高中数学人教A版选修(23)1.5.3《定积分的概念》word学案

山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 1.5.3 定积分的概念学案 新人教 A 版选修 2-3 学习内容 【学习目标】理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义 【学习重点】定 积 分 的 概 念 、 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义; 【学习难点】定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 回顾引入: 1.一般地,如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图像是一条连 续不断的曲线,那 么我们就把它称为区间 I 上的__ ______________。 2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤: ①________ ,②________ ,③________ , ④________ . 3. 定积分的定义: 如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [ a, b] 上 图 像 是 连 续 曲 线 , 用 分 点 自我完成 了解新知 学习方向 学习指导 即时感悟 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? xi ?1 ? xi ? ? xn ? b 将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间 。在每个小区间 ? xi ?1 , xi ? 上任取一点 ?i (i ? 1, 2, , n) 作和式_______________________ 上述和式无限趋近某个常数, , 当 n ? ? 时, 这 个 常 数 叫 做 函 数 f ( x) 在 区 间 [ a, b] 上 的 ________ 。 记 作 :__ ______ 即 ? b a f ( x)dx ? lim ? n ?? i ?1 n b?a f (? i ) n . 记 为 : S ? __________________ , 其 中 : ① f ( x ) 称 为 ______________ , x 叫 做 _____________ , [ a, b] 为 _____________, b 为________ _________, a 为________________. ②定积分 得到知识 ? b a f ( x)dx 是一个常数,只与积分上、下限的大小有关, 与积分变量 的字母无关, ? b a f ( x)dx ? ? f (t )dt ? ? f ( y)dy a a b b 二、自主合作探究 探究一:讨论定积分的几何意义是什么? (1)如果 在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x) ? 0 ,那么定积分 示: ? b a f ( x)dx 表 (2)如果在区间 [ a , b] 上函数连续且 恒有 f(x)≤0,那么定积分 ? b a f ( x)dx 表示: y A y ? f1 ( x ) B 探究二:讨论根据定积分的几何意义,用定积分 表示图中阴影部分的面积: D y ? f ( x) C 2 a b x O 探究三:定积分的性质 性质 1 ? 1dx ? b ? a a b 性质 2 性质 3 性质 4 (k 是常数) ? kf ? x ?dx ? ? f ? x ? ? f ? x ?? ?dx ? ?? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx (其中 a ? b ? c ) a b a b 1 2 b c b a a c 思考:你能从定积分的几何意义解释性质 4 吗? 数形结合 例 1 用图表示下列函数的定积分,并求出定积分 : (1) ? 2 0 2dx (2) ? 2 1 xdx (3) ??2 16 ? 6 x ? x 2 dx 3 例 2.计算定积分 ? 2 1 ( x ? 1)dx 分析:所求定积分即为如图阴影部分面积. y 例 3 计算下列定 积分. o 1 2 x ? 5 0 (2 x ? 4)dx 当堂达标: 1、由 y=sinx, x=0,x= ? ,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 2 ( ) 2、定积分 ? b a f ( x)dx 的大小 A、与 f ( x) 和积分区间 ?a, b? 有关,与 ? i 的取法无关 B、与 f ( x) 有关,与区 间 ?a, b? 及 ? i 的取法无关 C、 与 f ( x) 和 ? i 的取法有关,与积分区间 ?a, b? 无关 D、与 f ( x) 、区间 ?a, b? 和 ? i 的取法都有关 自我达标 总结提升:这节课学到了哪些知识? 拓展延伸: (A)画出 ? (2 x ? x )dx 表示的图形 2 1 3 (B)用定积分的几何意义说明下列不等式: ① ? ? cos? d? ? 2? 2 cos? d? 2 ? 2 0 ? ? ② ? ? sin xdx ? 0 ? ? 参考答案 合作探究达标练习见课本 ① ? 1 0 a f (t )dt ? ? f ( x)dx ② ? 2 sin xdx ? ?? sin xdx ? ? sin xdx 0 1 ? ? ? 0 2 0 ③ ? ?a x dx ? 2? x dx 0 a ④ ? 2 0 4 ? x 2 dx ? ? 2dx 0 2 2.(1) ? 2 0 2dx (2) ? 2 1 xdx (3) ??2 16 ? 6 x ? x 2 dx 3

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