概率论模拟试卷及参考答案

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复习资料之期末试卷系列

概率论与数理统计模拟试卷
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1. 设随机事件 A 与 B 互不相容,且 P(A)>P(B)>0,则 A. P(A)=1-P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) B. C.P(A∪B)=1 D. P(AB )= 1 2.设 A,B 为随机事件,P(B)>0,P(A|B)=1,则必有 A. P(A∪B)=P(A) B. A ? B B. C.P(A)=P(B) D.P(AB)=P(A) 3.将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为 A. 2
4
2 2

B. C 2
C
2 4

1

C. 2!
A
2 4

D. 2!
4!

4.某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为 3/4,他连续射击直到命中为止,则射击 次数为 3 的概率是 3 2 1 1 2 3 3 3 2 1 2 A. B. C. D. C( ( ) ( ) ? ( ) ? ) 4 4 4 4 4 4 4 5.已知随机变量 X 的概率密度为 fx(x),令 Y=-2X,则 Y 的概率密度 f Y (y)为 A. 2fx(-2y) 6.如果函数 B. fx(- y )
2

C. - 1 fx(- y )
2 2

D. 1 fx(- y )
2 2

f(x) ?

?

x,a?x?b 0, x?a或x ?b

是某连续随机变量 X 的概率密度,则区间[a,b]可以是 A.[0,1] B.[0.2] C.[ 0,2 ] 7.下列各函数中是随机变量分布函数的为 A. F1 (x) ?
1 ,-? ? x ? ?? 1? x2

D.[1,2]

? ?0 B. F2 (x) ? ? 0,x x ? , x ?0 ? 1? x
C. F3 (x) ? e -x ,-? ? x ? ??

3 1 ? arctgx,- ? ? x ? ?? 4 2? 8.设二维随机向量(X,Y)的联合分布列为
D. F4 (x) ?

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Y X 0 1 2 0 1 2

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1 12 1 12 2 12

2 12 1 12 1 12

2 12
0

2 12

则 P{X=0}= A. 1/12 B.2/12 C.4/12 D.5/12 9.已知随机变量 X 和 Y 相互独立, 且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布, 则E (XY) = A. 3 B.6 C.10 D.12 10.设φ (x)为标准正态分布函数,

Xi ?

?

1,事件A发生; 0,事件A不发生;

 i ? 1,2,?,100,且 P(A)=0.8,X1,X2,…,X100 相互独立。令

Y ? ? X i ,则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F(y)近似于
i ?1

100

A. φ (y)

B. ?( y - 80 )
4

C. ? (16y? 80)

D. ? (4y ? 80)

二、填空题(本大题共 15 分,每空 2 分,共 30 分) 不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 11.一口袋中装有 3 只红球,今从中任意取出 2 只球,则这 2 只球恰为一红一黑的概率是 _________________。 12.设 P(A)=

1 2 ,P(B|A)= ,则 P(AB)=_______________________。 2 5

13.已知随机变量 X 的分布列为 X P 1 2a 2 0.1 3 0.3 4 a 5 0.3

则常数 a=_______________________________。 14.设随机变量 X~N(0,1) ,φ (x)为其分布函数,则φ (x)+φ (-x)=____________。 15.已知连续型随机变量 X 的分布函数为

? 1 e x , x ?0; F(x) ? ? 3 (x ?1),0 ? x ? 2; ?1 2 x ?2 ? 1,
设 X 概率密度为 f(x),则当 x<0 时,f(x)=__________________________。

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16.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 P{X≤1}=

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1 1 ,P{Y≤1}= ,则 P{X≤1,Y 2 3

≤1}=_______________________。 17.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,则 E(X?)=__________________。 18. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ?

1 2x

e

-

x2 2

(X+1) =____________。 ,  - ? ? x ? ??, 则 E

19.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=1,D(Y)=2,则 D(X-Y)=_________________。 1 1 20. 设随机变量 X~U[0,1], 由切比雪夫不等式可得 P{|X- |≥ }≤__________________。 2 3 21.设样本的频数分布为 X 频数 0 1 1 3 2 2 3 1 4 2

则样本方差 s 2 =_____________________。 22.设总体 X~N(μ ,σ ?) ,X1,X2,…,Xn 为来自总体 X 的样本, X 为样本均值,则 D ( X )=________________________。 23.设总体 X 服从正态分布 N(μ ,σ ?) ,其中μ 未知,X1,X2,…,Xn 为其样本。若假 设检验问题为 H 0:? 2= 1 ? H1:? 2 ? 1,则采用的检验统计量应________________。 24.设某个假设检验问题的拒绝域为 W,且当原假设 H0 成立时,样本值(x1,x2, …,xn)落 入 W 的概率为 0.15,则犯第一类错误的概率为_____________________。 25. 设样本 X1, X2, …, Xn 来自正态总体 N (μ , 1) , 假设检验问题为: H 0:?=0 ? H1:? ? 0, 则在 H0 成立的条件下,对显著水平α ,拒绝域 W 应为______________________。 三、证明题(共 8 分) 26.设 A,B 为两个随机事件,0<P(B)<1,且 P(A|B)=P(A| B ) ,证明事件 A 与 B 相互独立。 四、计算题(共 8 分)

cx? , 0? x ?1; 27.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 0,   其它。
求常数 c 和α 。 五、综合题(本大题共两小题,每小题 12 分,共 24 分)

?

