厦门市2015-2016学年第一学期高二期末质量检测 文科数学

厦门市 2015—2016 学年高二(上)质量检测
数学(文科)试题
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试范围为:《解三角形》、《数列》、《不等 式》、《简易逻辑》、《圆锥曲线》,试卷结构与高考基本一致,本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 2016 年 1 月 26 日(星期二)8:30—10:30,时长 120 分钟. 2. 答题前,考生先将自己的学.校.、班.级.、姓.名.、座.号.、考.场.、考.场.座.位.号.等信息填写在答题卷指定位置. 3. 考生作答时,将答案写在答题卷上. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域 书写的答案无效. 在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 严禁携带计算器、电子存储器、手机等违反数学考试纪律的一切设备进入考场.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
1.已知等差数列{an} 中, a1 ? a4 ? 11, a2 ? 4 ,则 a3 的值是( ▲ ).

A.9 B.8 C.7 D.2
2.已知命题 p:若 a·b=0,则非零向量 a 与 b 的夹角为直角;q:函数 f ?x? ? x2 在其定义域上是减函数.则下

列命题为假.命.题.的是( ▲ ).

A.?p∧q B.p∧?q C. p∨q D.p∨?q

3.与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1有相同的渐近线,且焦点坐标是 (3, 0) 的双曲线方程是( ▲ ).
2

A. y2 ? x2 ? 1 63

B. x2 ? y2 ? 1 63

C. y2 ? x2 ? 1 36

D. x2 ? y2 ? 1 36

4.已知 ?ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,其面积为 3 ,且 a=2, B ? 600 ,则 c 等于( ▲ ).

A.1 B. 3

C.2

D. 2 3

5.若 a ? b, c ? d ,则下列不等式成立的是( ▲ ).

A. a ? b cd

B. ac ? bd

C. a2 ? c2 ? b2 ? d 2

D. a ? d ? b ? c

6.已知 p:x2+2x-3<0; q:1? a ? x ? 1? a ,且 q 是 p 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是( ▲ ).

A.(4,+∞) B.(-∞,0] C.[4,+∞) D.(-∞,0)

答案 C 7. 已知 ?ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 a cosC ? (c ? 2b)cos A ? 0,且 cos A?cos C ? 3 ,则△ABC 是
4 ( ▲ ).

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

8.如图所示,点

P

在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

? b ? 0 )上, F (c, 0) 是椭圆的

B P

A

O

F

右焦点,点 A、B 是椭圆的顶点,若 PF ? x 轴,且 OP ? c ,则椭圆的离心率是( ▲ ). AB a

A. 1 2

B. 2 2

C. 1 3

D. 3 3

?x ? y ? 0,

9.已知

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

2, 若 z ? ?ax ?

y 的最小值为 ?2 ,则 a 等于(



).

?? y ? 2.

A.3 B.2 C. ?2 D. ?3 10.关于 x 的不等式 x2 ? m x ?1 ? 0 在 x ? 0 上恒成立,且关于 t 的不等式 t2 ? 2t ? m ? 0 有解,则实数 m 的取
值范围是( ▲ ).

A.[1, ??) B.[?2,1] C. (??, ?2]?[1, ??) D. (??, ?2]?[2, ??)

11.已知数列{an}中, a1 ?1,(n ?1)an?1 ? 2(a1 ? a2 ? ? an )(n ? N*) ,则数列{an } 的 通项公式是( ▲ ).

A.

an

?

n ?1 3

? 1, n ? 1,

B.

an

?

? ?n ??

? 4

2

,

n ? 2.

C. an

?

n ?1 2

? 1, n ? 1,

D.

an

?

?

? ??

n

? 3

1,

n ? 2.

