高中数学必修四人教版2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角3ppt课件_图文

平面向量的数量积 a b cos ? 1)a ? b ? _________ a ? _______ a?a a 特殊: a ? a ? _______ a?b 2)a ? b ? a ? b ? 0 cos ? ? 2 a b 错(结合律) 3)运算律: ?1? a ? b ? b ? a ? a ? b ? c ? a ?b ? c ? ? 2 ? ? ? a ? ? b=? ? a ? b ? ? a ? ? ? b ? ? 3? ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c a ? b ? b ? c ? a ? c 错(消去律) 探究(一):平面向量数量积的坐标表示 思考1:设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位 向量,若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a与b用i、j 分别如何表示? a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 思考2:对于上述向量i、j,则i2,j2,i· j分别等于什么? i2=1,j2=1,i· j=0. 思考3:根据数量积的运算性质,a· b等于什么? a· b = x 1 x 2 + y1 y2 平面向量数量积的坐标表示 : 设两个非零向量 =(x1a ,y1), =(x2,y2),则 b a· b = x 1 x 2 + y1 y2 两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积的和. 思考4:如何利用数量积的坐标表示证明 (a+b)· c=a· c+b· c? 思考5:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则x1,y1,x2, y2之间的关系如何?反之成立吗? a⊥ b x 1 x 2 + y1 y2 = 0 . ? 探究(二):向量的模和夹角的坐标表示 思考1:设向量a=(x,y),利用数量积的坐标表示,︱a︱等于什么 ︱a︱ = x + y 2 2 思考2:如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1, y1), (x2,y2),那么向量a的坐标如何表示?︱a︱等于什么? a = ( x 2 - x 1 , y 2 - y1 ) ; ︱a︱= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) 2 2 思考3:设a、b是两个非零向量,其夹角为θ ,若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么cosθ 如何用坐标表示? a?b cos ? ? ? a b x1 x 2 ? y1 y2 x1 ? y1 2 2 x2 ? y2 2 2 题型(一):向量数量积、模及夹角的坐标运算 例1: 已知向量 a=(4,3),b=(-2,1). (1)求|a|,|b|; (2)求 a· b 的值; (a-b)的值. (3)求(a+2b)· 解析:(1)|a|= 42+32=5;|b|= ?-2?2+12= 5. (-2,1)=-8+3=-5. (2)a· b=(4,3)· (3)解法一:∵a+2b=(0,5),a-b=(6,2), (a-b)=(0,5)· (6,2)=10. ∴(a+2b)· (a-b)=a2+a· 解法二:(a+2b)· b-2b2 =25-5-10=10. 练习1.已知向量a=(4,3),b=(-2,1), (1)求向量a+b与a-b的夹角θ; (2)若向量a-λb与2a+b垂直,求λ的值. 解析:(1)∵a+b=(2,4),a-b=(6,2), ∴|a+b|=2 5,|a-b|=2 10, (2,4)· (6,2) 2 cos θ= = , 2 2 5×2 10 ∴θ=45° . 题型(二):根据向量间的关系求向量的坐标 例2 (1)已知 =(4a ,3),向量 是垂直 b 于 a 的单位向量,求 . b (2)已知a ? 10, b ? (1,2),且a // b ,求a 的坐标 . 3? (3 )已知a ? (3,0), b ? ( k ,5),且a与b 的夹角为 , 4 求k的值. 3 4 3 4 答案:( 1 ) b ? ( ,? )或b ? (? , ). 5 5 5 5 (2)( 2, 2 2)或( ? 2, ? 2 2);(3 )k ? ?5. 题型(三):向量的综合应用 例3 .如下图所示,以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰 直角△AOB,使∠B=90°,求点B的坐标和 . 解:设B点坐标(x, y), 则 OB = (x, y), = (x ?4, y?2) AB 由 ? ?OB ? AB ? ? ?| OB |?| AB | ? x ( x ? 4) ? y ( y ? 2) ? 0 ? 2 2 2 2 x ? y ? ( x ? 4 ) ? ( y ? 2 ) ? AB 得 ? x1 ? 1 ? x 2 ? 3 ? x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 0 ?? ?? 或? ?2 x ? y ? 5 ? y1 ? 3 ? y 2 ? ?1 ∴B点坐标 或 (1 ,3) ( 3,?1) ; = AB 或 ( ?3,1) ( ?1,?3) 练习.已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),t∈R. 求|a+tb|的最小值及相应的 t 值. 解:∵a=(-3,2),b=(2,1), ∴|a+tb|= ?-3+2t?2+?2+t? 2 4 2 49 2 = 5t -8t+13= 5? t - ? + 5 5 49 7 5 ≥ = , 5 5 4 当且仅当 t= 时取等号. 5 7 5 4 即|a+tb|的最小值为 时 t= . 5 5 平面向量应用举例 例: 用向量方法证明:直径所对的圆周角是直角. → → 1.平面几何问题转化为向 分析:通过证明BA· CA=0. 量问题 解析:证明:如图所示, → → → → → → BA· CA=(BO+OA)· OA -OC , 2. 向量运算 → → → = → , ∵BO=OC且 OA

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