2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的_图文

2.3

离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值

2.3.1

考 纲 定 位 1.理解离散型随机变量的均值的含义, 能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质. 3.掌握两点分布、二项分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值解决一 些相关的实际问题.

重 难 突 破 重点:离散型随机变量的均值的含 义;离散型随机变量均值的计算;两 点分布、二项分布的均值. 难点:利用离散型随机变量的均值解 决一些相关的实际问题.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理] 1.离散型随机变量的均值 (1)定义:一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望. (2)意义: 离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的 平均水平 . (3)性质:如果 X 为离散型随机变量,则 Y=aX+b(其中 a,b 为常数)也是随机变量,且 E(Y)=E(aX+b)= aE(X)+b .

2.两点分布、二项分布的均值 (1)若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)= P . (2)若随机变量 X 服从二项分布 X~B(n,p),则 E(X)= np .

[双基自测] 1.已知 ξ 的分布列如下表,则 ξ 的均值为( ξ -1 0 1 2 P A.0 1 C. 8 1 4 3 1 1 8 4 8 B.-1 1 D. 4 )

1 3 1 1 1 1 1 1 解析:E(ξ)=-1× +0× +1× +2× =- + + = . 4 8 4 8 4 4 4 4

答案:D

2.一名射手每次射击中靶的概率均为 0.8,则他独立射击 3 次中靶次数 X 的均值为 ( ) B.0.83 D.2.4

A.0.8 C.3
解析:∵X~B(3,0.8),∴E(X)=3×0.8=2.4.

答案:D

3. 设 E(X)=10, 则 E(3X+5)=________.
解析:E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.

答案:35

探究一 求离散型随机变量的均值 [典例 1] 在 10 件产品中,有 3 件一等品、4 件二等品、3 件三等品.从这 10 件产品 中任取 3 件,求取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望.

[解析] 从 10 件产品中任取 3 件,共有 C3 10种结果.从 10 件产品中任取 3 件,其中
3- k 恰有 k 件一等品的结果数为 Ck C 3 7 ,其中 k=0,1,2,3. 3- k Ck C 3 7 ∴P(X=k)= ,k=0,1,2,3. C3 10

∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 7 21 7 1 P 24 40 40 120 7 21 7 1 9 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 24 40 40 120 10

求随机变量的数学期望关键是写出分布列,一般分为四步:(1)确定 X 的可能取值; (2)计算出 P(X=k);(3)写出分布列;(4)利用数学期望的计算公式计算 E(X).

1.已知随机变量 X 的分布列为: X -2 -1 0 1 P 1 4 1 3 2

1 1 m 5 20

试求:(1)E(X);(2)若 Y=2X-3,求 E(Y).

1 1 1 1 1 解析:(1)由随机变量分布列的性质,得 + + +m+ =1,所以 m= , 4 3 5 20 6 1 1 1 1 1 17 ∴E(X)=(-2)× +(-1)× +0× +1× +2× =- . 4 3 5 6 20 30

17 (2)解法一 由公式 E(aX+b)=aE(X)+b,得 E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×(- ) 30 62 -3=- . 15 解法二 由于 Y=2X-3,所以 Y 的分布列如下: Y -7 -5 -3 -1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 1 20

1 1 1 1 1 62 ∴E(Y)=(-7)× +(-5)× +(-3)× +(-1)× +1× =- . 4 3 5 6 20 15

探究二 两点分布与二项分布的均值 [典例 2] 某运动员投篮命中率为 p=0.6. (1)求投篮一次时命中次数 ξ 的均值; (2)求重复 5 次投篮时命中次数 η 的均值.
[解析] (1)投篮一次,命中次数 ξ 服从两点分布,则 E(ξ)=p=0.6. (2)重复 5 次投篮,命中的次数 η 服从二项分布,即 η~B(5,0.6). 则 E(η)=np=5×0.6=3.

求两点分布、二项分布的均值的方法: (1)准确判断随机变量所服从的分布类型是解决此类问题的关键,通常情况下,在 n 次独立重复试验中事件发生的次数 ξ 服从二项分布,直接代入公式即可求得数 学期望. (2)对于两点分布,要准确辨别成功率 p.

2.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)X 表示该地的 100 位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望.

解析:设该车主购买乙种保险的概率为 p, 由题意知 p×(1-0.5)=0.3,解得 p=0.6. (1)设所求概率为 P1,则 P1=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (1-0.5)×(1-0.6)=0.2. ∴X~B(100,0.2),∴E(X)=100×0.2=20. 所以 X 的期望是 20 人.

探究三 均值的实际应用 [典例 3] (2015 年高考四川卷)某市 A, B 两所中学的学生组队参加辩论赛, A 中学推 荐了 3 名男生、2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一 起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中 随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人 数,求 X 的分布列和数学期望.

[解析] (1)由题意,参加集训的男、女生各有 6 名.
3 C3 C 1 3 4 参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为 3 3= . C6C6 100

1 99 因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1- = . 100 100 (2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3.
3 C1 C 1 3 3 P(X=1)= 4 = , C6 5 2 C2 3 3C3 P(X=2)= 4 = , C6 5 1 C3 1 3C3 P(X=3)= 4 = . C6 5

所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 因此,X 的数学期望为 1 3 1 E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1× +2× +3× =2. 5 5 5 1 3 1 5 5 5

1.实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用,如在体育比赛的安排和成绩预测,消费预测,工程方 案的预测, 产品合格率的预测, 投资收益等, 都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的解答步骤 ①审题, 确定实际问题是哪一种概率模型, 可能用到的事件类型, 所用的公式有哪些. ②确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值. ③对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.

