www.84507.com:2019-2020年新人教a版高中数学必修四4.1《平面向量的数量积的物理背景及含义》教案

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2019-2020 年新人教 a 版高中数学必修四 4.1《平面向量的数量积的

物理背景及含义》教案

【学习目标】 1. 在物理中功的概念的基础上,理解向量数量积的概念及几何意义;

2. 掌握数量积的运算式及变式;掌握并能熟练运用数量积的运算律;掌握模长公式.

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:如右图,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ,那么力 F 所做的



,其中? 是 F 与 s 的夹角.

(二)自主探究:(预习教材 P103—P105) 探究:平面向量数量积的含义
问题 1:功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我们一种启示,能
否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢?

1、平面向量数量积的定义:已知两个______向量 a与b ,我们把______________叫 a与b 的

数量积。(或________)记作_________即 a ? b =___________________其中? 是 a与b 的夹角。

__________叫做向量 a在b 方向上的______。我们规定:零向量与任意向量的数量积为____。 问题 2:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正?什么时候为负?

2、平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非空向量:

① a ? b ? ___________ ②当 a与b 同向时, a ? b =________ 当 a与b 反向时, a ? b =_______ _,

特别地, a ? a ? __________或 a = ___________。

③ a ? b ? ___________

_

④ cos? = _______

____

⑤. a ? b 的几何意义:______________

______________________。

问题 3:运算律和运算紧密相连,引进向量数量积后,自然要看一看它满足怎么
? ? 样的运算律,同学们能推导向量数量积的下列运算律 a ? b ? c ? a ? c ? b ? c 吗?
3、向量的数量积满足下列运算律:已知向量 a,b,c 与实数 ? 。

? ? ? ? ① a ? b =___________;② ?a ? b =___________;③ a+b ? c =___________。

问题 4:我们知道,对任意 a,b ? R ,恒有 ?a ? b?2 ? a2 ? 2ab ? b2 ,?a ? b??a ? b? ? a2 ? b2

对任意向量 a,b ,是否也有下面类似的结论?

? ?2
⑴ a?b ?

? ? ? ? ; ⑵ a ? b ? a ? b ?

.

二、合作探究

1、已知 a ? 6 , b ? 8,且 a 与 b 的夹角? ? 120? ,求 a ? b .

变式 1:若 a ? 6 , b ? 8,且 a // b ,则 a ? b 是多少?
变式 2:若 a ? 6 , b ? 8,且 a ? b ,则 a ? b 是多少?
? ? ? ? 变式 3:若 a ? 6, b ? 8,且 a 与 b 的夹角? ? 60? ,求 a ? 2b ? a ? 3b 。

? ? ? ? 变式 4:若 a ? 6, b ? 4 ,且 a ? 2b ? a ? 3b ? ?72 ,求 a 与 b 的夹角。
2、在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ?BAD ?120 ,求 AB ? AD .
变式:判断下列命题的真假,并说明理由. ⑴在 ?ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则 ABC 是锐角三角形; ⑵在 ?ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则 ABC 是钝角三角形; ⑶ ?ABC 为直角三角形,则 AB ? BC ? 0 .

三、交流展示

1、已知 a ? 2 , b ? 3, a 与 b 的夹角为 60 ,求:

⑴ a ?b ;



2
a

?

2
b



⑶ ?2a ? b???a ? 3b? ;

⑷ a?b .

2、已知 a ? 4, b ? 5 ,且 a 与 b 不共线, k 为何值时,向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直?

四、达标检测(A 组必做,B 组选做)
A 组:1. 设 a ?12 , b ? 9 , a ?b ? ?54 2 ,则 a 与 b 的夹角? 为( )

A. 45

B.135

C. 60

D.120

2. 已知 ?ABC , AB ? a , AC ? b ,当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为( )

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.等腰三角形

3. 已知平面内三个点 A?0,?3?, B?3,3?,C ?1, ?1? ,则向量 AB 与 BC 的夹角为( )

A. 0

B. 90

C. 60

D.180

4. 已知 a ? 3 , b ? 5 ,且 a ?b ?12 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为

.

5. 已知向量 a 满足 a2 ? 8 ,则 a ?

.

6. 已知 a ? 6, b ? 4 , a 与 b 的夹角为 30 ,求:⑴ a ? b ;⑵ a2 ;⑶ b2 .

B 组:
? ? ? ? 1. 已知 a ? 6, a 与 b 的夹角为 60 ,且 a ? 2b ? a ? 3b ? ?72,则 b 为( )

A.16

B. 6

C. 5

D. 4

? ? 2. 已知 a ?1, b ? 2 ,且 a ? b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为( )

A. 60

B. 30

C.135

D. 45

? ? 3.

a

? 3, b

? 4 ,且 a 与 b 的夹角为150

,则

a?b

2
=

.

4. 已知 a ? 2, b ? 5,a ?b ? ?3 ,则 a ? b =

, a?b =

.

5. 设 m, n 是两个单位向量,其夹角为 60 ,求向量 a ? 2m ? n 与 b ? 2n ? 3m 的夹角.


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