【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲:第09讲 数列综合问题(含详解)

数学高考综合能力题选讲 9

数列综合问题
题型预测
在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点. 数列作为高中数学的重要内 容, 不仅本身成为高考考查的重点, 而且常常与不等式、 函数、 解析几何等知识综合在一起, 成为高考命题的热点.

范例选讲 例 1 已知函数 f ?x ? ?
1 4 ?2
x

?x ? R ? ,点 P1 ?x1 , y1 ? ,P2 ?x2 , y2 ? 是函数 f ?x ? 图
1 . 2

像上的两个点,且线段 P P2 的中点 P 的横坐标为 1 (Ⅰ)求证:点 P 的纵坐标是定值;
?n? (Ⅱ)若数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? f ? ? ? m?

?m ? N , n ? 1,2,?, m? ,求数列

?an ?的前 m 项的和 S m ;
(Ⅲ)若 m ? N 时,不等式

a m a m ?1 恒成立,求实数 a 的取值范围. ? S m S m ?1

讲解:这是一道函数、数列、不等式的综合问题.对于(Ⅰ),直接验证即 可;对于(Ⅱ),观察 S m 的构成:
?1? ?2? ? m ? 2? ? m ? 1? ? m? Sm ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? f? ?? f? ? , ? m? ? m? ? m ? ? m ? ? m?

可知(Ⅰ)的结论又为(Ⅱ)作了铺垫;对于(Ⅲ),则应在(Ⅱ)的基础上, 充分利用“恒成立”,结合函数、不等式的知识去解决.总之,本题层层递进, 每一小题均为后一小题的基础,因此,从(Ⅰ)开始,认真走好每一步是解决好 本题的关键. 1 (Ⅰ)由题可知: x1 ? x 2 ? 2 ? ? 1 ,所以, 2

y1 ? y 2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?
x1 x2 x1 ? x2

1 1 4 x1 ? 4 x2 ? 4 ? x2 ? x1 4 x1 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 4 x2 ? 2

?

??

?

4

4 ?4 ?4 4 ?4 ?4 1 ? ? x1 x2 x1 x2 ?24 ?4 ?4 24 ?4 ?4 2
x1 x2

?

?

?

?

点 P 的纵坐标 y P ?

y1 ? y 2 1 ? 是定值,问题得证. 2 4

?n? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:对任意自然数 m, n , f ? ? ? ? m?

?m?n? 1 f? ? ? 恒成立. ? m ? 2

?1? ?2? ? m ? 2? ? m ? 1? ? m? 由于 S m ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? f? ? ? f ? ? ,故可考虑利用 ? m? ? m? ? m ? ? m ? ? m?

倒写求和的方法.即由于:

?1? ?2? ? m ? 2? ? m ? 1? ? m? Sm ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? f? ?? f? ? ? m? ? m? ? m ? ? m ? ? m? ? m? ? m ? 1? ? m ? 2? ?2? ?1? ? f? ?? f? ?? f? ? ??? f ? ? ? f ? ? ? m? ? m ? ? m ? ? m? ? m?
所以,

? ?1? ? ? m ? 1? ? m ? 1 ?? ? ? 2 ? ? m ? 2 ?? ? 1 ?? ? m? 2S m ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? 2 f ? ? ? m ?? ? ? m ? ? m ?? ? m ?? ? m? ? ? m? ? ? m ? 1 1 ? ?m ? 1? ? 2 f (1) ? ?3m ? 1? 2 6
1 ?3m ? 1? 12 1 (Ⅲ)∵ S m ? ?3m ? 1? , 12

所以, S m ?

∴ S m ?1 ?

1 ?3m ? 2? 12



a ? a m a m ?1 ? 1 等价于 12a m ? ? ? ??0 S m S m ?1 ? 3m ? 1 3m ? 2 ?



依题意,①式应对任意 m ? N 恒成立. (1) 当 a ? 0 时,①式显然不成立,因此 a ? 0 不合题意. 1 a ? ? 0 ,所以,只需 a m ? 0 对任意 m ? N 恒 (2) 当 a ? 0 时, 3m ? 1 3m ? 2 成立,而当 m 为偶数时, a m ? 0 不成立,因此, a ? 0 不合题意. (3) 当 a ? 0 时, 因为 a m ? 0 m ? N ) 所以, ( , 需且只需 对任意 m ? N 恒成立.即: a ?
1 a ? ?0 3m ? 1 3m ? 2

3m ? 2 对 m ? N 恒成立. 3m ? 1

记 g ?m ? ?