3.已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (1)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (2)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (3)设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ξ 的分布列和数学期望.

解析:(1)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A,“从乙盒内取出的 2 个球均 为黑球”为事件 B,且事件 A、B 相互独立. C2 1 C2 3 3 3 ∵P(A)= 2= ,P(B)= 2= , C4 2 C5 10 3 ∴取出的 4 个球均为黑球的概率 P(AB)=P(A)· P(B)= . 20 (2)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是 黑球”为事件 C,“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出 的 2 个球均为黑球”为事件 D,且事件 C、D 互斥.
1 1 1 2 C2 C C 3 C 3 3 2 3 3 C3 ∵P(C)= 2· 2 = ,P(D)= 2· 2= , C4 C5 10 C4 C5 20

9 ∴取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 P(C)+P(D)= . 20

(3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3.
1 1 2 2 3 9 C1 C C C C 7 3 2 3 3 2 由(1)(2)得 P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,且 P(ξ=2)= 2· 2 + 2· 2= , 20 20 C4 C5 C4 C5 20 2 C1 C 1 3 2 P(ξ=3)= 2· 2= . C4 C5 20

故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 3 9 7 1 P 20 20 20 20 3 9 7 1 13 则 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 20 20 20 20 10

求离散型随机变量的分布列及均值 [典例] (本小题满分 12 分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概 2 3 率分别为 和 .现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相 3 5 互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计 企业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

[解析] 记 E={甲组研发新产品成功 },F={乙组研发新产品成功}.由题设知 P(E) 2 1 3 2 = ,P( E )= ,P(F)= ,P( F )= ,且事件 E 与 F,E 与 F , E 与 F, E 与 F 都相 3 3 5 5 互独立.2 分 (1)记 H={至少有一种新产品研发成功}, 1 2 2 则 H = E F ,于是 P( H )=P( E )P( F )= × = , 3 5 15 2 13 故所求的概率为 P(H)=1-P( H )=1- = .6 分 15 15

1 2 (2)设企业可获利润为 X 万元, 则 X 的可能取值为 0,100,120,220.因为 P(X=0)=P( E F )= × = 3 5 2 ,7 分 15 1 3 3 P(X=100)= P( E F)= × = ,8 分 3 5 15 2 2 4 P(X=120)= P(E F )= × = ,9 分 3 5 15 2 3 6 P(X=220)= P(EF)= × = ,10 分 3 5 15 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 2 3 4 6 P 15 15 15 15 11 分 2 3 4 6 300+480+1 320 2 100 数学期望为 E(X)=0× +100× +120× +220× = = =140.12 分 15 15 15 15 15 15

[规范与警示] (1)解答本题的易误点: ①对事件不作叙述且不判断事件的独立性; ②应正确写出随机变量 X 的值; ③利用公式求 E(X)时易出现计算错误. (2)求解均值问题,要注意语言叙述的规范性,不要漏掉必要的说明及出现跳步严重 的现象. (3)随机变量的均值计算比较复杂,在运算时要注意一些运算技巧,如把问题归结为 二项分布的均值,运用均值的性质简化运算,运算时注意一些项的合并等.

[随堂训练] 1.随机变量 ξ 的分布列为 ξ 则 ξ 的数学期望是( A.2 C.2.3 ) B.2.1 D.随 m 的变化而变化 1 2 3

P 0.2 0.5 m

解析:∵0.2+0.5+m=1,∴m=0.3, ∴E(ξ)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.

答案:B

2.同时抛掷 5 枚均匀的硬币 80 次,设 5 枚硬币正好出现 2 枚正面向上,3 枚反面向 上的次数为 X,则 X 的均值是( A.20 C.30 ) B.25 D.40

C2 5 5 解析:抛掷一次正好出现 3 枚反面向上, 2 枚正面向上的概率为 5 = .所以 X~ 2 16
? 5? ? B?80, ? ?.故 16 ? ?

5 E(X)=80× =25. 16

答案:B

3.(2016· 高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬 币正面向上时,就说这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均 值是________.
1 3 解析:由题可知:在一次试验中成功的概率 P=1- = ,而该试验是 4 4 ? 3? ? 一个 2 次的独立重复试验,成功次数 X 服从二项分布 X~B?2, ? ?, 4 ? ? 3 3 ∴E(X)=2× = . 4 2
3 答案: 2

4.盒中装有 5 节同牌号的五号电池,其中混有两节废电池.现有无放回地每次取一 节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数 X 的分布列及均值.

解析:X 可取的值为 1,2,3, 3 2 3 3 2 1 1 则 P(X=1)= ,P(X=2)= × = ,P(X=3)= × ×1= . 5 5 4 10 5 4 10 抽取次数 X 的分布列为 ξ 1 P 3 3 1 E(X)=1× +2× +3× =1.5. 5 10 10 2 3 3 3 1 5 10 10


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