广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学文科试题


揭阳一中 2014-2015 学年度(95 届)第二学期 高一数学期末试卷 (文科)
命题人:方妙芬 审题人:杨朝霞

同学们,本次考试可能用到的公式:

? ? ? 1? ? s 2 ? ?( x1 ? x) 2? ( x2 ? x) 2 ? ...( xn ? x) ?2 n? ?

一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确的答案填在答题卡上.) 1. sin 240 的值为(
?

)

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

2.已知两直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与 3x ? ay ? 0 平行,则 a ? ( A. ?



3 2

B.-3

C.-4

D.-5 )

(2x ? 3、 为了得到函数 y ? sin
A.向左平移

?
3

) 的图象,只要将 y ? sin x 的图象上所有的点(

? 个单位长度,再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 ? 1 B.向左平移 个单位长度,再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? 1 D.向左平移 个单位长度,再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3 0 .6 5 4.三个数 5 , 0.6 , log0.6 5 的大小顺序是 ( ) 正视图 侧视图
A. 0.65 ? log0.6 5 ? 50.6 C. log0.6 5 ? 0.65 ? 50.6 B. 0.65 ? 50.6 ? log0.6 5 D. log0.6 5 ? 50.6 ? 0.65 俯视图

5. 如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为( ) A. ? B.

3? 2 r r r r r r r r r 6.已知向量 a、 b 满足 | a | =1、 | b |? 3 ,且 (3a-2b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为(
C.

5? 4

? 4

D.



A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

7. 执行如下图所示的程序框图,若输入 n 的值为 7 ,则输出的 s 的值为 ( )A.22 B.16 C.15 D.11 )

π? ? π 8.函数 y=cosx·|tanx| ?- <x< ? 的大致图象是( 2? ? 2

9.已知点 A(2,-3) ,B(-3,-2),直线 l 过 P(1,1),且与线段 AB 相交,求直线 l 的斜率 k 的取值范围为 ( ) A. k ?

3 或k ? -4 4

B. k ?

3 1 或k ? ? 4 4

C. ?4 ? k ?

3 4

D.

3 ?k?4 4

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? [1,3] 时, f ( x) ? 2? | x ? 2 | ,则 ( )

2? 2? ) ? f (cos ) 3 3 ? 5? ) C. f (tan ) ? f (tan 6 4
A. f (sin

B. f (sin 2) ? f (cos 2)
D.

f (sin1) ? f (cos1)

二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.请将正确的答案填在答题卡上。 ) 11.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0 ,则 f ( f (?1)) 的值等于_____________ . x 2 , x ? 0 ?

x 2 12.利用计算器算出自变量和函数值的对应值如表,则方程 2 ? x ? 0 的一个根所在区间



.

[Z &x 13.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查 了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率
0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 频率/组距

分布直方图(如右图),为了分析居民的收入与 年龄、学历、职业等方面的关系, 要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查, 则在 [2500,3000) (元)/月收入段应抽出 人.

14.已知函数 y ? f ( x) ? x3 为偶函数,且 f (10) ? 10, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 4 ,则

g (?10) =



三.解答题(本大题共6小题,共80分,请将正确答案写在答题卡相应的位置上,作答时 必须详细写出演算过程和逻辑推理过程.) 15. (本题满分 12 分)已知集合 A ? {x | x2 ? 6 x ? 5 ? 0} , B ? {x |1 ? 2x?2 ? 16} ,

C ? {x | y ? ln(a ? x)} ,全集为实数集 R .
(1) 求 A ? B,(CR A) ? B ; (2) 若 A ? C ? ? ,求实数 a 的范围.

16.( 本题满分 12 分) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获 得身高数据的茎叶图如图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.

17.(本题满分14分)已知 m ? (2sin x, ? 3), n ? (cos x, 2 cos x 2 ? 1), 若函数f(x)= mgn +1. (1)求f ( x)的最小正周期; (2)求f ( x)的单调增区间; ?? ? ? (3)求f ( x)在 ? , ? 上的值域. ?4 2?
? ?

?

?

18.(本题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且

侧面 PAD ? 底面 ABCD , E 为侧棱 PD 的中点. (1)求证: PB //平面 EAC ; (2)求证: AE ⊥平面 PCD ; (3)若直线 AC 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,求

CD 的值. AD

19. (本题满分 14 分)已知圆 C 经过点 A(2,0), B(1, ? 3) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上. (1)求圆 C 的方程; (2) 过点 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程. ( 1, )

3 3

20. (本题满分 14 分)对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R 使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x ) 的 不动点. 已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ?1(a ? 0) .
2

(1)若 a ? 1, b ? 3 ,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x ) 的不动点, 且 A、B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

揭阳一中 2014-2015 学年度(95 届)第二学期 高一数学期末试卷答案 (文科)
一.选择题 (每小题 5 分,共 50 分) 1-5 C A D C C 6-10 A B C A B 二.填空题(每小题5分,共20分) 11.-1 12.(1.8,2.2) 13.25 14.2014 三.解答题(共 80 分) 15.解: A ? {x |1 ? x ? 5} , B ? {x | 2 ? x ? 6} , C ? {x | x ? a} ……………………….. 6 分 (1) A ? B ? {x |1 ? x ? 6}……………………………………………………………8 分 (CR A) ? B ? {x | x ? 1或x ? 5} ?{x | 2 ? x ? 6} ? {x | 5 ? x ? 6} ……………………10 分 (2) A ? C ? ? ,所以 a ? 1 .…………………………………………………………….12 分 16.解: (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 : 179 之间,而乙班身高集中于170 : 180
之间。因此乙班平均身高高于甲班;

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170? 10
(2) x ?

? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57.2
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件;

? P ? A? ?

4 2 ? 10 5
? ?



17.(1)解: ? f(x)= m?n +1 ? 2sin x cos x ? 3(2 cos 2 x ? 1) ? 1....1分

? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1..........3分 ? 2sin(2 x ? ) ? 1.......................5分 3 2? ? f ( x)的最小正周期为T= =? ...........................6分 2 ? ? ? (2)由2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? z, 2 3 2 ? 5? 得k? ? ? x ? k? + ,(k ? z).....................8分 12 12 ? 5? ? ? ? f ( x)的单调增区间为 ?k? ? ,k? + ? ,k ? z...10分 12 12 ? ? ? 2? 1 ? ?? ? ? ? ( 3) ? x ? ? , ? ? ? 2 x ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1......12分 3 3 2 3 ?4 2? 6

? 2 ? f ( x) ? 3 ? f ( x)的值域为 ? 2, 3?..................................................14分

18. 解: (1)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO, 因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO//PB E0 ? 平面EAC, PB ? 平面EAC ,所以 PB//平面 EAC. ……………………………………………….6 分 (2)法一:

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? CD ? AE AE ? 面PAD ? ? 面ABCD ? 面PAD ? CD ? 面ABCD
正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD , 又 PD ? CD ? D ,所以,AE⊥平面 PCD………………………………………………………………………..10 分 法二:

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? 面PDC ? 面PAD CD ? 面PDC ? ? 面ABCD ? 面PAD ? C D? 面 A B C D
正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD , 又 面PDC ? 面PAD ? PD , AE ? 面PAD ,所以,AE⊥平面 PCD………………….10 分 (3)由(2)AE⊥平面 PCD,直线 AC 与平面 PCD 所成的角为∠ACE

? Rt? ACE中,?ACE ? 30?, AC ? 2 AE ,又 正?PAD中,AE ?

3 AD , 2

? AC ? 3AD ,又矩形 ABCD中,AC ? AD2 ? CD2 ,由 AD2 ? CD2 ? 3AD CD ? ? 2 …………………………………………………….. 14 分 解得 CD ? 2 AD, AD
19.解: (1)设圆心 C( a, a ),………………………………………………………………1 分

CA ? CB ? a 2 ? (a ? 2) 2 ? (a ? 1) 2 ? (a ? 3) 2 ? a ? 0 ………………………………………. .4 分
2 2 所以 r ? CA ? 2 (5 分) ,圆 C 的方程为 x ? y ? 4

………………………………………………………….6 分

(2)若直线 l 的斜率不存在,方程为 x ? 1 ,此时直线 l 截圆所得弦长为 2 3 符合题意 8 分

3 ? k ( x ? 1)即3kx ? 3 y ? 3 ? 3k ? 0 ……………….10 分 3 2 3 | 3 ? 3k | 由题意,圆心到直线的距离 d ? …………………….12 分直 ? 22 ? 3 ? 1 ? k ? ? 3 9k 2 ? 9 线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 .综上,所求方程为 x ? 1 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 …………14 分
若直线 l 的斜率存在,设方程为 y ? 20.解: (1) 若 a ?1 , b ?3 , f ( x) ? x ? 4x ? 2, f ( x) ? x ? x ? 3x ? 2 ? 0 ,? x ? ?2, ?1 , 则 f ( x ) 的不动点为 ?2, ?1 ………………………………………………………………….. 4 分 (2)函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,
2 2

所以方程 f ( x) ? x 即 ax ? bx ? b ?1 ? 0(a ? 0) 恒有两个不等实根,
2

需要判别式大于 0 恒成立,即 b ? 4a(b ?1) ? 0 ? b ? 4ab ? 4a ? 0 对任意实数 b 恒成立,
2 2

? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 ………………………………………………… 10 分

(3)因为 A、B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,所以 AB ? 直线且中点 M 在直线上

b a x ? x2 x1 ? x2 b b , )即(? , ? ) 所以 AB 的中点 M ( 1 2 2 2a 2a b b 1 a ? ?( ? ) ? 2 ?b?? 2 易知 k AB ? 1? k ? ?1 ?? 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 a 1 1 由(2) , 0 ? a ? 1 所以 b ? ? 2 ?? ?? 1 2a ? 1 1 2 2a ? ( 2a ? ) ?2 2 a a
设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) ,由(2)知, x1 ? x2 ? ? 当且仅当 2a ?

1 2 1 2 …………………… …………..14 分 即a ? 时,bmin ? ? ?? a 2 4 2 2

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