2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件:第2章第五节 指数与指数函数(苏教版江苏专用_图文

第五节 指数与指数函数

第 五 节 指 数 与 指 数 函 数

双基研习? 双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考 考点探究?

考向瞭望? 考向瞭望?把脉高考

双基研习· 双基研习·面对高考

1.根式 . (1)根式的概念 根式的概念

基础梳理
符号表 示

根式的概念 如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 , n次实数方根 次实数方根 ________________ 为奇数时, 当 n 为奇数时,正数的 n 次实数 方根是一个______, 方根是一个 正数 ,负数的 n 次 实数方根是一个_______ 实数方根是一个 负数 为偶数时, 当 n 为偶数时,正数的 n 次实数 方根有____,它们互为_______ 方根有两个 ,它们互为 相反数

备注 n>1 且 n∈ > ∈ N*

n n

a

零的 n 次实 数方根是零 负数没有偶 次方根

± a

(2)两个重要公式 两个重要公式 ?__,n为奇数 ? a , 为奇数 n n ? ?a (a≥0) __( ≥ ) ① a =? ?|a|=? = ,n为偶数 为偶数 _____( < ) -a ? ?_____(a<0) ? n
n



a 有意义). ②( a) =___ (注意 a 必须使 a有意义 . 注意 有意义

n

2.有理指数幂 . (1)分数指数幂的表示 分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是
n m a n =______ (a>0,m,n∈N*,n>1). > , , ∈ > . a ②正数的负分数指数幂是 1 1 (a>0,m,n∈N*,n>1). a = = > , , ∈ > . m n a am n
m


m n

的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无 ③0的正分数指数幂是 的负分数指数幂无 的正分数指数幂是 意义. 意义. (2)有理指数幂的运算性质 有理指数幂的运算性质
+ ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q) > ,,∈

ars > , , ∈ ②(ar)s=___ (a>0,r,s∈Q) a rb r > , > , ∈ ③(ab)r=____ (a>0,b>0,r∈Q)

3.指数函数的图象和性质 .
函数 图象 在x轴_____,过定点 (0,1) 轴 上方 , 定点_____ 逐渐增大时, 逐渐增大时, 当x逐渐增大时,图象逐 当x逐渐增大时,图象逐渐 逐渐增大时 逐渐增大时 渐下降 上升 R 定义域 (0,+∞) ,+∞ ,+ 值域 性 单调性 减函数 增函数 当x=0时,________ = 时 y=1 = 质 函数值变 y>1 ; > < < 当x<0时,______;当x 当x<0时,_________;当 < 时 < 时 0<y<1 ; 化规律 0<y<1 y>1 < < > x>0时,________ >0时,__________ 时 > 时 图象特征 y=ax(a>0,且a≠1) = > , ≠ 0<a<1 a>1 < < >

思考感悟 1x 指数函数 y=a 与 y=(a) (a>0 且 a≠1), = = > ≠ ,
x

这两者图象有何关系. 这两者图象有何关系.
1x -x 提示: 提示:函数 y=(a) =a ,所以函数 y= = = a 与 y=a 的图象关于 y 轴对称. 轴对称. =
x
-x

课前热身 1.函数y=ax-1+3的图象过定点 ,则P .函数 = - 的图象过定点P, 的图象过定点 点的坐标为________. 点的坐标为 . 答案: 答案:(1,4)
5-1 - 2.(2009 年高考江苏卷 已知 a= 年高考江苏卷)已知 = . , 函数 2 f(x)= ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、 = 、 , 、 n 的大小关系为 的大小关系为________. .

答案: 答案:m<n

3.设指数函数 f(x)= ax(a> 0 且 a≠1),则下列 . = > ≠ , 等式中正确的是________.(只填序号 只填序号) 等式中正确的是 . 只填序号 ① f(x+y)=f(x)·f(y); + = ; ② f[(xy)n]=fn(x)·fn(y); = ; f( x) ( ) ③ f(x-y)= - = ; f( y) ( ) ④ f(nx)=fn(x). = .

