江苏省江阴市2017-2018学年第二学期高三数学开学检测试题

一、填空题 1.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为 答案: . 2 解答: 因为 z ? 2i ? ?1 ? i ,所以 z ? 2 .(本题可由 1 ? i ? z ? 2i ,解得 z ? 2 ) 1? i 1 ? 2x sin( ? ) 的最小正周期为 2 4 3 . 2.函数 y ? 答案: 3? 解答: 因为 ? ? 2 ,所以 T ? 3? . 3 条. 3.过点 P(2,1) 且与圆 x2 ? y 2 ? 4 相切的直线有 答案: 2 解答: 可以判断点 P 在圆外,因此,过这点与圆相切的直线有两条. 4.若 lg 2 , lg(2 ?1) , lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于 x x . 答案: log2 5 解答: lg 2 ? lg(2x ? 3) ? 2lg(2x ?1) , 2(2x ? 3) ? (2x ?1)2 , (2x )2 ? 4 ? 2x ? 5 ? 0 , 2 x ? 5 , x ? log2 5 . 5.若 x ? 0 , y ? 0 ,且 log3 x ? log3 y ? 2 ,则 答案: 1 1 ? 的最小值是 x y . 2 3 解答: 由 log3 x ? log3 y ? 2 ,得 x ? y ? 9 ,所以 1 1 1 1 2 ? ?2 ? ? . x y x y 3 . 6.若圆锥的底面半径为 1 ,高为 2 ,则圆锥的侧面积为 答案: 5? 解答: 因为母线长为 5 ,所以圆锥的侧面积为 5? . 7.已知 f ( x) ? ? 答案: ?2 x ? 3, x ? 0 ? g ( x), x ? 0 是奇函数,则 f ( g (?2)) ? . 1 解答: x 因为 f ( x ) 为奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 3 , 所以 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ? ?(2 ?x ? 3) , 所以 g (?2) ? ?1 ,所以 f ( g (?2)) ? f (?1) ? ? f (1) ? 1 . (本题可由 f ( g (?2)) ? f ( f (?2)) ? ? f ( f (2)) ? ? f (1) ? 1 求得) 8.在 ?ABC 中,已知 AB ? 3 , C ? 答案: ? 3 ,则 CA ? CB 的最大值为 ??? ? ??? ? . 3 2 解答: ??? ? ??? ? 1 ? CA ? CB ? ba cos C ? ab ,由余弦定理得: 3 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? 2ab ? ab ? ab ,所以 2 3 ??? ? ??? ? 3 CA ? CB ? ,当且仅当 a ? b 时取等号. 2 9.若函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ln x ,则不等式 f ( x) ? ?e 的解集 为 答案: . (??, ?e) 解答: 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ln x , f ?( x) ? ln x ? 1 . 当 f ?( x) ? 0 时, x ? 1 1 1 ,即 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增, e e e 1 . e 1 e 1 e 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最小值为 ? 又因为 f ( x ) 为奇函数,所以 f ( x ) 在 (? , 0) 上单调递减,在 (??, ? ) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上的最大值为 1 , e 1 1 e e 1 e 即 f ( x ) 在 (??, ? ) 上单调递增,在 (? , ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增, 所以 f ( x) ? ?e 在 (? , ??) 上无解. 又 f (?e) ? ? f (e) ? ?e ,所以 f ( x) ? ?e 的解集为 (??, ?e) . 10.若椭圆 1 e 1 e 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线,切点分别为 A 、 B ,直 2 2 a b . 线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 答案: x2 y 2 ? ?1 5 4 解答: 由题可设斜率存在的切线的方程为 y ? 即 2kx ? 2 y ? 2k ? 1 ? 0 ,由 2 2 1 ? k ( x ? 1) ( k 为切线的斜率), 2 ?2k ? 1 3 ? 1 ,解得 k ? ? , 4 4k 2 ? 4 所以圆 x ? y ? 1的一条切线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 , 求得切点 A( , ) ,易知另一切点 B(1, 0) , 则直线 AB 的方程为 y ? ?2 x ? 2 . 令 y ? 0 得右焦点为 (1, 0) ,令 x ? 0 得上顶点为 (0, 2) .∴ a ? b ? c ? 5 , 2 2 2 3 4 5 5 故得所求椭圆方程为 x2 y 2 ? ? 1. 5 4 cos A ? 3cos C 3c ? a sin C ? ,则 cos B b sin A 11. 在 ?ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,已知 的值为 答案: . 3 解答: 由正弦定理 a b c cos A ? 3cos C 3c ? a 3sin C ? sin A ? ? ? ? ,得 , sin A sin B sin C cos B b sin B 即 (cos A ? 3cos C )sin B ? (3sin C ? sin A) cos B ,化简可得, sin( A ? B) ? 3

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