高考理科数学最后的复习(所有题型归纳总结)

在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

高考各题型知识点详细罗列
一、集合
?

子集、真子集等集合个数


若全集 U ? ?0,1, 2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 B. 5 个 C. 7 个 D. 8 个

?

绝对值不等式和一元二次不等式

2 设集合 A ? x a ? 2 ? x ? a ? 2 , B ? x x ? 4 x ? 5 ? 0 ,若 A ? B ? A ,则实数 a

?

?

?

?

的取值范围为(



A. 1,3 B. ?1,3? C. ? ?3, ?1? D. ? ?3, ?1?

? ?

?

对数指数函数不等式

设集合 ? ? x x ? 1 ? 3 , Q ? ? y y ? ? ? , x ? ? ?2,1? ? ,则 ? ? Q ? (

?

?

? ? ? ?

?1? ?3?
? ?

x

? ? ? ?



A. ? ?4, ? B. ? , 2 ? C. ? , 2 ? D. ? , 2 ? 9 9 3 3

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

?1 ?

?

分式不等式
x?3 ? 0} , B ? {x | log2 x ? 2} ,则 (CR A) ? B ? ( x ?1
C. [ ?1,4] D. [ ?1,4) )

已知集合 A ? {x | A. (0,3)

B. (0,3]

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待!

?

定义域和值域


若集合 M ? { y | y ? 2 x , x ? ?1 }, P ? { y | y ? log2 x, x ? 1} ,则 M ? P ? ( A. { y | 0 ? y ? C. { y |

1 } 2

B. { y | 0 ? y ? 1} D. { y | 0 ? y ?

1 ? y ? 1} 2

1 } 2

二、复数 ? 复数计算
复数 =( )

A.

B.

C.

D.

? 共轭
复数 z 满足 ( z ? 3)(2 ? i) ? 5 (i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为( A. 2 ? i B. 2 ? i C. 5 ? i D. 5 ? i )

? 求模
z 1 ? i) ? 1 ? i ? i ,则 z 的实部为 若复数 z 满足 (
(A)

2 ?1 2 ?1 (B) 2 ? 1 (C) 1 (D) 2 2

已知复数 z 满足 A、1 B、0

1? z ? i ,则 1 ? z ? ( 1? z
C、 2 D、2



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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

? 象限
已知复数 z ?

1 ,则 z-|z|对应的点所在的象限为( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

A.第一象限

? i 的多次方
复数 A. i B. ?1 等于( C. ?i ) D. 1

三、向量
? 数量积
已知 A.﹣8 , B.﹣10 , C.10 ,则 D.8 =( )

设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? ( A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10

?

?

?

?

? ?



? 夹角公式
已知两个非零向量 a, b 满足 a ? (a ? b) ? 0 ,且 2 a ? b ,则 ? a, b ?? ( A. 30
?

? ?

? ? ?

?

?

? ?



B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待! ?

平行与垂直
? ? ?

已知向量 a ? ? 3,1? , b ? ?1,3? , c ? ? k , ?2 ? ,若 a ? c // b ,则向量 a 与向量 c 的夹角的 余弦值是( A. ) B.

?

? ?

?

?

?

?

5 5

1 5

C. ?

5 5

D. ?

1 5

? 投影
已知点 A(?1,1).B(1, 2).C (?2, ?1).D(3, 4) 则向量 AB 在 CD 方向上的投影为(

uuu r

uuu r



A.

3 2 3 15 3 2 3 15 B. C. ? D. ? 2 2 2 2

? 平面向量基本定理
已知| |=1,| |=2,∠AOB=150°,点 C 在∠AOB 的内部且∠AOC=30°,设 =m +n

,则 =( ) A. B.2 C. D.1

在△ABC 中,已知 D 是 BC 延长线上一点,若 ,则 λ =( )

,点 E 为线段 AD 的中点,

A.

B.

C.

D.

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四、三角函数
? 平方和 1、三角函数关系
已知 ? 是第二象限角, tan ? ? ? A.

1 8

8 ,则 sin ? ? ( 15 1 8 8 B. ? C. ? D. 8 17 17



如果角 ? 满足 sin ? ? cos ? ? A.-1 B.-2 C.1

2 ,那么 tan ? ?
D.2

1 的值是( tan ?



已知 tan ? ? ? ,则 sin 2? = ( A.

3 5



15 15 8 B. ? C. ? 17 17 17

D.

8 17

7 ? ? , ? ? ? ?? , 0 ? ,则 sin ? cos ? ( 25 2 2 1 1 1 1 A. B. C. ? D. ? 5 5 5 25
已知 cos ? ? ?





,则 sin2α 的值为( )

A.

B.

C.

D.

? 诱导公式
1 5? 4? ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) ? cos( ? 2? ) ? ( 6 3 6 3 10 10 4 4 A. ? B. C. D. ? 9 5 5 9
若 cos(

?



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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待!

