最新-高中数学 2-1-2第2章 第2课时 数列的递推公式同步检测 新人教B版必修5 精品

第2章
一、选择题

2.1

第 2 课时数列的递推公式(选学)
1

1.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+ 55 A. 12 [答案] A [解析] 令 n=3,4,5,求 a5 即可. 13 B. 3 C.4 D.5

an-2

(n≥3),则 a5=(

)

2.已知数列{an}中,an+1=an+2+an,a1=2,a2=5,则 a6=( A.-3 B.-4 C.-5 D.2 [答案] A [解析] 由 an+1=an+2+an 得 a3=3,

)

a4=-2,a5=-5,a6=-3.
3.正项数列{an}中,an+1= 16 2 A. B. 5 19 [答案] B 2 2 2 [解析] 由递推关系可得 a2= ,a3= ,a4= . 7 13 19 4.已知数列{an}满足 a1=x,a2=y,且 an+1=an-an-1(n≥2),则 a2018=( A.x B.y C.y-x [答案] C [解析] 根据递推关系可得 x,y,y-x,-x,-y,x-y,这 6 个数值重复出现 a2018=a334×6+3 =a3. 5.已知 Sk 表示数列的前 k 项和,且 Sk+Sk+1=ak+1(k∈N ),那么此数列是( A.递增数列 C.常数列 [答案] C [解析] ∵由 ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1 ∴Sk=0(k∈N ) 可知此数列每一项均为 0,即 an=0 是常数列. 6.观察下图,并阅读图形下面的文字,像这样 10 条直线相交,交点的个数最多的是( )
* *

,a1=2,则 a4=( 1+3an

an

)

8 8 C. D. 5 7

)

D.-x

)

B.递减数列 D.摆动数列

A.40 个 B.45 个 C.50 个 D.55 个 [答案] B 2×1 2×3 3×4 n [解析] 交点个数依次组成数列为 1,3,6,即 , , ,由此猜想 an= 2 2 2 10×9 ∴a10= =45. 2 二、填空题 7. 已知数列{an}的通项公式 an=3n-1(n∈N ), 通过公式 bn= 的前五项为________________. [答案] 5 8 11 14 17 , , , , 2 5 8 11 14
* *

n-
2



an+1 构造一个新数列{bn}, 那么{bn} an

[解析] ∵an=3n-1(n∈N ) ∴an+1=3(n+1)-1=3n+2, ∴bn=

an+1 3n+2 = . an 3n-1

5 8 11 14 17 ∴b1= ,b2= ,b3= ,b4= ,b5= . 2 5 8 11 14 8.已知数列{an}的通项公式 an=n -4n-12(n∈N ),则 (1)这个数列的第四项是________; (2)65 是这个数列的第________项; (3)这个数列从第________项起以后各项都为正数. [答案] -12;11;7 [解析] (1)a4=4 -4×4-12=-12. (2)令 65=n -4n-12,∴n -4n-77=0, ∴n=11 或 n=-7(舍去). 故 65 是这个数列的第 11 项. (3)令 n -4n-12>0,得 n>6 或 n<2. ∴这个数列从第 7 项起以后各项都为正数.
2 2 2 2 2 *

三、解答题 9.在数列{an}中,已知 a1=1,且满足 an+1=an+ [解析] 由 an+1=an+ 即

an

n+1

,求通项公式.

an n+2 ,得 an+1= an, n+1 n+1

an+1 n+2 a2 3 a3 4 a4 5 = .∴ = , = , = ,…, an n+1 a1 2 a2 3 a3 4

an n+1 = (n≥2). an-1 n
将以上各式相乘,得

a2 a3 a4 an 3 4 5 n+1 · · ·…· = · · ·…· a1 a2 a3 an-1 2 3 4 n
∴ =

an n+1 n+1 ,∴an= (n≥2), a1 2 2

又 a1=1 满足上式. ∴an=

n+1
2

(n∈N ).
2

*

10.设数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且方程 x -anx-an=0,有一根为 Sn-1,n=1,2,3,…, 求 a1、a2. [解析] 当 n=1 时,x -a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1,于是(a1-1) -a1(a1-1)-a1=0, 1 解得 a1= . 2 1 1 2 1 1 当 n=2 时,有一根为 S2-1=a2- ,于是(a2- ) -a2(a2- )-a2=0,解得 a2= . 2 2 2 6 能力提升 一、选择题 1 1.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则 an=(
2 2

n

)