解析: 验证② 解析:由f(x)=ax,验证②知:f[(xy)n]= = = a(xy)n, + fn(x)·fn(y)=(ax)n·(ay)n=axn·ayn=axn+yn, = ,而验证① ∴f[(xy)n]≠fn(x)fn(y),而验证①、③、④都正 确. 答案: 答案:①③④

4.若函数f(x)、g(x)分别为 上的奇函数、偶函 .若函数 分别为R上的奇函数 、 分别为 上的奇函数、 且满足f(x)-g(x)=ex,则f(2),f(3),g(0)之 数,且满足 - = , , 之 间的大小关系为________. 间的大小关系为 . 解析: 解析: ∵f(x)-g(x)= ex 且 f(x)、g(x)分别为 R - = 、 分别为 上的奇函数、偶函数, 上的奇函数、偶函数 , -x -x f(- x)-g(- x)= f(x)- g(x)= ∴ f(- x)-g(-x)= e ,即 -f(x)-g(x)= e , -x -x x x e -e e +e . 解得 f(x)= = , g(x)=- =- 2 2 ,+∞ 上是增函数, ∵ f(x)在 [0,+∞ )上是增函数 , 在 ,+ 上是增函数 =-1, ∴ f(3)> f(2)> f(0)=0 且 g(0)=- , > > = =- ∴ g(0)<f(2)< f(3). < < . 答案: 答案:g(0)<f(2)<f(3) < <

考点探究· 考点探究·挑战高考

考点突跛 指数式的化简与求值 指数式化简求值分为两类:有条件和无条件. 指数式化简求值分为两类:有条件和无条件.无 条件的指数式可直接化简, 条件的指数式可直接化简,有条件的应把条件和 结论相结合再进行化简求值.具体来说, 结论相结合再进行化简求值.具体来说,进行指 数幂运算时,要化负指数为正指数, 数幂运算时,要化负指数为正指数,化根式为分 数指数幂,化小数为分数运算, 数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运 算顺序问题. 算顺序问题.

例1 化简下列各式 其中各字母均为正数 : 化简下列各式(其中各字母均为正数 其中各字母均为正数):

( 4ab 1)3 1 (1)( ) · - 2 3 - 3 1 ; 4 0.1 (a b )2



1 2

5 1 -2 -1 -3 1 (2) a3·b ·(- 3a b )÷(4a ·b )2. - 6
1 2 2 3


【思路分析】 思路分析】

(1)因为题目中的式子既有根 因为题目中的式子既有根

式又有分数指数幂, 式又有分数指数幂,先化为分数指数幂以便用 法则运算;(2)题目中给出的是分数指数幂, 题目中给出的是分数指数幂, 法则运算; 题目中给出的是分数指数幂 先看其是否符合运算法则的条件, 先看其是否符合运算法则的条件,如符合用法 则进行下去,如不符合应再创设条件去求. 则进行下去,如不符合应再创设条件去求.

【 解】

4 ? 4 a 2·b- 2·a- 2·b2= 4 a0·b0= 4 . (1)原式= 原式= 原式 25 25 100
3 3 3 3
- - -

1 2

3 2

2 5 1 -3 5 1 -3 1 3 -3 1 (2)原式=- a 6b ÷(4a3 ·b ) 2=- a 6 b ÷(a3b 2 )= 原式=- 原式 = 2 4

5 1 5 1 5 ab - a 2·b =- · 3=- 4ab2 . 4 4 ab



3 2

【名师点评】 名师点评】

(1)进行分数指数幂的运算要 进行分数指数幂的运算要

熟练掌握分数指数幂的运算性质, 熟练掌握分数指数幂的运算性质,并灵活运 用.(2)根式运算或根式与指数式混合运算时, 根式运算或根式与指数式混合运算时, 根式运算或根式与指数式混合运算时 将根式化为指数运算较为方便. 将根式化为指数运算较为方便.

