高三文科数学试题及答案


高三 1 学期期末考试 数学试卷(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.请把答案直接涂在答题 卡 相应位置上 . .. . .....
1. 已知集合 A ? {?1,1}, B ? {x ? R |1 ? 2x ? 4}, 则 A ? B ? A. [0, 2) B.{ 1 } C. {?1,1} D. {0,1} ( ) ( )

2. 下列命题中错误的是 A.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? 1 ,那么直线 l ? 平面 ? D.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ?

3. 已知 {an } 为等差数列, 其公差为 ?2 , 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,S n 为 {an } 的前 n 项和,

n ? N * ,则 S10 的值为
A. ?110 B. ?90 C. 90 D. 110





4. 若实数 a, b 满足 a ? 0, b ? 0 , 且 ab ? 0 , 则称 a 与 b 互补, 记 ? (a, b) ? a 2 ? b2 ? a ? b , 那么 ? (a, b) ? 0 是 a 与 b 互补的 ( ) A.充分非必要条件 C.充要条件 5. B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ( )

若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是 A. a ? b ? 2ab
2 2

B. a ? b ? 2 ab D.

C.

1 1 2 ? ? a b ab

b a ? ?2 a b

?0 ? x ? 2 ? 6. 已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定。若 M ( x, y ) 为 D ? ? x ? 2y
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上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为 A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2

???? ? ??? ?





7.函数 f ( x ) 在定义域 R 内可导, 若 f ( x) ? f (2 ? x) , 且当 x ? (??,1) 时, ( x ?1) f / ( x) ? 0 , 设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3) ,则 A. a ? b ? c 8. y ? sin(2 x ? B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? c ? a

1 2





?
3

) 的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点 ( ?
B.向左平移

?
12

, 0) 中心对称 (



? 个单位 12 ? C.向右平移 个单位 12
A.向左平移

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6
1 2
x

9. 已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) ? 1 ,则 f ( x ) 的反函数的图像大 致是 ( )

10. 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互 不相同的概率为 ( ) A.

5 21

B.

2 7

C.

1 3

D.

8 21

11.已知 F 1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆

???? ???? ? 2 x2 y 2 P ? ? 1 的两个焦点, 为椭圆上一点且 PF ? PF 1 2 ?c , a 2 b2
( C. [ )

则此椭圆的离心率的取值范围是 A. [

3 ,1] 3

B. [ , ]

1 1 3 2

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

12. 已知球的直径 SC= 4,A,B 是该球球面上的两点, AB ? 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30? , 则棱锥 S-ABC 的体积为
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A.19

B. 3

C. 2 3

D. 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题 卡 相应 .. . .. 位置上 . ... ? ? ? ? ? ? ? ? 13. 已知 | a |?| b |? 2 , (a ? 2b)(a ? b) ? ?2 ,则 a 与 b 的夹角为 1 ? cos 2? 14. 已知 sin ? ? ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 的值为 ? 2 2 sin(? ? ) 4

. .

15.若一个圆的圆心在抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点处,且此圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切,则这个圆 的标准方程是 . 16.函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1, x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单 函数.例如,函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x2 ( x ? R) 是单函数; ③若 f:A ?B 为单函数,则对于任意 b ? B,它至多有一个原象; ④函数 f ( x) 在某区间上具有单调性,则 f ( x) 一定是该区间上的单函数. 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号) ②若 f ( x) 为单函数, x1, x2 ? A 且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程.
17 . (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 ,

tan

A? B C ? tan ? 4, 2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c . 2 2

18. (本小题满分 12 分)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都是 4, E 是 BC 的 中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (I)当 CF ? 1 时,求证: EF ? AC 1 ; (II)设二面角 C ? AF ? E 的大小为 ? ,求 tan ? 的最小值.

19. (本小题满分 12 分)某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同,假 定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1 , 寿命为 2 年以上的概率为 p2 ,从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏 的灯泡,平时不换.
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(I)在第一次灯泡更换工作中,求不需要更换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (II) )在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率; (Ⅲ)当 p1 ? 0.8, p2 ? 0.3 时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换 4 只灯泡的概率 (结果只保留两个有效数字). 20. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc ,其导函数 f ?( x) . 3

(Ⅰ)如果函数 f ( x)在x=1处有极值- , 试确定 b、c 的值; (Ⅱ) 设当 x ? (0,1) 时, 函数 y ? f ( x) ? c( x ? b) 图象上任一点 P 处的切线斜率为 k, 若 k ? 1, 求实数 b 的取值范围.

4 3

21. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 Sn ? 2an ? n ,且 bn ? 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . (I)求证: {an ? 1 } 为等比数列; (Ⅱ)求 Tn . 22. (本小题满分 12 分)P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 是双曲线 E :

an ? 1 , an an ?1

x2 y2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 上一点, a 2 b2

1 M 、 N 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM 、 PN 的斜率之积为 . 5
(I)求双曲线的离心率; (II)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线 E 于 A,B 两点, O 为坐标原点, C 为双曲线上一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求 ? 的值.