3m ? 2 ( m ? N ). 3m ? 1

∵ g ?m ? 1? ? g ?m? ?

3m ? 5 3m ? 2 ?9 ? ? ?0, 3m ? 2 3m ? 1 ?3m ? 2??3m ? 1?
5 , 2

∴ g ?m ? ( m ? N )的最大值为 g ?1? ? ∴ a?

5 . 2 点评:对于“恒成立”的问题,往往采用分离变量的方法,转化为求某一函 数的最值.

例 2 已知函数 f ?x ? 与函数 y ? a?x ? 1?

?a ? 0? 的图像关于直线 y ? x 对称.

(Ⅰ)试用含 a 的代数式表示函数 f ?x ? 的解析式,并指出它的定义域; (Ⅱ)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, a n ? a1 .数列 ?bn ? 中, b1 ? 2 ,

S ? ? 点 S n ? b1 ? b2 ? ?bn . Pn ? an , n ? n ? ?

?n ? 1,2,3,?? 在函数 f ?x ? 的图像上,求 a 的值;
? 的直线 l n ,则 l n 在y轴上的 4

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 Pn 作倾斜角为 截距为

1 ?bn ? 1? ?n ? 1,2,3,?? ,求数列 ?an ? 的通项公式. 3

讲解:本题条件繁多,内容涉及解析几何、函数、数列多个方面,因此,我 们首先需要仔细阅读题目, 并根据题设理清思路,从繁杂的条件中选取有用的信 息,把握问题的实质:实际上,本题的实质仍然是数列问题,解析几何和函数只 是起到一种伪装的作用. (Ⅰ)由题可知: f ?x ? 与函数 y ? a?x ?1?
f ?x ? ?

?a ? 0? 互为反函数,所以,

x2 ? 1 , ?x ? 0? a

S ? ? (Ⅱ)因为点 Pn ? an , n ? n ? ?

?n ? 1,2,3,?? 在函数 f ?x ? 的图像上,所以,
2

S n an ? ?1 n a
2

?n ? 1,2,3,??

(*)

在上式中令 n ? 1 可得: S1 ?

a1 ? 1 ,又因为: a1 ? 1 , S1 ? b1 ? 2 ,代入可 a

解得: a ? 1 . 所以, f ?x? ? x 2 ? 1 ,(*) 式可化为:
Sn 2 ? an ? 1 n

?n ? 1,2,3,??



(Ⅲ)直线 l n 的方程为: y ?

Sn ? x ? a n , ?n ? 1,2,3,?? , n

在其中令 x ? 0 , y ? 得

Sn 1 ? an , 又因为 l n 在y轴上的截距为 ?bn ? 1? , 所以, 3 n
Sn 1 ? a n = ?bn ? 1? 3 n

结合①式可得: bn ? 3an ? 3an ? 2
2 2


2

由①可知:当自然数 n ? 2 时, S n ? nan ? n , S n?1 ? ?n ? 1?an?1 ? n ? 1,两式 作差得: bn ? nan ? ?n ? 1?an?1 ? 1.
2 2

结合②式得:

?n ? 3?an 2 ? 3an ? ?n ?1?an?12 ? 1 ?n ? 2, n ? N ?
在③中,令 n ? 2 ,结合 a1 ? 1 ,可解得: a2 ? 1或2 , 又因为:当 n ? 2 时, a n ? a1 ,所以,舍去 a2 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 同上,在③中,依次令 n ? 3, n ? 4 ,可解得: a3 ? 3 , a4 ? 4 . 猜想: an ? n



?n ? N ? .下用数学归纳法证明.

(1) n ? 1,2,3 时,由已知条件及上述求解过程知显然成立. (2)假设 n ? k 时命题成立,即 ak ? k ?k ? N , 且k ? 3? ,则由③式可得:

?k ? 2?ak ?12 ? 3ak ?1 ? kak 2 ? 1
把 ak ? k 代入上式并解方程得: a k ?1
k 2 ? k ?1 ?? 或k ? 1 k ?2

由于 k ? 3 ,所以, ?

k 2 ? k ? 1 k (k ? 1) ? 1 k 2 ? k ?1 ? ? 0 ,所以, a k ?1 ? ? 不 k ?2 k ?2 2?k

符合题意,应舍去,故只有 ak ?1 ? k ? 1 . 所以, n ? k ? 1 时命题也成立. 综上可知:数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n

?n ? N ?

点评:演绎和归纳是解决数列问题的常用方法;解决综合题的策略往往是把 综合问题分解成几部分,然后各个击破.


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