空间向量法解决立体几何问题-精品文档_图文

数学专题二

利用空间向量解决立体几何问题

学习提纲
一、引入两个重要空间向量
1、直线的方向向量; 2、平面的法向量。

二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系; (1)直线与直线的位置关系;

(2)直线与平面的位置关系;
(3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度; 3、求解空间中的距离。

一.引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向 量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角 坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直 线AB的方向向量是 z

A B ?? ( xx , yy ? , zz ? ) 2 12 12 1

B A y

x

2.平面的法向量

? 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直 于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作 n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.
n

α

例1.

如图所示, 正方体的棱长为1

(1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________

(0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (3)平面AB C 的一个法向量坐标为___________
1

z
O1 A1 B1 C1

o
A B

C

y

x

? 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的 坐标呢? ? 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α 内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂 直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句 话说,若n· a = 0且n· b = 0,则n⊥ α.
n

a α

b

如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
? ?n ? a ? 0 组? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n ? (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

则 n ? AB , n ? AC .∵ AB ? (?3,4,0) , AC ? (?3,0, 2)
3 ? y? x ?( x, y, z ) ? ( ?3,4,0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ? ? 4 ∴? 即? ∴ ? ( x , y , z ) ? ( ? 3,0, 2) ? 0 ? 3 x ? 2 z ? 0 ? ? ?z ? 3 x ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6)
∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.

? 练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1 C1 D1

A

A O D C

y

x

B

解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2) 由 O A 1 =(-1,-1,2),O D 1 =(-1,1,2) ??x ? y ? 2z ? 0 ?x ? 2z 得: ? 解得:? ??x ? y ? 2z ? 0 ? y ? 0 取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).

练习 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC 的中点, 求平面EDB的一个法向量.
解:如图所示建立空间直角坐标系. Z

依 题 意 得 D(0 ,0 ,0), P(0 ,0 ,1 ), 1 1 B(1, 1,0) E (0 , , ) 2 2 1 1 B = ( 1 , 1 , 0 ) DE ? (0, , ) D 2 2
则 n ? D E ,n ? D B
A

P

E
D

,y ,1 ) 设平面EDB的法向量为 n?(x
1 1 ? 0 ? y? ? 于 是 n? 1 ,? 1 ,1 ? ?X 2 2 ? ? ? x?y? 0 ?

C B

Y

学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及 平面的法向量的概念 , 这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.

用向量方法解决几何问题

因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.

二、

立体几何中的向量方法
——平行关系

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

一. 平行关系:
(1) l / / m ? a / / b ? a ? ? b ;

a
l
m

b

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

(2) l / /? ? ① a ? u ? a ? u ? 0 ;

u
α

a

? ② a ∥ A C

?? ③ a x A B ? y A D

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(3) ? / / ? ? ① u / / v ? u ? ? v.

u
α

v
β

例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的

中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P

F(2,2,0),

G(0,4,2),

几何法呢?

A E = ( 3 , 3 , 3 ) , F G = ( 2 , 2 , 2 )

3 AE = FG A E // F G 2 AE与FG不共线

E

G
C B Y

D

AE//FG

A X

F

例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, (1)求证:PA//平面EDB.
Z

解1 立体几何法

P E

D A X
G

C B

Y

解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依 题 意 得 A (1 ,0 ,0), P(0 ,0 ,1 ),
1 1 1 1 E (0 , , ) G( , , 0 ) 2 2 2 2

Z

1 1 P P A ? ( 1 , 0 , ? 1 ) , E G ? (, 0 , ?) 2 2

所以 PA ? 2 EG ,即 PA // EG

E

而 EG?平 面 ED B, 且 PA?平 面 ED B
D A
G

C B

Y

所以, PA // 平面 EDB
X

解3:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 B(1, 1,0) 依 题 意 得 A ( 1 , 0 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 1 ) , E ( 0 , ,) , (1)证明: 2 2 1 1 P A ? ( 1 ,0 ,? 1 ) , DE ? (0, , ) Z D B = ( 1 , 1 , 0 ) 2 2

,y ,1 ) 设平面EDB的法向量为 n?(x
则 n ? D E ,n ? D B
1 1 ? 0 ? y? ? 于 是 n? 1 ,? 1 ,1 ? ? 2 2 ? ? ? x?y? 0 ?

P E

? P A n ? 0 ? P A ? n

而 P A ? 平 面 E D B

D B

C

所以, PA // 平面 EDB
X

A

Y



所在平面相交于AD,点 如图,已知矩形 ABCD和矩形 ADEF 1 1 M , N 分别在对角线 BD , AE上,且 B M ? B D ,A N ? A E , 3 3 求证: M N / /平 面 C D E
E N A B M

F

D
C



所在平面相交于AD,点 如图,已知矩形 ABCD和矩形 ADEF 1 1 M , N 分别在对角线 BD , AE上,且 B M ? B D ,A N ? A E , 3 3 求证: M N / /平 面 C D E
F
N A E

D
C

B

M

几何法呢?