12.如图所示,过点(1,0)的直线与抛物线 y2 ? x 交于 A、B 两点,射线 OA 和 OB 分别和圆

(x ? 2)2 ? y2 ? 4 交于 D、E 两点,若 S?OAB ? ? ,则 ? 的最小值等于( ▲ ). S?ODE

A. 1 2

B. 1 3

C. 1 4

D. 1 5

D A
O B E

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
13.命题“ ?x0 ? R, 2x0 ? x0 ? 1.”的否定是 ▲ .
14.已知直线 l 与双曲线 C: x2 ? y2 ? 1交于 A,B 两点,且 AB 的中点为(2,1),则直线 l 的方程是 ▲ . 4
15.已知单调递增数列?an ?满足 an ? 3n ? ? ? 2n (其中 ? 为常数, n ? N* ),则实数 ? 的取值范围 ▲ .
16.某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道”(如图,分别是线段 AD 和 CE),并在这两条“健 E D 康石道”两端之间建设“花卉长廊”(线段 AC 和 ED),以供市民休闲健身.已铺设好的部分 BD=20m, B

ED=10 6 m, ?BED ? 450 ( ?BED 为锐角三角形).由于设计要求,未铺设好的部分 AB 和 BC

A

C

的总长只能为 40m,则剩余的“花卉长廊”( 线段 AC)最短可以是 ▲ m.
三、解答题:本大题共6小题,每小题分数见旁注,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答 题卷相应题目的答题区域内作答.
17.(本小题满分 10 分)
已知等比数列{an} ( n ? 1, 2,3 )满足 a3 ? 4,a6 ? 32 .
(Ⅰ)求{an} 的通项公式; (Ⅱ)设等差数列{bn} 满足 b2 ?1 , b4 ? a1 ? a3 ,求数列{an ? bn} 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 12 分)

已知 ?ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c , 且 c ?sin C=(a ? 3b) ?sinA+(b- 3a ) ?sin B .

2

2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC的周长.

19.(本小题满分 12 分)
动圆 M 过定点(3,0),且与直线 x ? ?3 相切.设圆心 M 的轨迹为 C.
(Ⅰ)求 C 的方程;
(Ⅱ)若过点 P(6,0)的直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点,且 AP ? 2PB ,求直线 l 的方程.

20.(本小题满分 12 分)

在数列?an? ( n ? 1, 2,3 )中, a1 ? 4 ,且 3, an , an?1 成等差数列.
(Ⅰ)设 bn ? an ? 3 ,证明:数列{bn} 是等比数列;

(Ⅱ)设 cn

?

log2 (2an

? 6)

,记数列

? ? ?

c2n

1 c?1 2n?1

? ? ?

的前

n

项和是 Tn

,证明: Tn

?

1 2

.

21.(本小题满分 12 分) 2015 年 11 月 30 日,习近平主席在巴黎气候大会的讲话中宣布:“中国将于明年启动在发展中国家开展 10
个低碳示范区,100 个减缓和适应气候变化项目及 1000 个应对气候变化培训名额的合作项目.” 某企业在国家科研部门的支持下,计划在 A 国启动减缓气候变化项目,重点进行技术攻关,将采用新工艺,
把细颗粒物(PM 2.5)转化为一种可利用的化工产品.已知该企业处理成本 P(x) (亿元)与处理量 x(万吨)

之间的函数关系可近似地表示为

P(x)

?

? x2 ???16

?

x 4

,0 ? x ? 10, ,且技术人员的培训费为 2500 万元,试验区基

? ??

x

?

4 x

?

33 , x 20

? 10.

建费为 1 亿元.

(Ⅰ)当 0 ? x ?10 时,若计划在 A 国投入的总成本不超过 5 亿元,则该工艺处理量 x 的取值范围是多少?

(Ⅱ)该企业处理量为多少万吨时,才能使每万吨的平均成本最低,最低是多少亿元?

附:投入的总成本=处理成本 P(x) +技术人员的培训费+试验区基建费;平均成本= 投入的总成本
处理量

22.(本小题满分 12 分)

设点 A1(?

2,0) 和点 A2(

2,0) ,直线

A1M



A2 M

相交于点

M,且它们的斜率之积是 ?

1 2

.设点

M

的轨迹为

C,过点 F(1, 0) 作直线 l 交 C 于 P、Q 两点.

(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程;

(Ⅱ)求 PQ 的最小值;

(Ⅲ)是否存在定点 N,使得以线段 PQ 为直径的圆过该定点.若存在,求出定点 N 的坐标;若不存在,请说明 理由.


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