? 齐次式
sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 已知 tan? ? 2, 则 等于( ) 2 sin 2 ? ? cos2 ?
13 11 B. 9 A. 9
C.

6 7

D.

4 7

? 三角函数图像
已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象如图所示,则 f( )=( )

A.

B.

C.

D.

? 平移伸缩变换
将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变),再把 2

所得图象上所有点向左平移

? 个单位,得到的图象的函数解析式是 ( ) 6

A. y ? sin(2 x ?

?

1 ? ) B. y ? sin( x ? ) 2 12 3

C. y ? sin( x ?

1 2

?
6

)

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? 0 ? ? ? ? ? ,若将函数 y ? f ? x ? 的图像向左平移 后所得图像对应的函数为偶函数,则实数 ? ? ( A. ) D.

? 个单位 6

5? 6

B.

2? 3

C.

? 3

? 6

已 知 函 数 f ( x) ? cos(2 x ? ? )(| ? |? ? ) 的 图 象 向 右 平 移

g ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象,则 ? 的值为( ) 3 2? ? ? 2? - B、- C、 D、 3 3 3 3 A、

?

? 个单位后得到 12

?

对称轴、对称点性质
?
2 ?? ?

已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ? 0 , ? 最大值,且它的最小正周期为 ? ,则( A. f ? x ? 的图象过点 ? 0, ? B. f ? x ? 在 ? )

?
2

)在 x ?

2? 时取得 3

? ?

1? 2?

? ? 2? ? 上是减函数 , ?6 3 ? ? ? 5? ? ,0? ? 12 ?
5? 12

C. f ? x ? 的一个对称中心是 ?

D. f ? x ? 的图象的一条对称轴是 x ?

函数 f ( x) ? sin A. 3?

2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( 3 3 4? 3? 7? B. C. D. 3 2 6



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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待! 若将函数 y=tan (ω >0)的图象向右平移 ) 个单位长度后,与函数 y=tan

的图象重合,则 ω 的最小值为(

A.

B.

C.

D.

设函数 f ( x) ?

1 ? ? cos(? x ? ? ) 对任意的 x ? R ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,若函数 2 6 6

g ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? 2 ,则 g ( ) 的值是( 6
A.1 B.-5 或 3 C.-2

?



D.

1 2

? 单调区间与最值
如图是函数 f ?x ? ? A sin ?2 x ? ? ?? ? ?

? ?

??

? 图像的一部分,对不同的 x1 , x2 ? ?a, b? ,若 2?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,有 f ?x1 ? x2 ? ? 3 ,则()

A. f ?x ? 在 ? ?

? 5? ? ? ? ? 5? ? , ? 上是减函数 B. f ?x ? 在 ? , ? 上是减函数 ? 12 12 ? ?3 6 ? ? 5? ? ? ? ? 5? , ? 上是增函数 D. f ?x ? 在 ? , ? 12 12 ? ?3 6 ? ? 上是增函数 ?

C. f ?x ? 在 ? ?

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

?x ?? y ? cos ? ? ? ( ?? ? x ? ? )的值域为 ( ?2 6?
A. ? ? ,

)

? 1 3 ? ? 1 1 ? ? 1 ? B. ? ?1,1? C. ? ? ,1 ? D. ? ? , ? ? ? 2 2? ? 2 ? ? 2 2 ?

函数 y ? cos 2 x ? 2cos x 的值域是( A. [?1,3] B. [ ?

) C. [ ?

3 , 3] 2

3 , ?1] 2

D. [ , 3]

3 2

? 三角恒等变换与角之间的关系(互余、互补)
若 sin(

?
6

??) ?

1 A. 3

1 ? 2 ? ,则 2 cos ( ? ) ? 1 =( ) 3 6 2 1 7 B. ? C. 3 9

D. ?

7 9

3 1 =( - cos 10? sin 170?

)

A.4 B.2 C.-2 D.-4

1 2? ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) 的值为( ) 6 3 3 1 1 7 7 A. B. ? C. D. ? 3 3 9 9
若 sin(

?

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待! 在三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c , 且满足 ( A. ? )

a b c n s i2 A ? ? , ? 则 6 4 3 n s i B n s i? C

11 14

B.

12 7

C. ?

11 24

D. ?

7 12

五、线性规划
? 画可行域目标函数斜截式
设 x,y 满足约束条件 ,则 x+2y 的最大值是( )

A.1

B.2

C.1

D.﹣1

?2 x ? y ? 0 ? 已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 x ? y 的最大值为( ) ?x ? 2 y ? 3 ?
A. 1 B. 3 C. ?1 D. ? 3

? 目标函数几何意义
已知实数 x、y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( )

A.3

B.4

C.﹣3

D.

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

? x? y?2?0 y x ? 设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 则 z ? ? 的取值范围是( x y ? y?2?0 ?
A、 [ ,



1 10 ] 3 3

B、 [ , ]

1 5 3 2

C、 [2, ]

5 2

D、 [2,

10 ] 3

? x+y ? 10 , 2 2 ? x , y 已知 满足满足约束条件 ? x ? y ? 2 , ,那么 z ? x ? y 的最大值为___. ?x ? 3 ?

