人教A版高中数学必修四课件:2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角 1.平面向量数量积的坐标表示 (1)条件:两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). (2)坐标表示:a·b=________. (3)文字语言:两个向量的数量积等于它们 _________________ ___. x1x2+y1y2 对应坐标的乘积的 和 2.平面向量的模的坐标表示 (1)条件:a=(x,y). (2)坐标表示:|a|2=_____或|a|=________. (3)常见应用:表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分 别 2 2 x ? y 2 2 为(x1,y1),(x2,y2),则 a= ____________,|a|= x +y __________________. (x2-x1,y2-y1) ? x 2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? 2 2 3.向量垂直的判定 (1)条件:a=(x1,y1),b=(x2,y2),a≠0,b≠0. (2)坐标表示:a⊥b?__________. 4.两向量夹角的余弦 (1)条件:两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的 夹角,且0≤θ≤π. x1x2+y1y2=0 (2)坐标表示:cosθ=________=__________________. ab | a || b | x1x 2 ? y1y2 x12 ? y12 x 2 2 ? y2 2 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为 (x1x2,y1y2). ( ) (2)| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( ) (3)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+ y1y2>0,反之,若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+ y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ) AB 【解析】(1)错误.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积是实 数,其数值为x1x2+y1y2. (2)正确.向量 的模| |是线段AB的长度,也就是A,B两 点间的距离,两者计算公式也是相同的. (3)错误.非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角θ为锐角, 则cosθ= >0,所以x1x2+y1y2>0, AB = AB 反之,若x1x2+y1y2>0,则cosθ>0,当cosθ=1时,θ=0°, 非 零向量a,b的夹角不是锐角. 答案:(1)× (2)√ (3)× ab | a || b | x1x 2 ? y1y2 x12 ? y12 x 2 2 ? y2 2 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若a=(1,1),b=(-3,4),则a·b= . (2)若表示向量a的起点和终点的坐标分别为(-1,2)和(3,3), 则|a|= . (3)已知平面向量a=(x,-1),b=(-3,1),若a⊥b,则实数x的 值等于 . (4)已知向量a=(1,1),b=(2,0),则向量a,b的夹角为 . 【解析】(1)因为a=(1,1),b=(-3,4), 所以a· b=(1,1)· (-3,4)=1×(-3)+1×4=1. 答案:1 (2)由题意得,a=(3,3)-(-1,2)=(4,1), 所以|a|= 答案: 42 ? 12 ? 17. 17 (3)因为a=(x,-1),b=(-3,1),a⊥b, 所以a· b=(x,-1)· (-3,1)=-3x+(-1)×1=0, 解得x=- . 答案:- (4)设向量a,b的夹角为θ, 1 由向量的夹角公式可得 cos θ= 因为0≤θ≤π,所以θ= . 3 答案: 1 3 ? 4 ? 4 a b 1? 2 ? 1? 0 2 ? ? . | a || b | 2 2?2 【要点探究】 知识点1 平面向量数量积及模的坐标表示 1.数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用:数量积的坐标表示的实质是用向量的坐标计算 数量积的一个公式; 它实现了向量的数量积的运算与两 向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来. (2)记忆口诀:数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计 算和”. 2.数量积坐标表示的意义 (1)由数量积坐标表示,可不求向量的模和夹角直接求数 量积,使得数量积的计算更为方便、简单. (2)实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合 起来. 3.向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点 间的距离,如a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点 A(x,y),使得 =a=(x,y),所以| |=|a|= 即 |a|为点A到原点的距离.同样若A(x1,y1),B(x2,y2),则 = (x2-x1,y2-y1),所以| |= 即平面直 角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量的模的运算 实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算 2 . 2 OA OA x ?y , AB AB ? x 2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? , 2 2 【微思考】 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? 提示:适用.无论是零向量,还是非零向量,均可使用向 量数量积的坐标公式. (2)向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数 量积的方法有什么不同? 提示:向量有几何表示法、代数表示法和坐标表示法三 种方法. 几何表示法、代数表示法表示向量时,用数量 积的定义计算数量积,坐标表示法表示向量时,用数量 积的坐标运算求数量积. (3)向量模的坐标表示可以解决哪些问题? 提示:向量模的坐标表示可以解决求线段的长度等问题. 【即时练】 1.(2014·北京高一检测)已知向量e1=(1,0),e2=(0,1), 那么|e1+2e2|= ( ) 【解析】选D.因为e1=(1

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