数学北师大版必修3教案:1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差 含解析

4.1 §4 数据的数字特征 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差 整体设计 教学分析 在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等, 并能解决简单的实际问题.在这个基础上,高中阶段还将进一步学习标准差,并在学习中不 断地体会它们各自的特点, 达到在具体的问题中能根据情况有针对性地选择一些合适的数字 特征. 三维目标 1.能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的数字特 征来表达数据的信息,培养学生解决问题的能力. 2.通过实例理解数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差,提高学生的运算 能力. 重点难点 教学重点:平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用. 教学难点:根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.如果中国女排与俄罗斯女排队员的身高、年龄如下表: 中国女排 俄罗斯女排 号码 身高/米 年龄/岁 号码 身高/米 年龄/岁 2 1.83 25 2 1.90 26 3 1.83 24 4 1.84 33 4 1.86 24 5 1.94 27 6 1.85 24 7 1.88 25 7 1.82 25 8 1.92 29 8 1.96 23 9 1.90 29 9 1.82 29 10 1.80 24 10 1.82 29 11 2.04 24 12 1.78 24 12 1.80 19 15 1.81 26 13 1.83 28 16 1.81 24 14 1.85 26 18 1.87 22 16 1.90 32 那么怎样判断中国女排和俄罗斯女排的队员谁的身材更为高大?我们分别求出两队球 员的平均身高, 谁的平均身高数值大, 谁的身材就更高大, 教师点出课题: 数据的数字特征. 思路 2.小明开设了一个生产玩具的小工厂,管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组 成.工作人员由五个领工和十个工人组成.工厂经营得很顺利,需要增加一个新工人,小亮 需要一份工作,应聘而来与小明交谈.小明说:“我们这里报酬不错,平均薪金是每周 300 元. 你在学徒期每周 75 元, 不过很快就可以加工资了. ”小亮工作几天后找到小明说: “你 欺骗了我,我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周 100 元,平均工资怎么 可能是一周 300 元呢?”小明说:“小亮啊,不要激动,平均工资是 300 元,你看,这是一 张工资表.”工资表如下: 人员 小明 小明弟弟 亲戚 领工 工人 周工资 2 400 1 000 250 200 100 人数 1 1 6 5 10 合计 2 400 1 000 1 500 1 000 1 000 这到底是怎么了?教师点出课题:数据的数字特征. 推进新课 新知探究 提出问题 1.什么叫平均数?有什么意义? 2.什么叫中位数?有什么意义? 3.什么叫众数?有什么意义? 4.什么叫极差?有什么意义? 5.什么叫标准差?有什么意义? 6.什么叫方差?有什么意义? 讨论结果: 1.一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据 x1,x2,…,xn x1+x2+…+xn 的平均数为 x = .平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水 n 平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质. 2. 一组数据按从小到大的顺序排成一列, 处于中间位置的数称为这组数据的中位数. 一 组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势. 3.一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一 个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势. 4.一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情 况. 5.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,通常用公式 1 s= x1- x 2+ x2- x 2+…+ xn- x 2]来计算. n 可以用计算器或计算机计算标准差. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小, 反映 了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差大,数据的离散程度大;标准差小,数据 的离散程度小.标准差的取值范围是[0,+∞). 样本数据 x1,x2,…,xn 的标准差的计算步骤: (1)计算样本数据的平均数,用 x 来表示; (2)计算每个样本数据与样本数据平均数的差:xi- x (i=1,2,…,n); (3)计算 xi- x (i=1,2,…,n)的平方; (4)计算这 n 个 xi- x (i=1,2,…,n)的平方的平均数,即方差; (5)计算方差的算术平方根,即为样本标准差. 1 2 2 2 2 6.方差等于标准差的平方,即 s = [(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ],与标准 n 差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小.方差的取值范围是[0,+∞). 应用示例 思路 1 例 1 某公司员工的月工资情况如表所示: 月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 600 500 员工/人 1 2 4 6 12 8 20 5 2 (1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数. (2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导 呢? 解:(1)经过简单计算可以得出:该公司员工的月工资平均数为 1 373 元,中位数为 800 元,众数为 700 元. (2)公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数 1 373 元作为月工资的代表; 而税务官希望取中位数 800 元, 以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利; 工 会领导则主张用众数 700 元作为代表,因为每月拿 700 元的员工数最多. 点评: 平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量, 它是反映数据平均水平最常用的 统计量; 中位数将观测

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