【数学】1.3 三角函数的诱导公式(人教A版必修4)2


1.思考 给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? y 公式二

P(x,y)

sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα

π +α O

α

x

P(-x,-y)

(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
公式三 y
P(x,y)
α

sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα

O



x

P(x,-y)

(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系? 公式四

y
P(-x,y)
α

sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα

π- α
α

P(x,y)

O

x

公式二

sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα

公式三

公式四

α+k· 2π(k∈Z),- α,π ± α 的三角函 数值 , 等于 α 的同 名函数值,前面 加上一个把α看 成锐角时原函数 值 的 符 号 .

2.典型例题

例1.利用公式求下列三角函数值: 11? ?1? 225 ; ? 2 ? sin ; 3 ? 16? ? ? 3? sin ? ? ? ; ? 4 ? cos ? ?2040 ? . ? 3 ?
2 ?1? cos 225 ? cos ?180 ? 45 ? ? ? cos 45 ? ? 2

11? ?? ? 3 ? ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2? sin 3 3? 3 2 ?

? 16? ? 3? sin ? ? ? 3

16? ?? ? ? ? ? sin ? 5? ? ? ? ? ? sin 3 3? ? ?

?? 3 ? ? ? ? ? sin ? ? 3? 2 ?

? 4 ? cos ? ?2040

? ? cos 2040

? cos ? 6 ? 360 ? 120

?

? cos120 0 ? cos(180 0 ? 600 ) 1 ? ? cos 60 ? ? 2

练习 将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上 4 ? cos ? 13 9 ?1? cos ? ? ______; 9 sin1 ______; ? 2 ? sin ?1 ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? sin ? 3? sin ? ? ? ? ______; 5
? 5?

? 70 16. ______ ? 4 ? cos ? ?70 6? ? ? cos

利用公式一~四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数 用公式

三或一

任意正角的 三角函数
用公式一

锐角三 角函数

用公式 二或四

0~2π的角 的三角函数

例2 化简

? cos ? ?180 ? ? ? ? 解:sin ? -? -180 ? ? sin ? ? 180 ? ? ? ? ? ?
? cos ? ?180 ? ? ? ? cos ? ? 180 ? ? ? ? ? ?
? cos ? sin ? 原式= ?1 sin ? ? ? cos ? ?
? cos ?180 ? ? ?

sin ? ?? ? 180

cos ?180 ? ? ? sin ?? ? 360

?

.

? ? sin ?180 ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? sin ?

? ? cos?

利用公式求下列三角函数值: 1 ?1? cos ?420 ? cos ? ?60 ? ? cos 60 ? 2 ? 7 ? 5 ? 1 ? 2 ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? 6 6 2 ? 6 ?

练习

?

?

? 3? sin ? ?1300 ? ? sin140 ? sin 40 ? 0.6428
? 79 ? 5 ? 3 4 cos ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? 6 ? 6 6 2

练习 化简 ?1? sin ? ? 180 cos ? ?? ? sin ?? ? 180

?

?

?

?

? 2 ? sin ? ?? ? cos ? 2? ? ? ? tan ? ?? ? ? ?
3

?1? 原式= ? sin ? cos? sin ? ? ? sin ? cos?
2

? 2? 原式= ? sin ? cos? tan ? ? ? sin ?
3 4

(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的 角与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? 公式五
?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

y
P(x,y)
α
?
2 ??

P(y,x)

O y=x

x

?

?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ?2 ?

由公式四同公式五得 公式六
?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

公式五

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

公式六

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . 公式一~公式六 叫到诱导公式 ?2 ?

的正弦 2 (余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号.

?

??

? 3? ? 例3 证明 :?1? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ; ? 2 ? ? 3? ? ? 2 ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ?
? ? 3? ? ?? ?? ?1? sin ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ?2 ?? ? ? ?? ?? ? sin ?? ? ? ? ? ?? ?2 ?? ?

?? ? ? ? sin ? ? ? ? ?2 ?

? ? cos?

? ? 3? ? ?? ?? ? 2? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ?2 ?? ?
?? ? ? ? cos ? ? ? ? ?2 ?

? ? sin ?

例4 化简

? ?? ?? ? ? sin ? ?? ? cos ? ?? ? sin ? ? cos ?5? ? ? ? ? ?? ?2 ?? ? 原式= ? ?? ?? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? ?? sin ?? ? ? ?? ? sin ?4? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? 2 ? sin ? cos ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?? ? = ? ? tan ? = ?? ? cos ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? 2 ? ? ? ? ?

?? ? ? 11? ? sin ? 2? ? ? ? cos ?? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ?? ? ?2 ? ? 2 ?. ? 9? ? cos ?? ? ? ? sin ? 3? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? sin ? ?? ? ? 2 ?

填表:
α

4? ? 3

5? ? 4

5? ? 3

7? ? 4

8? ? 3

11? ? 4

sinα

cosα

3 2 1 ? 2

2 2 2 ? 2
?1

3 2 1 2

2 2 2 2
1

3 ? 2 1 ? 2

2 ? 2 2 2
?1

tanα

? 3

3

3

将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填 在题中横线上:

2 3 ?1? tan ? = ? tan 5 ? 5 ______________________ ? tan 79 39? ? 2 ? tan100 21? ? __________; 5 31 ? 3? tan ? ? ? tan 36 ? _______________________ 36 tan 35 28? _________; ? 4 ? tan 324 32? ? ?

化简

?? ? cos ? ? ? ? 2? ? ? sin ?? ? 2? ? ? cos ? 2? ? ? ? ; ?1? ? 5? ? sin ? ?? ? ? 2 ?? ? ?

cos ? ? ? ? 2 ? ? ? sin ? ? cos ? ?? ? ?1? 原式= ?? ? sin ? ? ? ? ?2 ?

sin ? = ? sin ? ? cos ? ?? ? cos ?

= sin ?
2

化简

? 2 ? cos ? ?? ? ?
2
2

tan ? 360 ? ? ? sin ? ?? ?

.

tan ? 原式=cos ? ? ? sin ?

1 1 ? cos ? =cos ? ? = cos ? cos ?
2

3

小结

三角函数的诱导公式

sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?


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