??? ?

??? ? ??? ?

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数学试卷(文)参考答案
一、1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B ? 14 二、13. 14. ? 15. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 16. ②③④ 3 2 C C cos sin A? B C C C 2 ? 2 ?4, ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 ,∴ 三、17.由 tan C C 2 2 2 2 sin cos 2 2 1 ? 5? 1 ∴ . ? 4 ,∴ sin C ? ,又 C ? (0, ? ) ,∴ C ? ,或C ? C C 2 6 6 sin cos 2 2
由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C ) ,即 sin( B ? C ) ? 0 , ∴B ?C,B ?C ?

?
6

, A ? ? ? (B ? C) ?

2? . 3

1 a b c sin B ? ? 由正弦定理 ,得 b ? c ? a ? 2 3? 2 ? 2. sin A sin B sin C sin A 3 2 18.解法一:过 E 作 EN ? AC 于 N,连结 EF.
(I)如图 1,连结 NF、 AC1 ,由直棱柱的性质知,底面 ABC ? 侧面 AC 1 . 又底面 ABC ? 侧面 AC 1 =AC,且 EN ? 底面 ABC,所以 EN ? 侧面 AC 1 , ∴NF 是 EF 在侧面 AC 1 内的射影, 在 Rt ?CNE 中, CN ? CE cos60 ? 1, 则由
?

CF CN 1 ? ,得 NF// AC1 , ? CC1 CA 4

又 AC1 ? AC 1 ,故 NF ? AC 1 . 1 ,由三垂线定理知 EF ? AC (II)如图 2,连结 AF,过 N 作 NM ? AF 于 M,连结 ME,由(I)知 EN ? 侧面 AC 1 ,根 据三垂线定理得 EM ? AF ,所以 ?EMN 是二面角 C—AF—E 的平面角,即 ?EMN ? ? . 设 ?FAC ? ? , 则0? ? ? ? 45? ,在 Rt ?CNE 中, NE ? EC ? sin 60? ? 3,

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在 RT ?AMN 中, MN ? AN ? sin ? ? 3sin ? , 故 tan ? ?

NE 3 . ? MN 3sin ?

又0 ?? ?

?
4

,? 0 ? sin ? ?

2 2 ,故当 sin ? ? , 即当 ? ? 45? 时, tan ? 达到最小值, 2 2

tan ? ?

3 6 ,此时 F 与 C1 重合. ? 2? 3 3

解法二: (I)建立如图 3 所示的空间直角坐标系,则由已知可得

A(0,0,0), B(2 3,2,0), C(0,4,0), A1(0,0,4), E( 3,3,0), F (0,4,1),
???? ??? ? ???? ??? ? CA ? (0, ? 4,4), EF ? ( ? 3,1,1). CA ? EF ? (0, ?4,4) ? (? 3,1,1) ? 0 ? 4 ? 4 ? 0, 1 1 于是
故 EF ? AC 1 . (II)设 CF ? ? (0 ? ? ? 4) 平面 AEF 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) , 则由(I)得 F (0, 4, ? ) , AE ? ( 3,3,0), AF ? (0, 4, ? ), 于是由 m ? AE, m ? AF 可得
??? ? ? ? 3x ? 3 y ? 0, ?m ? AE ? 0, ? 即? ? ? ??? ?4 y ? ? z ? 0. ?m ? AF ? 0, ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

取 m ? ( 3?, ??, 4). 又由直三棱柱的性质可取侧面

AC1 的一个法向量为 n ? (1, 0, 0) ,
cos ? ? | m?n | 3? ? 2 ? 16 ? 2 ? 16 1 16 ? ,sin ? ? tan ? ? ? ? 2 2 2 | m |?| n | 2 ? ?4 3 3? , 3? 2 ? ? 4 ,∴

于是由 ? 为锐角可得 由 0 ? ? ? 4 ,得

1

?

?

1 1 1 6 ,即 tan ? ? ? ? , 4 3 3 3
6 . 3

故当 ? ? 4 ,即点 F 与点 C1 重合时, tan ? 取得最小值

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19.解: (I)在第一次灯泡更换工作中,不需要更换灯泡的概率为 p15 ,需要更换 2 只灯泡的
2 3 概率为 C5 p1 (1 ? p1 )2 .

(II)对该盏灯来说,在第一、二次都更换了灯泡的概率为 (1 ? p1 )2 ;在第一次未更换灯泡而 在第二次需要更换灯泡的概率为 p1 (1 ? p2 ), 故所求概率为 p ? (1 ? p1 )2 ? p1 (1 ? p2 ). (Ⅲ)至少换 4 只灯泡包括换 4 只和换 5 只两种情况.
1 4 换 5 只的概率为 p5 (其中 p 为(II)中所求,下同) ,换 4 只的概率为 C5 p (1 ? p), 1 4 故至少换 4 只灯泡的概率为 p3 ? p5 ? C5 p (1 ? p).

