , y1 ? ,Q ? x2 , y2 ? , 解: 则抛物线 C 在点 P 处的切线斜率为 k ? y? |x ? x1 ? 切线方程是:

x1 , 2

y?

x1 x ? y1 , 2

直线 PQ 的方程是

y??

2 x ? 2 ? y1 . x1

???????6 分

将上式代入抛物线 C 的方程,得

x2 ?

8 x ? 4 ? 2 ? y1 ? ? 0 , x1
???????8 分

故 x1 ? x2 ? ?

8 , x1 ? x2 ? ?8 ? 4 y1 , x1

∴ x2 ? ?

1 2 4 8 ? x1 , y2 ? x2 ? ? y1 ? 4 。 4 y1 x1

又 FP ? ? x1 , y1 ? 1? , FQ ? ? x2 , y2 ? 1? , ∴

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? FP ? FQ ? x1 x 2 ? ? y 1 1?? y ? 1? ? 2
? x1x2 ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1
?4 ? ?4 ? ? ?4 ? 2 ? y1 ? ? y1 ? ? y1 ? 4 ? ? ? ? 2 y1 ? 4 ? ? 1 ? y1 ? ? y1 ?

? y ? 4 ?? y1 ? 1? ? 1
y1

2

???????12 分

令 FP ? FQ ? 0 ,得 y1=4, 此时, 点 P 的坐标是 ? ?4, 4? . 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点 P 存在, 其坐标为 ? ?4, 4? . ???????14 分

??? ??? ? ?

21. (本小题满分 14 分)
第 11 页 共 13 页

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设函数 f ( x) = ln x - px + 1 ? p ? 0? . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点,并判断其为极大点还是极小值点; (Ⅱ)若对任意的 x>0,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围;

ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 (Ⅲ)证明: 2 ? 2 ? ? ? ? (n ? N , n ? 2). . 2(n ? 1) 2 3 n2
解: (1)? f ( x) ? ln x ? px ? 1,? f ( x)的定义域为 0,??) , (

f ?( x) ?

1 1 ? px ?p? , x x

????2 分

? 令 f ?( x) ? 0, x ?

1 ? (0,??), f ?( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: p
(0,

x

1 ) p

1 p
0 极大值

1 ( ,+ p
- ↘

)

f '( x)
f ( x)

+ ↗

从上表可以看出:当 p>0 时, f ( x ) 有唯一的极大值点 x ?

1 . ????5 分 p

(Ⅱ) x=

1 1 1 处取得极大值 f ( ) = ln ,此极大值也是最大值, p p p
1 p 1 p 0,
∴ p? 1

要使 f ( x) ? 0 恒成立,只需 f ( ) = ln

∴p 的取值范围为[1,+∞ ) .

????9 分

, (Ⅲ)令 p=1,由(Ⅱ)知, ln x ? x ? 1 ? 0,? ln x ? x ? 1 ? n ? N , n ? 2
∴ ln n ? n ? 1 ,
2 2



ln n 2 n 2 ? 1 1 ? ? 1? 2 2 2 n n n

????11 分



ln 2 2 ln 32 ln n 2 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) 2 2 3 n 2 3 n

第 12 页 共 13 页

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? (n ? 1) ? ( 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ) 2 2 3 n

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? (n ? 1) ? (

1 1 1 ? ??? ) 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 4 n n ?1

1 1 2n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) ? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)
∴结论成立. ????14 分

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