指数函数的图象及应用
画指数函数 y= a 的图象, 应抓住三个关键点 = 的图象, 1 (1,a),(0,1),(-1, ),熟记指数函数 y=10x, , , ,- , , = a 1 x 1x y=2 ,y=( ) ,y= ( ) 在同一坐标系中图象 = = = 10 2
x x

的相对位置, 的相对位置 ,由此掌握指数函数图象的位置与 底数大小的关系. 底数大小的关系.

例2 画出函数 =|3x-1|的图象,并利用图 画出函数y= 的图象, 的图象

象回答: 为何值时 方程|3 为何值时, 无解? 象回答:k为何值时,方程 x-1|=k无解? = 无解 有一解?有两解? 有一解?有两解? 【思路分析】 思路分析】 先作y= 的图象, 先作 =3x的图象,再平移及

翻折图象后可得y= 的图象, 翻折图象后可得 =|3x-1|的图象,利用数形 的图象 结合解之. 结合解之.

【解】

函数y= 的图象是由函数y= 函数 =|3x-1|的图象是由函数 =3x的图象向下 的图象是由函数 平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿 轴下方的图象沿x 平移一个单位后,再把位于 轴下方的图象沿 轴翻折到x轴上方得到的 函数图象如图所示. 轴上方得到的, 轴翻折到 轴上方得到的,函数图象如图所示. 与函数y= 当k<0时,直线 =k与函数 =|3x-1|的图象无 < 时 直线y= 与函数 的图象无 交点,即方程无解; 交点,即方程无解;当k=0或k≥1时,直线 =k = 或 时 直线y= 与函数y= 的图象有惟一的交点, 与函数 =|3x-1|的图象有惟一的交点,所以方 的图象有惟一的交点 程有一解; 程有一解; 与函数y= 当0<k<1时, 直线 =k与函数 =|3x-1|的图 < < 时 直线y= 与函数 的图 象有两个不同交点,所以方程有两解. 象有两个不同交点,所以方程有两解.

【名师点评】 名师点评】

函数图象是解决函数问题的一

个重要辅助手段, 个重要辅助手段,熟练掌握常见的函数图象的 交换方法对作函数图象是必要的. 交换方法对作函数图象是必要的.本题中方程 的解就是函数y= 的图象与函数y= 的图 的解就是函数 =|3x-1|的图象与函数 =k的图 的图象与函数 象交点的横坐标. 象交点的横坐标.方程解的个数常常借助于数 形结合的方法来讨论解决. 形结合的方法来讨论解决.

互动探究1 互动探究

若函数y= 在区间(k- , 若函数 =|3x-1|在区间 -1,k 在区间

内不单调, 的取值范围. +1)内不单调,求k的取值范围. 内不单调 的取值范围 的图象可知, 解:由例2的图象可知,函数 =|3x-1|在(- 由例 的图象可知 函数y= 在- ∞,0)内单调递减,在(0,+ 内单调递增, , 内单调递减 内单调递减, ,+∞)内单调递增 ,+ 内单调递增, 而函数在区间(k- , + 内不单调 所以k 内不单调, 而函数在区间 -1,k+1)内不单调,所以 -1<0<k+1,解得-1<k<1. < < + ,解得- < < 的取值范围为- < < ∴k的取值范围为-1<k<1. 的取值范围为

指数函数的综合应用 解决指数函数的综合问题时, 解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的 概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、 概念和性质同函数的其他性质 如奇偶性、周期 如奇偶性 相结合, 性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对 相结合 同时要特别注意底数不确定时, 底数的分类讨论. 底数的分类讨论.

