苏教版--2016年度高一数学用二分法求方程的近似解4_图文

开始 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学点一 学点二 学点三 1.对于在区间[a,b]上连续不间断且f(a)· f(b)<0的 函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的 一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零 区间 点,进而得到零点近似值的方法叫做 二分法 . 2.给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的 步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精 确度ε; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c): 返回 f(c)<0 ①若 f(c)=0 ,则c就是函数的零点;②若 f(a)· , 则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若f(c)· f(b)<0,则 令 a=c (此时零点x0∈(c,b)). |a-b|<ε (4)判断是否达到精确度ε:即若 ,则得到零 点近似值a(或b);否则重复(2)~(4). 3.判断二次函数f(x)在区间[m,n](m<n)上的零点个 数时,通常考虑判别式、对称轴、 端点 ,这一问题 叫 值根的分布问题 . 返回 学点一 用二分法求零点的近似值 求函数f(x)=x3-3的一个正零点(精确到0.01). 【分析】要求函数的一个正零点,首先需要确定正零点 所在的大致区间,然后借助计算器,利用二分法求出零 点近似解. 【解析】由于f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此,可取区间 [1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表. 返回 端点(中点)坐标 计算中点函数值 f(1)=-2<0 f(2)=5>0 取值区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] [1.375,1.5] [1.437 5,1.5] [1.437 5,1.468 75] [1.437 5,1.463 125] [1.437 5,1.445 312 5] x1= x2 ? x3 ? x4 1? 2 2 =1.5 1? 2 ? 1.25 2 1.25 ? 1.5 ? 1.375 2 1.375 ? 1.5 ? ? 1.4375 2 1.4375 ? 1.5 ? 1.46875 2 x5 ? f(x1) =0.375>0 f(x2) =-1.046 0<0 f(x3) =-0.400 4<0 f(x4) =-0.029 5<0 f(x5) =0.168 4>0 f(x6)>0 f(x7)>0 x6 ? 1.4375 ? 1.46875 ? 1.463125 2 x 7 ? 1.4453125 返回 1.437 5 ? 1.445 312 5 2 ∵1.445 312 51.437 5=0.007 812 5<0.01, ∴ 【评析】此类问题的求解,首先是大致区间的 ≈1.44为函数的一 确定要使区间长度小,否则会增加运算次数和 个近似解. 运算量.虽然此类题要求用计算器运算,但也应 注意运算的准确性.另外在计算到第n步时,区 间[an,bn]的长度应小于精确度,此时区间中 a ?b 点 2 才是零点近似解;若|an-bn|<2ε,则区间 a ?b a ?b [ an, ], 和[ ,bn ]的长度都小于ε 2 2 a ?b (且 2 经过四舍五入的近似计算以后,与 零点的真实值误差就会超过ε),所以在计算此 类问题时应注意对精确度的要求. n n n n n n n n 返回 求方程2x3+3x-3=0的一个实数解(精确到0.01). 考查函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号的区 间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间. 经试算,f(0)=-3<0,f(2)=19>0,所以函数f(x)=2x3+3x-3 在[0,2]内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在[0,2]内 有解. 取[0,2]的中点1,经计算,f(1)=2>0,又因为f(0)<0, 所以方程2x3+3x-3=0在[0,1]内有解. 如此下去,得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间的表: 返回 左端点 第1次 0 右端点 2 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 第11次 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.71875 0.734 375 0.742 1875 0.742 1875 0.742 1875 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.746 093 75 0.744 140 675 返回 可以看出区间[0.742 187 5,0.744 140 675]内 的所有值,若精确到0.01,都是0.74,所以0.74 是方程2x3+3x-3=0精确到0.01的实数解. 返回 学点二 二分法的应用 如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸房 到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km 长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个 点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线 杆子. 想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?每查 一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要 把故障可能发生的范围缩小到50 m~100 m左右,即一 两根电线杆附近,要查多少次? 【分析】根据二分法原理求解. 返回 【解析】(1)如图,他首先从中点C查. 用随身带的话机向两端测试时,发现AC 段正常,断定故障在BC段,再到BC段中 点D查,这次发现BD段正常,可见故障在 CD段,再到CD中点E来查,依次查下去 【评析】此方案应该说方便、迅速、准确,而且很科学, 在实际生活中处处有数学,碰到问题时多用数学方法去 思考,会使我们变得更聪明,更具有数学素养. (2)每查一次,可以把待查的线路长度 缩减一半,因此,只要7次就够了. 返回 中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”,主持人李咏给 选手在限定时间内猜某一

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