三、

立体几何中的向量方法
——垂直关系

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
二、垂直关系:

( 1 ) l? m ? ab ? ? a ? b ? 0
l
a b
m

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
( 2 ) l? ??a / / u ? a ? u

?

l

u
a

?

C A

B

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

( 3 ) ???? uv ? ? u ? v ? 0
β

u

v

α

例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证1 立几法
M B N C D A

例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证2 如图所示建立空间直角坐标系,设AB=2.

B(0, 0, 0) D(0,2,0) C ( 3,1, 0)
Z

A M

3 1 6 M( , , ) 6 2 3

3 2 6 A( ,1, ) 3 3

3 3 N( , , 0) 2 2

?

y

B

?
C

D N

y x

x

棱长为a 的正方体 OABC ? O ' A ' B ' C ' 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点,且AF=BE,求证: 练习

AF?OE
1 1

解:如图所示建立空间 O’ 直角坐标系,设AF=BE=b. C’ A1 (a, a, a) F ( 0 ,a? b ,0 )
O1 (0, 0, a )
1

Z
A’ B’

Ea ( ? ba , ,0 )
C

O

F A

A F ? ( ??? a ,b ,a )
1 O E ? ( ab ? , a , ? a )

y

B

E

x
1 1

A FO ? E ? 0
1 1

AF? OE

AF?OE
1 1

例 2 . 四 棱 锥 PA - B C D 中 ,底 面 A B C D 是 正 方 形 , ? P BP 交于 B点 F .( 2 )求 证 : P B ? 平 面 E F D .

P D ? 底 面 A B C D , P DD ?C , 点 EP 是的 C中 点 , 作 E F

证1:如图所示建立 空间直角坐标系,设DC=1. 1 1 PB ?( 1 , 1 , ? 1 ) DE ? (0, , ) 2 2 1 1 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2 所以 PB ? DE

Z

P F
D

E

由已知 EF?PB , 且 EF ?DE ?E ,

C B

所以 PB ? 平面 EFD X

A

Y

例 2 .四 棱 锥 PA - B C D 中 ,底 面 A B C D 是 正 方 形 ,P D ? 底 面 A B C D ,P D ? D C , 点 E 是的 P C中 点 , 作 E F ? P B 交于 P B 点求 F , 证 : P B ? 平 面 E F D .

证2:

Z

P F
D A X B

E

C

Y

练习

BCD ? A B C D 中,E、F分别 正方体 A 1 1 1 1

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE.
以, D AD ? ? ? ? CD ? ? , ? ?D 证明:设正方体棱长为1, 为单位 1 正交 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,

1 D A ? ( 1 , 0 , 0 ) , D E ? ( 1 , 1 , , ) 2 1 DF ? (0, , ?1) 1 2 A1 则 D F, ? D A ? 0 ? ? ? ? D F ? D E ? 0 1 1

D1

z

C1 B1 E

则 D F ? D A ? , ? ? D F ? D E . 1 1

D

F B

C y

所以

D F ? 平 面 A D E 1

A
x

练习

BCD ? A B C D 中,E、F分别 正方体 A 1 1 1 1

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 证明2: z
D1

C1

A1

B1
E D C

F
A
x

y
B

BCD ? A B C D ,E是AA1中点, 例3 正方体 A 1 1 1 1

求证:平面EBD ?平面C1BD. 证明: 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)

E B ? ( 2 ,0 ,? 1 ) E D ? ( 0 ,2 ,? 1 )
设平面EBD的一个法向量是

E

u?(x ,y ,1 )
由 u ? E B ? u ? E D ? 0
u ? v ? 0,

1 1 得 u ? ( , ,1) 平面C1BD的一个法向量是 v ? C A ? (1 ? , ? 1 , 1 ) 1 2 2

平面EBD ?平面C1BD.

BCD ? A B C D ,E是AA1中点, 例3 正方体 A 1 1 1 1

求证:平面EBD ?平面C1BD. 证明2:

E

?

练 习 四 棱 锥 P -A B C D 中 ,底 面 A B C D 是 正 方 形 ,P D ? 底 面 A B C D ,G 是 P B 上 的 点 , 求 证 : 平 面 G A C ? 平 面 P D B
Z

P
G

D A X B

C Y

? ? ? ?

例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E ⊥平面DBC1; A1 (2)AB1 ∥ 平面DBC1
z C1 B1 A E D C x B y

? 解:以D为原点,DA为x轴,DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则 ? A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3 ,2), C1(1,0,2). ? 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 ? x ? ?2 z ?x ? 2z ? 0 ? ? 3 y ? 0 解之得 ? , y ? 0 ? ? ? 取z = 1得n=(-2,0,1) E ? ( 2 , 0 ,? 1 ) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 ? (1) A 1 ? (2) AB ( 1 , 3 ,2 ) ,而 AB ? n =-2+0+2=0 1? ? ∴AB1 ∥平面DBC1
1

? 例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别 是BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面 A1FD
z A1 B1 C1 D1

E D A F x B C y

? 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐 标系A- xyz, ?设:正方体的棱长为2, ?那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), ?(0 ,2 ,0 ) ?(2 ,0 , 1 ) AD 于是 AE , ?设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得
1 ? ?2 x ? z ? 0 ?x ? ? z 解得: ? ? 2 ? y ? 0 ? 2y ? 0 ?