例3

a -x x (a - a )(a > 0 且 已 知 f(x) = 2 a -1

a≠1). ≠ . (1)判断 f(x)的奇偶性; 的奇偶性; 判断 的奇偶性 (2)讨论 f(x)的单调性; 的单调性; 讨论 的单调性 (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取 当 ∈- 时 ≥ 恒成立, 值范围. 值范围. 思路分析】 首先看函数的定义域, 【思路分析】 (1)首先看函数的定义域,而 首先看函数的定义域 后用奇偶性的定义判断; 后用奇偶性的定义判断; (2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还 单调性利用复合函数单调性易于判断, 单调性利用复合函数单调性易于判断 可用导数解决; 可用导数解决; (3)恒成立问题关键是探求 恒成立问题关键是探求f(x)的最小值. 的最小值. 恒成立问题关键是探求 的最小值

关于原点对称. 【 解】 (1)函数的定义域为 R, 函数的定义域为 , 关于原点对称. a -x x (a - a )=- =-f(x), 又因为 f(-x)= 2 - = =- , 所以 f(x a -1 为奇函数. 为奇函数. (2)当 a> 1 时,a2- 1>0, y=ax 为增函数, 当 > > , = 为增函数, - - y= a x 为减函数 , 从而 y= ax - a x 为增函 为减函数, = = 为增函数. 数 .所以 f(x)为增函数. 为增函数 2 x 当 0<a< 1 时 ,a - 1<0, y=a 为减函数, < < < , = 为减函数, -x y=a 为增函数, 为增函数, = -x x 为减函数. 为增函数. 从而 y=a -a 为减函数.所以 f(x)为增函数. = 为增函数 故当 a>0 且 a≠1 时 , 在定义域内单调递增. > ≠ f(x)在定义域内单调递增. 在定义域内单调递增

(3)由 (2)知 f(x)在 R 上是增函数, 由 知 所以在区间[- 在 上是增函数, 所以在区间 - 1,1]上为增函数.所以 f(- 1)≤f(x)≤f(1). 上为增函数. 上为增函数 - ≤ ≤ . a - 所 以 f(x)min = f( - 1) = 2 (a 1 - a) = a -1 - 2 a 1-a · =-1. =- 2 a -1 a 上恒成立, 所以要使 f(x)≥b 在 [-1,1]上恒成立 , 则只需 ≥ - 上恒成立 b≤- 1. ≤ 的取值范围是(- ,-1]. 故 b 的取值范围是 -∞ ,- .

【名师点评】 名师点评】

(1)判断函数的奇偶性,先看定 判断函数的奇偶性, 判断函数的奇偶性

义域是否关于原点对称,再看 - 与 的关系; 义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系; 的关系 (2)在利用指数函数性质解决相关综合问题时, 在利用指数函数性质解决相关综合问题时, 在利用指数函数性质解决相关综合问题时 要特别注意底数a的取值范围, 要特别注意底数 的取值范围,并在必要时进行 的取值范围 分类讨论; 解决恒成立问题 解决恒成立问题, 分类讨论;(3)解决恒成立问题,一般需通过分 离变量,转化为求函数的最值等来实现. 离变量,转化为求函数的最值等来实现.

变 式 训练 2 a≠1). ≠ .

1 1 3 已知 f(x)= ( x = + )x (a> 0 且 > 2 a -1

(1)求函数 f(x)的定义域; 求函数 的定义域; 的定义域 (2)讨论 f(x)的奇偶性; 讨论 的奇偶性; 的奇偶性 (3)求 a 的取值范围 , f(x)>0 在定义域上恒成立 . 求 的取值范围, 使 > 在定义域上恒成立.