又当 p1 ? 0.8, p2 ? 0.3 时, p ? (1 ? p1 )2 ? p1 (1 ? p2 ) ? 0.22 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.6.

? p3 ? 0.65 ? 5 ? 0.64 ? 0.4 ? 0.34. 即满 2 年至少需要换 4 只灯泡的概率为 0.34.
20.解: f '( x) ? ? x 2 ? 2bx ? c (Ⅰ)因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 3

? f '(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? 所以 ? 1 4 f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ? 3 3 ?

,解得 ?

?b ? 1 ?b ? ?1 或? . ?c ? ?1 ?c ? 3

(i)当 b ? 1, c ? ?1 时, f '( x) ? ?( x ?1) ? 0 ,
2

所以 f ( x ) 在 R 上单调递减,不存在极值. (ii)当 b ? ?1, c ? 3 时, f '( x) ? ?( x ? 3)( x ? 1) ,

x ? (?3,1) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;
所以 f ( x ) 在 x ? 1 处存在极大值,符合题意. 综上所述,满足条件的值为 b ? ?1, c ? 3 . .

(Ⅱ)当 x ? (0,1) 时,函数 y ? f ( x) ? c( x ? b) ? ?

1 3 x ? bx 2 , 3

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设图象上任意一点 P( x0 , y0 ) ,则 k ? y ' |x? x0 ? ?x0 ? 2bx0 , x0 ? (0,1) ,
2
2 因为 k ? 1 ,所以对任意 x0 ? (0,1) , ? x0 ? 2bx0 ? 1恒成立,

所以对任意 x0 ? (0,1) ,不等式 b ?

2 x0 ?1 恒成立. 2 x0

设 g ( x) ?

x2 ? 1 1 1 ? ( x ? ) ,故 g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递减, 2x 2 x

所以对任意 x0 ? (0,1) , g ( x0 ) ? g (1) ? 1 ,所以 b ? 1 . 21.解: (I) 由 ?

?

S n ? 2an ? n,

? S n ?1 ? 2an ?1 ? (n ? 1),

(n ? 2) ,得 an ? 1 ? 2(an?1 ?1) ,

又因为 S1 ? 2a1 ? 1 ,所以 a1 ? ?1, a1 ?1 ? ?2 ? 0 , 所以 {an ?1} 是以-2 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an ?1 ? ?2 ? 2n?1 ? ?2n . (II) 由(I)知, bn ? 故 Tn ? ?[(

?2n 1 1 , ? n?1 ? n n n ?1 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 ? 1 2 ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? )?( 2 ? ) ??? ( n ? )] ? n ?1 ?1 . 2 ? 1 22 ? 1 2 ? 1 23 ? 1 2 ? 1 2n ?1 ? 1 2 ?1
2 2 x0 y0 x2 y2 ? 1 ? 1. 上,∴ a2 b2 a2 b2

22.解:∵点 P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 在双曲线

由题意

y0 y 1 30 . ? 0 ? ,可得 a 2 ? 5b 2,c 2 ? a 2 ? b 2 ? 5b 2 ,则 e ? x0 ? a x0 ? a 5 5

? x 2 - 5 y 2 ? 5b 2, 2 2 (II)由 ? 得 4 x ? 10cx ? 35b ? 0. ? y ? x ? c,

5c ? ? x1 ? x2 ? 2 , 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,则 ? ① 2 35 b ? x1 x2 ? . 4 ?
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设 OC ? ( x3 , y3 ),? OC ? ? OA ? OB,? ?

????

????

??? ? ??? ?

? x3 ? ? x1 ? x2 , ? y3 ? ? y1 ? y2 .
2

又 C 为双曲线

x2 y2 2 2 - 2 ? 1 上一点, 即 (? x1 ?x2 ) 2 ? ? x3 ? 5 y3 ? 5b2 , 5 ( ? y1 ? y2) 2 a b

5? b.

2

2 2 2 化简得, ? 2 ( x1 ? 5 y12 ) ? ( x2 ? 5 y2 ) ? 2?( x1x2 ? 5 y1 y2 ) ? 5b2 . 2 2 2 又 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 在双曲线上,所以 x1 ? 5 y12 ? 5b2 , x2 ? 5 y2 ? 5b2 .

由①式得, x1x2 ? 5 y1 y2 ? x1x2 ? 5( x1 ? c)( x2 ? c) ? ?4x1x2 ? 5c( x1 ? x2 ) ? 5c 2 ? 10b2 ,

? ? 2 ? 4? ? 0 ,解得 ? ? 0 或 ? ? ?4.

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