幂函数的图像与性质


幂函数的图像与性质 教学目的 通过对幂函数几种不同情况图像的观察、分析,掌握幂函数图像的特征,进一步掌握幂 函数的性质,提高观察和分析的能力. 教学过程 一、学生练习 在同一坐标系中画出下列幂函数的图像: (提醒学生:画坐标系时,单位长度要取大一些.) 在学生练习的同时,教师在黑板上画出上述幂函数的图像,如图 1 所示(用不同颜色表 示各函数的图像). 并让学生通过观察来思考下列几个问题. (通过教师和学生之间的对话来进行.) (1)你画出的这几个函数图像中,有没有经过第四象限的?在我们研究的所有幂函数中, 是否存在某个函数,它的图像经过第四象限?学生能正确回答.因为对于一切幂函数,当 x >0 时,总有 y>0.

分为三类?(ii)如果能,那么属于同一类函数的幂指数,有什么共同点? (学生议论,教师引导、归纳小结.) y≥0, 有 y≥0,对于 x<0,则当 q 为奇数时,有 y<0;当 q 为偶数时,有 y>0.所以,当 p 为奇数,q 为奇数时,图像经过一、三两个象限;当 p 为奇数,q 为偶数时,图像经过一、 二两个象限.

0<x<1 时,图像在 y=x 的下方;当 x>1 时,图像在 y=x 的上方.并且能进一步发现, 所画出的几个函数图像,它们之间的位置关系因幂指数的大小不同,按一定的规律排列,其 中任意一个函数的图像总是夹在一个较小幂指数和一个较大幂指数的两个函 由对几个特殊例子的观察所得到的上述想法,能否作为普遍的规律存在呢? (引导学生根据幂的概念和同底数幂大小比较的办法,得到肯定的结论.)

(ii)图像按经过的象限可归纳为三类:当 n 的分子是奇数,而分母是偶数时,图像只经 过第一象限; 当 n 的分子、 分母都是奇数时, 图像经过一、 三两个象限; 当 n 的分子是偶数, 而分母是奇数时,图像经过一、二两个象限.

[将幂函数(n≥1)的上述特征预先写在小黑板上或使用投影仪.] 二、提出新问题

否具有类似的特征? 为了研究这个问题,现提供三种方法,供同学们参考. (1)模仿前面对 n≥1 的幂函数图像的研究方法. (2)类比 n≥1 时的幂函数图像的特征,大胆猜测,并加验证. (3)用直接推理的办法得出结论. (教师巡视,引导和帮助学生解决问题.) 教师在巡视中发现: 多数学生用第二种方法,他们认为,不论 n≥1,还是 0<n<1,共同特点是 n>0,且 在 0<n<1 的有理数 n 中,同样有分子、分母分别为奇数和偶数三种组合情况,可以说, 在 0<n<1 时的幂函数与 n≥1 时的幂函数有类似的情况,因而它们的图像有可能存在某些 共同的特征.经验证,这个猜想是正确的.由此得到,当 0<n<1 时,幂

在 y=x 的下方. 0,且小于 1.经过观察和推测得到与上述相同的结论.

(x>0)互为反函数.它们的图像关于 y=x 对称.而且在分母为奇数的情况下,当分子为 奇数, 幂函数本身的图像关于原点对称; 当分子为偶数, 幂函数本身的图像关于 y 轴对称. 这 些学生超前学习,知识丰富,能力较强,能很快推证出结论. 由于不同层次的学生解决问题所需时间有多少,容易造成课堂气氛松弛的现象.显然, 用第二、 第三种方法来研究问题, 难度较大, 对学生水平要求高, 但解决问题花的时间少. 而 使用第一种方法研究问题的学生,研究过程有法可效,但花的时间要长一些.此时,课堂上 会出现一部分学生没事做,使课堂教学不能同步进行.对此,可采取如下措施:一方面教师 帮助较差的学生解决问题, 另一方面在部分学生已经得到正确结论的基础上, 向他们提出一 个新问题:从上面的研究结果中,你能归纳出当 n>0 时幂函数的图像有哪些共同的性质? 这样, 使班级中不同的学生在不同的层次上得到不同程度的能力训练, 同时也为下一教学过 程的实施做了一些准备. 三、总结

(教师、学生一起进行归纳整理,并由教师在黑板上板书.) (1)图像所在的区域:在图 2 有“红” 、 “蓝”字的范围内,且可归纳为下列三种情况:

