三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第四节复数课时跟踪检测理

课时跟踪检测(二十八)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.(2015?安徽高考改编)设 i 是虚数单位,则复数 ________象限.

复数

2i 在复平面内所对应的点位于第 1-i

2i 2i?1+i? 2?i-1? 解析: = = =-1+i,由复数的几何意义知-1+i 在 1-i ?1-i??1+i? 2 复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限. 答案:二 2.(2016?西安质检)已知复数 z1=2+i,z2=1-2i.若 z= ,则 z =________.

z1 z2

z1 2+i ?2+i??1+2i? 5i 解析:z= = = = =i, z =-i. z2 1-2i 5 5
答案:-i 3.若复数 z=a -1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则
?a -1=0, ? 解析:由题意得? ?a+1≠0, ?
2 2

1

z+a

的虚部为________.

所以 a=1, 1 2 1 = - i, 根据虚部的概念, 可得 的虚部为 z+a

所以 2 - . 5

1

z+a 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 5



1



1-2i

2 答案:- 5 4.复数|1+ 2i|+?
2

?1- 3i?2 ? =________. ? 1+i ?
2 2

?1- 3i? -2-2 3i 解析:原式= 1 +? 2? + = 3+i- 3=i. 2 = 3+ ?1+i? 2i 答案:i 5. (2015?重庆高考)设复数 a+bi(a, b∈R)的模为 3, 则(a+bi)(a-bi)=________. 解析:∵|a+bi|= a +b = 3,∴(a+bi)(a-bi)=a +b =3. 答案:3 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.复数 z= 限. 1+2i 2 015 (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在第 ________象 1-i
2 015 2 2 2 2

1

1+2i 1-2i 1-3i-2 1 3 1 3 解析:z= = =- - i,则 z =- + i 在复平面内对应的 2 015 = 1-i 1+i 2 2 2 2 2 点在第二象限. 答案:二 2.如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别是 OA , OB ,则 |z1+z2|=________. 解析:由题图可知,z1=-2-i,z2=i,则 z1+z2=-2,∴|z1+z2| =2. 答案:2 3.(2015?苏北四市调研)已知复数 z=1+ 解析: z = 1 +
2 016 4?504

2 015

??? ?

??? ?

2i 2 2 015 ,则 1+z+z +…+z =________. 1- i
2 016

2i 2i?1+i? 1??1-z 2 2 015 =1+ = i ,∴ 1 + z + z +…+ z = 1-i 2 1-z

?



1-i 1-i = =0. 1-i 1-i 答案:0 4.(2016?无锡调研)已知 i 是虚数单位,若 z1=a+ 则实数 a=________. 3 3 z1 i,z2=a- i,若 为纯虚数, 2 2 z2

a+ i ?a+ i? 2 2 ? z1 ? 解析: = = = z2 3 3 ?? 3 ? ? a- i ?a- i??a+ i?
2

3

?

3 ?2

?

2 ??

2 ?

?a2-3?+ 3ai ? 4? ? ?
a2+
3 4

是纯虚数,

3 ? ?a2-4=0, ∴? ? ? 3a≠0, 答案:± 3 2

解得 a=±

3 . 2

5.(2016?浙江摸底)已知 i 是虚数单位,若 ________. 解析:由

a+3i
i

=b+i(a,b∈R),则 ab 的值为

a+3i
i

=b+i,得

a+3i -i?a+3i?
i = -i
2

=3-ai=b+i,所以 b=3,a=-1,

2

则 ab=-3. 答案:-3 6.(2016?徐州统考)若复数 z 满足 z=i(2+z)(i 为虚数单位),则 z=________. 解析:∵z=i(2+z),∴(1-i)z=2i, ∴z= 2i 2i?1+i? = =i(1+i)=-1+i. 1-i ?1-i??1+i?

答案:-1+i 1+ai 7.已知 a∈R,若 为实数,则 a=________. 2-i 1+ai ?1+ai??2+i? 2+i+2ai-a 2-a 1+2a 解析: = = = + i, 2-i ?2-i??2+i? 5 5 5 ∵ 1+ai 1+2a 1 为实数,∴ =0,∴a=- . 2-i 5 2

1 答案:- 2 8. 定义: 若 z =a+bi(a, b∈R, i 为虚数单位), 则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根. 根 据定义,则复数-3+4i 的平方根是________. 解析:设(x+yi) =-3+4i,
? ?x -y =-3, 则? ?xy=2, ?
2 2 2 2

解得?

?x=1, ? ? ?y=2

或?

?x=-1, ? ? ?y=-2.

答案:1+2i 或-1-2i 9.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为 A,

B,C,若 OC =λ OA +μ OB ,(λ ,μ ∈R),求 λ +μ 的值.
解:由条件得 OC =(3,-4),OA =(-1,2),OB =(1,-1),根据 OC =λ OA + μ OB , 得 (3 , - 4) = λ ( - 1,2) + μ (1 , - 1) = ( - λ + μ , 2λ - μ ) , 所 以
? ?-λ +μ =3, ? ?2λ -μ =-4, ? ? ?λ =-1, 解得? ?μ =2. ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

所以 λ +μ =1.
2

?-1+i??2+i? ?1+2i? +3?1-i? 10.计算:(1) ;(2) ; 3 i 2+i 1-i 1+i 1- 3i (3) . 2+ 2;(4) 2 ?1+i? ?1-i? ? 3+i? ?-1+i??2+i? -3+i 解:(1) = =-1-3i. 3 i -i

3

?1+2i? +3?1-i? -3+4i+3-3i i i?2-i? 1 2 (2) = = = = + i. 2+i 2+i 2+i 5 5 5 1-i 1+i 1-i 1+i 1+i -1+i (3) + = + =-1. 2+ 2= ?1+i? ?1-i? 2i -2i -2 2 1- 3i ? 3+i??-i? (4) = 2 2 ? 3+i? ? 3+i? = -i ?-i?? 3-i? = 4 3+i

2

1 3 =- - i. 4 4 ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.复数 z1,z2 满足 z1=m+(4-m )i,z2=2cos θ +(λ +3sin θ )i(m,λ ,θ ∈R), 并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是________.
? ?m=2cos θ , 解析:由复数相等的充要条件可得? 2 ?4-m =λ +3sin θ , ?
2

化简得 4-4cos θ =λ +3sin θ , 由此可得 λ =-4cos θ -3sin θ +4=-4(1-sin θ )-3sin θ +4=4sin θ -3sin 3?2 9 ? θ =4?sin θ - ? - , 8? 16 ?
2 2 2

2

? 9 ? 2 因为 sin θ ∈[-1,1],所以 4sin θ -3sin θ ∈?- ,7?. ? 16 ? ? 9 ? 答案:?- ,7? ? 16 ?
2.已知复数 z1=cos 15°+sin 15°i 和复数 z2=cos 45°+sin 45°i,则 z1?z2= ________. 解析:z1?z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°- sin 15°?sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i 1 3 = + i. 2 2 1 3 答案: + i 2 2 3. 复数 z1= 3

a+5

2 2 +(10-a )i, z2= +(2a-5)i, 若 z1 +z2 是实数, 求实数 a 的值. 1-a 2 2 +(a -10)i+ +(2a-5)i 1-a

解: z1 +z2= =?

3

a+5

? 3 + 2 ?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ?a+5 1-a?
4



a-13 2 +(a +2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z1 +z2 是实数, ∴a +2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. ∵a+5≠0,∴a≠-5,故 a=3.
2

5


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