A.2+lnn C.2+nlnn [答案] A

B.2+(n-1)lnn D.1+n+lnn

[解析] 解法一:取 n=2,则 a2=a1+ln2=2+ln2,排除 C、D; 1 3 取 n=3,则 a3=a2+ln(1+ )=2+ln2+ln =2+ln3,排除 B,选 A. 2 2 解法二:直接将选项依次代入验证. 1 当 an=2+lnn 时,an+1=an+ln(1+ )

n

1 =2+lnn+ln(1+ )

n

=2+ln(n+1)满足,故选 A. 1 解法三:∵an+1=an+ln(1+ ),

n

1 ∴a2-a1=ln(1+ )=ln2, 1

a3-a2=ln(1+ )=ln , a4-a3=ln(1+ )=ln ,
… 1 3 4 3

1 2

3 2

an-an-1=ln(1+

1 n )=ln . n-1 n-1

3 n 相加得:an-a1=ln2+ln +…+ln =lnn,∵a1=2,∴an=2+lnn. 2 n-1 2.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= 3 2

an- 3 (n∈N+),则 a20=( 3an+1

)

A.0 B.- 3 [答案] B

C. 3

D.

[解析] ∵a1=0,a2=

a1- 3 a2- 3 a3- 3 =- 3,a3= = 3,a4= =0,… 3a1+1 3a2+1 3a3+1

至此可知:数列{an}的各项的值依次为 0,- 3, 3,0,- 3, 3,0,…,周而复始. ∵20÷3=6 余 2,∴a20=a2=- 3. 二、填空题 3.设 f(n)= [答案] 1

n+1 n+2



1

1 * +…+ (n∈N ),那么 f(n+1)-f(n)=________. 2n

1 1 - 2n+1 2n+2 1 1 1 1 1 1 + + +…+ + + , n+2 n+3 n+4 2n 2n+1 2n+2

[解析] f(n+1)=

1 1 1 1 1 ∴f(n+1)-f(n)= + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 4.若数列{an}中,a1=3,且 an+1=an(n 是正整数),则数列的通项 an=________. [答案] an=32
n-1
2

[解析] a1=3,a2=3 ,a3=3 ,a4=3 …,猜想 an=32

2

4

8

n-1

.

三、解答题 5.数列{an}的通项公式是 an=-2n +19n-23,则数列{an}中最大的一项是第几项?并求出该 项. 19 2 19 19 2 177 2 [解析] an=-2n +19n-23=-2(n- ) -23+ =-2(n- ) + , 4 8 4 8 ∵n∈N ,∴当 n=5 时,an 最大,
* 2 2

a5=-2×52+19×5-23=22.
故数列{an}最大的一项是第 5 项,且 a5=22. 6.设函数 f(x)=log2x-logx4(0<x<1),数列{an}的通项 an 满足 f(2 n)=2n(n∈N ),求数列{an} 的通项公式. [解析] ∵f(x)=log2x-logx4, ∴f(2 n)=log22 n-log2
a a an a
*

4=2n,

2 2 即 an- =2n,∴an -2nan-2=0,

an

∴an=n± n +2. 又∵0<x<1,∴0<2
*

2

an

<1,
2 *

∴an<0(n∈N ),∴an=n- n +2(n∈N ). 7.一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A,B)共有 8 站,从 A 地出发时,装上发 往后面 7 站的邮件各一个,到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件,同时装上该站发往 下面各站的邮件各一个,试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列,画出该数列的图 象,并判断该数列的增减性. [解析] 将 A、B 之间所有站按序 1,2,3,4,5,6,7,8 编号,通过计算,上面各站剩余邮件数依次 排成数列:7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表: 站号 1 2 3 4 5 6 7 8

剩余邮件数 该数列的图象如图所示.

7

12

15

16

15

12

7

0

它在{1,2,3,4}上是递增的,在{4,5,6,7,8}上是递减的. 8.某林区改变植树计划,第一年植树增长率 200%,以后每年的植树增长率都是前一年植树增 1 长率的 . 2 (1)假设成活率为 100%,经过四年后,林区的树木量是原来的树木量的多少倍? (2)如果每年都有 5%的树木死亡,那么经过多少年后,林区的树木量开始下降? [解析] (1)设林区原有的树木量为 a,调整计划后,第 n 年的树木量为 an(n=1,2,3,…),则

a1=a(1+200%)=3a, a2=a1(1+100%)=2a1=6a, a3=a2(1+ )= a2=9a a4=a3(1+ )= a3= a.
45 所以经过四年后,林区树木量是原来树木量的 倍; 4 (2)若每年损失树木量的 5%,则第 n 年后的树木量与第(n-1)年的树木量之间的关系为: 1 4 5 4 45 4 1 2 3 2

an=an-1(1+

1 2

n-2

19 1 )(1-5%)= (1+ n-2)an-1(n≥2). 20 2

设第 n 年后树木量开始减少, 则?
? ?an≥an-1 ?an≥an+1 ?



19 ? ?20 即? 19 ? ?20

1 + n-2 an-1≥an-1 2 1 + n-1 2



an≤an

1 ? ?2 ∴? 1 ? ?2

n-2



1 19 1 19

n-1



1 1 1 ,∴ ≤ n≤ ,解得 n=6. 76 2 38

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