?取z=2得n1=(-1,0,2) ?同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1) ?∵n1 · n2 = -2+0+2=0 ∴平面AED⊥平面A1FD

3.求解空间中的距离
? (1)异面直线间的距离 ? 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用 向量的正射影性质直接计算. n ? 如图,设两条异面直线a、b的公 a A 垂线的方向向量为n, 这时分别在 a、b上任取A、B两点,则向量在n b 上的正射影长就是两条异面直线 n | AB ?n| a、b的距离. ∴ d ? | AB ? |? , | n| | n| B ?
? 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.

? 例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求异面直线AC1与BD间的距离.
z A1 D1

B1

C1

A D

y

x

B

C

? 解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面 直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z), 则由AC ,) 得 ? ( 1 , 1 , 1 ), BD ? ( ? 1 , 1 , 0 1 z ? x ? ? x?y?z? 0 ? ?? 2 , 解得 ,取 z? 2 得 ? ? z x?y? 0 ?? ? y? ? ? n=(-1,-1,2). 2 ? ? ∵ AB , ?( 1 ,0 ,0 ) ? ∴异面直线AC1与BD间的距离
| AB ?n | |? 1 ? 0 ? 0 | 6 d ? ? ? |n | 1 ? 1 ? 4 6

? (2)点到平面的距离 ? A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作 A 平面α的斜线AB及垂线AH. AH | ? | AB | ? sin ? ? | AB | ? | cos ? AB , n ? | n ? | ? = | AB| ? | AB? n |
| AB| ? | n |
θ

?

| AB ? n | = |n|

.

α

B

H

? 于是,点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模 的比值.

| AB ? n | d? |n|

? 例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1= 2 ,AC=BC=1,∠ACB=90°, ? 求B1到面A1BC的距离.
z C1 A1 B1

C A x B y

? 解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, 2 ),B(0,1,0),B1(0,1, 2 ). 设面A1BC的 法向量n=(x,y,z),由 CA ? ( 1 , 0 ,2 ), CB ? ( 0 , 1 , 0 ), 得 1 x ?2 z ? 0 ? x ? ?2 z ?? n=(- 2 ,0,1). , 得 , 取 z ? 1 , 得 ? ? ? 0 ? 0 ? y ? y ? ( 0 , 0 , 2 ) , 1? ? ∵ BB |BB ? n | |0 ? 0 ?2 | 2 6 d ? ? ? ? ? ∴ n 2 ? 1 3 3 ? 或∵ A , B ( ? 1 , 1 , 0 ) 1 1? |A B ? n | | 2 ? 0 ? 0 | 2 6 ? ? ? ? ? ∴ d n 2 ? 1 3 3 ? 或∵ CB , ? ( 0 , 1 , 2 ) 1 ? ∴ |CB ? n | |0 ? 0 ?2 | 2 6
1

11

d ?

1

n

?

? ? 2 ? 1 3 3

? 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无 关.

? 会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平 面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求. ? 例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱PA⊥底面AC且PA= 4,E是PA 的中点,求PC与平面PED间的距离.
z P

E A B F C

D y

x

解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高 AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F ? 为CD的中点,于是 ? A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 3 ,0), C(2, 2 3 ,0), ? D(-2, 2 3 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). ? 设面BED的法向量n=(x,y,z),由 ? ( ? 4 , 0 , 2 ), DE ? ( 2 , ? 2 3 , 2 ), ? BE 得 ? n=(1, 3 ,2). ? ∵ PC ? ( 2 , 23 , ? 4 ) PC ? 2+6-8=0,故PC∥面BED, ? ∴n· ? ∴PC到面BED的距离就是P到面BED的距离, ? ∵ EP?(0,0,2) |EP ?n | 4 d ? ? ?2 ? ∴. |n | 1 ? 3 ? 4
z ? x? ? ? ? 2 ,取 ,得 z? 2 ,得 ? ? 3 z 2 x? 23 y? 2 z? 0 ? ? y ? ? 2 ? ? 4 x ? 2 z? 0

? 空间向量理论引入立体几何中,通常涉及到 夹角、平行、垂直、距离等问题,其方法是 不必添加繁杂的辅助线,只要建立适当的空 间直角坐标系,写出相关点的坐标,利用向 量运算解决立体几何问题 。这样使问题坐标 化、符号化、数量化,从而将推理问题完全 转化为代数运算,降低了思维难度,这正是 在立体几何中引进空间向量的独到之处。


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