解 :(1)由于 ax- 1≠0,则 ax≠1,得 x≠0, 由于 ≠ , , ≠ , 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}. 所以函数 f(x)的定义域为 的定义域为 ∈ ≠ . (2)对于定义域内任意 x, 有 对于定义域内任意 , 1 1 ax 1 3 f(-x)= ( - x - = + )(-x) = ( - + )(-x)3 - x 2 2 a -1 1- a - 1 1 3 = (-1- x - - + )(- x) - 2 a -1 1 1 3 =( x + )x =f(x). . a -1 2 是偶函数. ∴ f(x)是偶函数. 是偶函数

(3)当 a> 1 时,对 x>0,由指数函数性质知 a 当 > > , > 1, , 1 1 x ∴ a -1>0,故 x + > 0, > , , 2 a -1 又 x>0 时,x3> 0, > , 1 1 3 ∴x ( x + )>0, > , a -1 2 ∴ 当 x> 0 时, f(x)> 0. > > 又由(2)知 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x), 又由 知 是偶函数知 - = , f(- > , 当 x<0 时, - x)>0, f(-x)= f(x)> 0 成立, < 有 - = > 成立, 综上知, > 综上知, a> 1 时, f(x)>0 在定义域上恒成立. > 在定义域上恒成立.

x

(ax+ 1)x3 ) 对于 0<a<1 时, f(x)= < < = , x 2( a - 1) ( ) 当 x>0 时 ,1>ax> 0,ax+ 1>0, ax-1<0, > > , > , < , x3>0, , 此时 f(x)<0 不合题意. < 不合题意. ,-x> , - = 当 x<0 时,- >0, f(-x)= f(x)<0 也不合题 < < 意, 综上, 综上,所求 a 的取值范围是 a> 1. >

方法感悟 方法技巧 1.在进行分数指数幂与根式的运算时,通常 .在进行分数指数幂与根式的运算时, 将根式转化为分数指数幂, 将根式转化为分数指数幂,利用分数指数幂运 算法则进行化简. 算法则进行化简. 2.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底 .比较两个指数幂的大小时, 或同指,当底数相同,指数不同时, 或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一 指数函数,然后比较大小;当指数相同, 指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数 不同时,构造两个指数函数, 不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大 小或构造一个幂函数. 小或构造一个幂函数.

3.解简单的指数不等式时,当底数含参数,且 .解简单的指数不等式时,当底数含参数, 底数的大小不确定时, 底数的大小不确定时,要对底数分大于 1 与大 两种情况进行讨论, 于零小于 1 两种情况进行讨论, ?f( x)>g(x), a>1 ?( ) ( ) f(x) g(x) . 即 a >a ?? ?f( x)<g(x), 0<a<1 ?( ) ( ) 4.在第一象限,指数函数图象由下往上 ,对应 .在第一象限 ,指数函数图象由下往上, 底数逐渐增大. 底数逐渐增大.

失误防范 1.指数函数的底为参数字母时,要分类讨论. .指数函数的底为参数字母时,要分类讨论. 2.求与指数函数有关的函数的值域,既要考虑 .求与指数函数有关的函数的值域, 幂指数的取值范围, 幂指数的取值范围,又要充分考虑并利用指数 函数的有关性质. 函数的有关性质.

考向瞭望· 考向瞭望·把脉高考

考情分析 指数函数在新课标中占有十分重要的地位, 指数函数在新课标中占有十分重要的地位,因 此高考对指数函数的考查有“升温 的趋势, 升温”的趋势 此高考对指数函数的考查有 升温 的趋势,重 点是指数函数的图象和性质, 2009年江苏卷 点是指数函数的图象和性质,如2009年江苏卷 第10题,对幂指数的运算也有涉及,如2010年 题 对幂指数的运算也有涉及, 年 江苏卷第5题. 江苏卷第 题 预测2012年江苏高考,这部分内容仍会以基础 年江苏高考, 预测 年江苏高考 知识出现,如数值的计算、 知识出现,如数值的计算、幂的运算及指数函 数的图象与性质为主要考点, 数的图象与性质为主要考点,题目应以填空题 为主进行考查. 为主进行考查.

真题透析


32 (2010 年高考安徽卷改编 设 a=( )5 , b 年高考安徽卷改编)设 = 5

2 3 2 2 c= a, b, = ( ) 5 , c = ( ) 5 , 则 a , b , c 的大小 关系是 5 5 ________. .