(2)图像都通过点(0,0)、(1,1).当 n 的分子、分母都为奇数时,其幂函数图像又都通

过点(-1,-1);当 n 的分子为偶数,分母为奇数时,其幂函数的图像又都通过点(-1,1). (3)图像的变化情况:在第一、三象限内,函数值随 x 的增大而增大;在第二象限内,函 数值随 x 的增大而减小. (4)图像的位置关系:画出的图像,它在坐标系中的位置按幂指数的大小依一定的规律 排列.如图 3. 四、结束语

像和一些性质.希望同学们能注意函数图像及其性质的研究方法,并逐步掌握它,便于 今后学习和研究其他的函数. 五、作业 课本练习:略. 思考题: 它们有哪些共同和不同之处. 六、板书设计

自我评述 这堂课的总体设计图式如下: 上述设计是从以下几个方面考虑的:

y=xn, 的两条性质; (i)图像都通过(0,0), (1,1); (ii)在第一象限内, 函数值随 x 的增大而增大. 这 里, 不仅仅是学习有关幂函数图像和性质的问题, 还包含着怎样教会学生通过观察和思考得 到这一知识的问题.教师在吃透教材,充分把握教材特点的基础上,可以有意识地将新知识 的学习和研究方法渗透到教学过程之中.通过教学过程的设计,将这部分内容适当展开,重 新组合,使知识的传授和能力的培养,有机地结合到一起. 首先,研究特殊推导一般,其过程是分下列步骤进行的: 由于学生刚进高一,分析和归纳的能力不强,通过几个特殊的例子,一下子总结 教学过程时,应考虑学生的实际情况,按教材中内容的安排,将 n>0 的情况分 n≥1 与 0<n<1 两步进行.每步过程增加几个特例,且均具有代表性,便于学生从中进行分 的方法. 其次,当 n≥1 时,设计了三组练习(即教学过程“一”中的学生练习),其中第三 母分别是奇数或偶数的三种组合情况).当 0<n<1,也设计了一组三个练习,代表了

杂一点,但不超出学生所能接受的范围.由于练习具有代表性,又比较全面,学生容易 从所举函数的个性中归纳出共性来,从而在整体上对幂函数的图像和性质有较深刻的了解. (2)利用课堂教学的机会,有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中.课 堂教学不能单纯传授知识,应在传授知识的同时注重培养能力.在上述思想的指导下,每一 教学过程都按下列模式设计: 第一过程由教师组织进行;第二过程在教师的帮助下,由学生组织进行,其中具体素材 由学生自己选取;第三过程是归纳总结 n>0 时幂函数的图像和性质,由教师启发,师生共 同完成;第四过程是作业,由学生独立完成.这一步不仅使学生更好掌握幂函数的图像和性 质,而且又将研究的方法重温了一遍. (3)分层次进行教学,提高课内四十五分钟的利用率.在教学过程进行到第二步时,根 据班级学生的不同水平,在同一段教学时间内分三个不同层次进行,从而做到因材施教.即 在研究 0<n<1 的幂函数图像时,采用由教师提出问题、学生各自研究的方式.教师在教室 内巡视,对不同层次的学生分别给予指导.这一过程的设计,给每个学生都提供了积极活动 的机会,创造了活跃思维的环境,提高了教学时间的利用率.它的实施,要求做到放得开, 收得拢;思考方法不一,却能得到统一的结论.这样的安排,教学的难度是比较大的.这不 仅要求教师要吃透教材,而且要全面了解学生,掌握学生已有知识的程度和学习水平,既把 握他们的共同特点, 又了解各自的个性. 这样就可以事先估计和随时应付课堂上出现的情况, 以保证这一教学任务的圆满完成. (4)整个教学始终体现了变化的观点,渗透了辩证的思想,从而激发了学生的求知欲.例 如:(i)当 n 的分子、分母分别为奇数、偶数三种不同情况时,函数图像所在象限随之不同; (ii)在 n≥1、0<n<1、n<0 的三种不同情况下,函数图像所在的区域随之变化;(iii)当幂指 数在 1 的周围变化到 1 时,函数图像变成直线;当幂指数在 0 的周围变化到 0 时,图像分别 由抛物线、双曲线变为直线[去掉点(0,1)],等等.以上这些,把由幂指数的变化引起幂函 数图像的变化的内部规律展示在学生面前. 同时也活跃了学生的思想, 促进学生思考问题. 例 如, 当幂指数由小于 1, 经过 1 到大于 1 连续变化时, 它相应的图像变化过程学生容易接受. 而 幂指数由小于 0,经过 0 到大于 0 连续变化时,它相应的图像是怎样由双曲线变为直线,再 变为抛物线的,学生会对此产生疑问和研究的兴趣.


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