高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示1.1.1.2集合的表示课件新人教A必修1_图文

【课标要求】 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.

|新知预习| 知识点一 列举法 把集合中的元素一一列举出来,并用大括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法.例如,方程(x+1)(x-1)=0 的解集可 以表示为{-1,1}. 知识点二 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体 方法: 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变 化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共 同特征.

【化解疑难】 1.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们 一一列举出来,可以将集合中元素的共同特征描述出来,即采用描 述法. 2.描述法的一般形式 它的一般形式为{x∈A|p(x)}, 其中的 x 表示集合中的代表元素, A 指的是元素的取值范围;p(x)则是表示这个集合中元素的共同特 征,其中“|”将代表元素与其特征分隔开来. 一般来说集合元素 x 的取值范围 A 需写明确,但若从上下文的 关系看,x∈A 是明确的,则 x∈A 可以省略,只写元素 x.

|自我尝试| 1. 下列各组集合,表示相等集合的是( ) ①M = {(3,2)} , N = {(2,3)} ;②M = {3,2} , N = {2,3} ;③M = {(1,2)},N={1,2}. A.① B.② C.③ D.以上都不对 【解析】 ①M 表示点(3,2),N 表示点(2,3);②由元素的无序 性知是相等集合;③M 表示一个元素点(1,2),N 表示两个元素分别 为 1,2. 【答案】 B

2.下列集合的表示方法正确的是( ) A. 第二、 四象限内的点集可表示为{(x, y)|xy≤0, x∈R, y∈R} B.不等式 x-1<4 的解集为{x<5} C.{全体整数} D.实数集可表示为 R 【解析】 选项 A 中应是 xy<0;选项 B 的本意是想用描述法 表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表 元素 x;选项 C 的“{}”与“全体”意思重复. 【答案】 D

3.下列表述正确的是( ) A.{0}=? B.{1,2}={2,1} C.{?}=? D.0?N

【解析】 ?中不含有任何元素,N 中包含 0. 【答案】 B

4 . 集 合 {x∈N|2x - 5<0} 中 所 有 元 素 的 和 为 _________________________________________________.

5 【解析】 由 2x-5<0 得 x<2, ∵x∈N, ∴x=0,1,2, ∴元素之和为 3. 【答案】 3

类型一 列举法表示集合 [例 1] 用列举法表示下列给定的集合: (1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A; (2)方程 x2-9=0 的实数根组成的集合 B; (3)小于 8 的质数组成的集合 C; (4)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图像的交点组成的集合 D.

【解析】 (1)大于 1 且小于 6 的整数包括 2,3,4,5, ∴A={2,3,4,5}. 2 (2)方程 x -9=0 的实数根为-3,3, ∴B={-3,3}. (3)小于 8 的质数有 2,3,5,7, ∴C={2,3,5,7}. ? ? ?y=x+3, ?x=1, (4)由? 得? ? ? ?y=-2x+6, ?y=4, ∴一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的交点为(1,4), ∴D={(1,4)}.

方法归纳 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. (3)用大括号括起来. [注意] 用列举法表示集合,要求元素不重复、不遗漏.

跟踪训练 1 用列举法表示下列集合: (1)不大于 10 的非负偶数集; |a | b (2)由 a +|b|(a,b∈R)所确定的实数集合; ? ?x-y=2 (3)求方程组? 的解集. ? ?2x+y=1

【解析】 (1)∵不大于 10 是小于或等于 10;非负是大于或等 于 0 的意思,∴不大于 10 的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. |a| b (2)关键是根据绝对值的意义化简,设 x= a +|b|,当 a>0,b>0 时,x=2;当 a<0,b<0 时,x=-2;当 a,b 异号时,x=0,故用 列举法表示为{-2,0,2}. ? ? ?x=1 ?x-y=2 (3)解方程组? 得 ? ? ? ?2x+y=1, ??y=-1. 故此方程组的解集为{(1,-1)}.