且 E(X)=0.75,

28.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=

?

e-y , 0 ? x ? y; 0,   其它。

(1)求(X,Y)分别关于 X 和 Y 的边缘概率密度 fx(x),fy(y); (2)判断 X 与 Y 是否相互独立,并说明理由; (3)计算 P{X+Y≤1} 。

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2

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29. 设随机变量 X1 与 X2 相互独立, 且 X1-N (μ , σ ) , X2-N (μ , σ ) 。 令 X=X1+X2, Y=X1-X2. 求: (1)D(X) ,D(Y) ; (2)X 与 Y 的相关系数Ρ XY。 六、应用题(共 10 分) 30.某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:cm)
2 后算得 x =175.9, y =172.0;s1 ? 11.3,s 2 2 ? 9.1 。假设两市新生身高分别服从正态

分布 X-N(μ 1,σ ),Y-N(μ 2,σ )其中σ 未知。试求μ 1-μ 2 的置信度为 0.95 的置 信区间。 (t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010)

2

2

2

参考答案
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.B 二、填空题(本大题共 15 分,每空 2 分,共 30 分 11.0.6 12. 8.D 15. e 9.A
x

10.B

1 5

13.0.1

14.1

1 3

16.

1 6

17.6
n

18.1

19.3

20.

1 4

21.2

22.

?2 n

23.(n-1)s2 或

? (x
i ?1

i

- x) 2

24.0.15

? ? 25. ?| u |? u ? ? ,其中 u ? x n 2 ? ?

三、证明题(共 8 分) 26.证法一:由题设及条件概率定义得

P(AB) P(A B ) , = P(B) P(B)
又 P(AB , )=P(A-B)=P(A)-P(AB) 由以上二式可得 P(AB)=P(A)P(B), 故 A 与 B 相互独立。 证法二:由全概率公式得 P(A)=P(B)P(A|B)+P( B )P(A| B ) =[P(B)+P ( B )]P(A|B) (由题设) =P(A|B) , 则 P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B) , 故 A 与 B 相互独立。 四、计算题(共 8 分) 27.解:由

(2 分)

(4 分) (8 分)

(4 分)

(6 分) (8 分)

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? ?0 cx? dx ?1, (2 分) ? 1 cx? ?1dx ? 0.75( , 4 分) ? ?0
1

可得

(5 分) ? ? c?1 ?1,   ? c ? 0.75( ? ? ? 2 , 6 分)
解得α =2,以=3。 (8 分) 五、综合题(本大题共两小题,每小题 12 分,共 24 分) 28.解: (1)边缘概率密度为

? ? x e-y dy ?e-x , x ?0; f x (x) ? ? f(x,y)dy ? ? -? x ? 0, ? 0,
??
??

(3 分)

? ? 0 e- ydx ? ye- y ,y?0; f x (y) ? ? f(x,y)dx ? ? -? y?0, ? 0,
??
y

(6 分) (8 分) (10 分)

(2)由于 f (x,y)≠fx (x)·fY(y),故 X 与 Y 不独立。 (3)P{X+Y≤1}=
x ? y ?1

?? f(x, y)dxdy
1 2 0

=

?

dx ? e - y dy
x

1- x

= 1 ? e - 2e 2 .
-1

-

1

(12 分)
2

29.解:D(X)=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=2σ , 2 D(Y)=D(X1-X2)=D(X1)+D(X2)=2σ , Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2 =E( X1 )-E( X 2 )-[E(X1)+E(X2)] ·[E(X1)-E(X2) 2 =D(X1)-D(X2)=0 则 ? XY ?
Cov(X,Y) C(X) D(Y) ?0.

(2 分) (5 分) (8 分) (10 分) (12 分)

六、应用题(共 10 分) 30.解:这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知,
2 n 1 ? 5, n 2 ? 6, x ? 175.9, y ? 172 ,s1 ? 11.3,s 2 ,? ? 0.05. 2 ? 9.1

sw ?

2 (n1 - 1)s1 ? (n 2 - 1)s2 2 n1 ? n 2 - 2

(2 分)

=3.1746,

(4 分)

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选取 t0.025(9)=2.2622, 则 ?1-? 2 置信度为 0.95 的置信区间为:

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? 1 1 1 1 ? ? , x - y ? t ? (n1 ? n 2 - 2)sw ? ? x - y - t ? (n1 ? n 2 - 2)sw ? (8 分) n1 n 2 n1 n 2 ? 2 2 ?
=[-0.4484,8.2484]. 注:置信区间写为开区间者不扣分。 (10 分)


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