解析】 【 解析】

2x 构造指数函数 y=( ) (x∈ R), 由该 = ∈ , 5

函数在定义域内单调递减, 函数在定义域内单调递减, 所以 b<c;又 y= < ; = 2x 3 x ( ) (x∈ R)与 y=( ) (x∈ R)之间有如下结论成 ∈ 与 = ∈ 之间有如下结论成 5 5 3x 2x 32 22 立 :当 x>0 时,有 ( ) > ( ) , 故( ) > ( ) , > 5 5 55 55 ∴ a> c, 故 a> c> b. > , > >

【答案】 答案】

a>c>b > >

【名师点评】 在高考中,比较大小的问题比 名师点评】 在高考中, 较普遍,以容易题为主, 较普遍,以容易题为主,主要考查对基础性知 识的理解与掌握, 识的理解与掌握,本类问题以指数式的形式为 考查大小关系的比较方法. 主,考查大小关系的比较方法.比较两个幂值 的大小是一种常见的题型, 的大小是一种常见的题型,也是一类容易出错 的问题,解决这类问题, 的问题,解决这类问题,首先要分清是底数相 同还是指数相同,如果底数相同, 同还是指数相同,如果底数相同,可利用指数 函数的单调性;如果指数相同, 函数的单调性;如果指数相同,可转化为底数 相同,也可借助于图象;如果底数不同, 相同,也可借助于图象;如果底数不同,指数 也不同,则需要利用中间量比较大小. 也不同,则需要利用中间量比较大小.

名师预测 1.已知f(x)=ax+b的图象如图所示,则 .已知 的图象如图所示, = 的图象如图所示 f(3)=________. =

解析: =-2, =-3. 解析 : 由图象知 f(0)= 1+b=- , ∴ b=- = + =- =- 又 f(2)=a - 3=0,∴a= 3,则 f(3)=( 3) - = = , = , = 3=3 3- 3. = -
2 3

答案: 答案:3 3-3 -

3 1 3 1 3 3 2.已知 a= ( ) 3,b=( ) 4, c=( ) 4,则 a、b、 . = = = 、 、 4 4 2
- - -

c 的大小关系是 的大小关系是________. . 3x 3x 解析: 解析:利用两个指数函数 y= ( ) 、y=( ) 的图 = = 4 2 象关系可得. 象关系可得 .

答案: < < 答案:c<b<a

3.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上函数 .已知函数 = > , 在- 上函数 值总小于2,则实数a的取值范围是 的取值范围是________. 值总小于 ,则实数 的取值范围是 .
解析: 解析: 要使函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[-2,2]上 = > , ≠ 在- 上 x 函数值总小于 2,只要 f(x)=a (a>0,a≠1)在[- , = > , ≠ 在- 2,2]上的最大值小于 2 即可, 当 a>1 时, 即可, 上 > f(x)max=a2< 2, 解得 1<a< 2; , < < ; 2 -2 当 0<a<1 时 ,f(x)max= a < 2,解得 < a<1. < < , < 2 2 所以 a∈( , 1)∪(1, 2). ∈ ∪ , . 2
2 答案:( ,1)∪(1, 2) 答案: ∪ , 2
x

4.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 2-x1. .定义:区间 的长度为x 的长度为 已知函数y= 的定义域为[a, , 已知函数 =2|x|的定义域为 ,b],值域为 [1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值 ,则区间 , 的长度的最大值与最小值 的差为________. . 的差为 解析:画出函数 = 的图象,可知[a, 的 解析:画出函数y=2|x|的图象,可知 ,b]的 长度的最大值为2,最小值为 长度的最大值为 ,最小值为1. 答案: 答案:1

温馨提示:巩固复习效果,检验教学成果。 温馨提示:巩固复习效果,检验教学成果。 请进入“课时闯关 决战高考 请进入 课时闯关·决战高考 课时闯关 决战高考(8)”,指导学生每 , 课一练,成功提升成绩 课一练,成功提升成绩.

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