? 类型二 描述法表示集合 [例 2] 用描述法表示下列集合,并指明是有限集还是无限集. (1)大于 5 小于 10 的所有有理数组成的集合; (2)被 3 除余 2 的正整数组成的集合; 2 (3)反比例函数 y= 的自变量的值组成的集合; x-1 (4)三角形的全体组成的集合.

【解析】 (1)设元素为 x, 则大于 5 小于 10 的有理数为 5<x<10 且 x∈Q,组成的集合用描述法可表示为{x∈Q|5<x<10};无限集. (2)设元素为 x,则 x=3k+2,k∈N+,因此用描述法表示集合 为{x|x=3k+2,k∈N+};无限集. 2 (3)函数 y= 的自变量应满足 x≠1,组成的集合用描述法可 x-1 表示为{x∈R|x≠1};无限集. (4)设元素为 x,则用描述法表示为{x|x 是三角形};无限集.

方法归纳 描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征. (2)给出其满足的性质. (3)根据描述法的形式写出其满足的集合.

跟踪训练 2 用描述法表示下列集合: ?1 1 1 ? (1)?2,4,6,??; ? ? (2)被 5 除余 1 的正整数组成的集合; (3)坐标平面内坐标轴上的点集.

【解析】
? ? ? 1 ?x?x= ,n∈N* 2n ? ? ? ? ? ?. ? ?

(1) 集 合

?1 1 1 ? ? , , ,?? ?2 4 6 ?

用描述法表示为

(2)根据被除数=商×除数+余数, 故此集合可表示为{x|x=5n+1,n∈N}. (3)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为 0, ? 故可表示为{(x,y)? ?xy=0,x∈R,y∈R }.

类型三 集合表示法的选择 [例 3] 用适当的方法表示下列集合: (1)方程组 x+y=2,?3x+2y=5 的解集; (2)100 以内被 3 除余 1 的正整数; (3)到两坐标轴距离相等的点的集合; (4)所有的正方形.
? ? ? ? ?

方法归纳 用描述法表示集合时,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点 集还是其他类型的集合.一般地,数集用一个字母代表其元素,而 点集则用一个有序数对来表示.若描述部分出现表示元素的符号以 外的字母,则要对新字母说明其含义并指出其取值范围,如本例中 的(2). 对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明 显规律的集合,可采用列举法.应用列举法时要注意:元素之间用 “,”隔开,而不是用“、”,元素不能重复,不考虑元素顺序.

跟踪训练 3 用适当的方法表示下列集合,并判断是有限集, 还是无限集. (1)由大于 5,且小于 9 的所有自然数组成的集合; (2)被 5 除余 2 的所有正整数组成的集合; (3)不等式 2x+3≥0 的解组成的集合; 2 (4)抛物线 y=x 上的所有点组成的集合.

【解析】 (1){6,7,8}.有限集 (2){x|x=5n+2,n∈N}.无限集 (3){x|2x+3≥0}.无限集 (4){(x,y)|y=x2}.无限集

|素养提升| 1.表示集合的要求:(1)根据要表示的集合元素的特点,选择 适当方法表示集合,一般要符合最简原则. (2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述 法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集 合.

2.在用描述法表示集合时应注意:(1)弄清元素所具有的形式 (即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他 形式.如例 2(1)(2)中元素是数,而(3)中元素是点.(2)元素具有怎 样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要 去伪存真,而不能被表面的字母的形式迷惑.

|巩固提升| 1.若 A={-2,2,3,4},B={x|x=t ,t∈A},用列举法表示集合 B 为________.
2

【解析】 由题意可知集合 B 是由 A 中元素的平方构成的,故 B={4,9,16}. 【答案】 {4,9,16}

2.已知集合 A={x|x2+px+q=0}={2},则 p+q=________.

【解析】

? ?4+2p+q=0 由? 2 ? ?p -4q=0

? ?p=-4 得:? ? ?q=4,

∴p+q=0. 【答案】 0

3.已知集合 A={2,3,4,6},若 a∈A,6-a∈A,则 a=________.

【解析】 a=2,6-a=4,a=3,6-a=3,a=4,6-a=2. 【答案】 2,3,4


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