? 含参数
?x ? 2 y ? 0 ? 设 z ? x ? y ,其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 6 ,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
( )

A. ? 3 B. ? 2 C. ? 1 D. 0

2 2 ? ?y ? x ? 0 P x , y 已知 ? 内的任意一点,当该区域的面积为 4 时, ? 为区域 ? ? ?0 ? x ? a ? a ? 0 ?

z ? 2 x ? y 的最小值是(
A.0 B.2

) C. 2 2 D.6

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待!

已知变量 x, y 满足条件 处取得最大值,则 a 的取值范围是() A.[ , ??)

若目标函数 z=ax+y (其中 a>0) 仅在点 (3,0)

1 2

B.[ , ??)

1 3

C. ( , ??)

1 3

D. ( , ??)

1 2

? 含绝对值的
? x ? y +2 ? 0, ? 若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? y ? 2 | x | 的最大值为 ? y ? 0, ?
A. ?8 B. ?4 C. 1 D. 2

若不等式组 ?

? ?x ? y ?3 表示的平面区域是三角形,则实数 k 的取值范围是( y ? 3 ? k (x ? 1) ? ?



A. ?

3 3 3 3 ? k ? B. k ? ? 或 k ? 2 2 4 4 3 3 3 3 ? k ? 0 或 k ? D. k ? ? 或 0 ? k ? 2 2 4 4

C. ?

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

已知实数 x,y 满足 ? A.4

? x ? 2 y ? 1 ? 0. ? x ? y ?1 ? 0

则 z=2x+y 的最大值为 C.8 D.10

B.6

六、二项式定理
? 基本的通项公式求解
在 ( x ? ) 的二项展开式中,第二项的系数为(
2 5

1 x

) D. -5

A.10

B. -10

C. 5

4 在 ( 2x ?

1 15 ) 的展开式中,系数是有理数的项共有( 2
B.5 项 C.6 项

) D.7 项

A.4 项

在( x ? A. 4 项

1 30 ) 的展开式中, x 的幂指数是整数的共有( ) 3 x
B. 5 项 C. 6 项 D. 7 项

? 多因式乘积
a ?? 1? ? ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为() x ?? x? ?
A.-40 B.-20 C.20 D.40
5

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待!

(1 ? x)4 (1 ? x )3 展开式中 x 2 的系数是( )
A.3 B.0 C.﹣3 D.﹣6

? 括号里三式展开
(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60
2 5 7

? 系数之和与积分
? ? 已知 ? ? ? ? 3 ? 各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64, x ? 1 ? 展开式中, ? 3 x ?
n

则 n 等于( ) A.4 B.5C.6 D.7

设n ?

?

?
2 0

1 (4sin x ? cos x) dx, 则二项式 ( x ? ) n 的展开式中 x 的系数为 x

A. 4 B. 10 C. 5 D. 6

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

七、三视图与外接球
? 三视图之求体积
一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

40 3

B.

20 3

C.20

D.40

? 三视图之求表面积

某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(



A. 28 ? 6 5 B. 30 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 D. 60 ? 12 5

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待!

? 外接球之放在正方体或长方体
一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为( )

3? 9? A. 2 B. 2

4? C. 3

8? D. 3

? 外接球之直接找球心和球半径
已知如图所示的三棱锥 D ? ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上, ?ABC 和 ?DBC 所 在的平面互相垂直, AB ? 3 , AC ? 3 , BC ? CD ? BD ? 2 3 ,则球 O 的表面积 为

D

C
A
A. 4?

B

B. 12?

C. 16?

D. 36?

? 球与球的切面
过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积是球的表面积的 ( A. )

3 9 3 5 B. C. D. 8 8 16 16

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八、程序框图
? 直接计算型
阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

? 补充条件型
如图给出的是计算
1 1 1 1 的值的程序框图,其中判断框内应填入的是 ? ? ? ?? 2 4 6 2014

A. i ? 2013

B. i ? 2015 C. i ? 2017

D. i ? 2019

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待!

? 函数范围求解型
执行右面的程序框图, 如果输入的 x 在 ? ?1,3? 内取值, 则输出的 y 的取值区间为 ( )

A. ? 0, 2? B. ?1, 2? C. ?0,1? D. ? ?1,5?

? 借助数列求和计算型
某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于

A.

2 3

B.

3 4

C.

4 5

D.

5 6

第 18 页 共 18 页

在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的 K 和 S 值分别为

(A)

9,

4 9

(B) 11,

5 11

(C) 13 ,

6 13

(D) 15 ,

7 15

九、直线和圆
? 直线里的一些公式(直线的方程、直线平行与垂直、点到直线 距离公式、两点之间距离公式、)
已知 l1 : mx ? y ? 2 ? 0, l2 : (m ? 1) x ? 2my ? 1 ? 0, 若 l1 ? l2 则 m=( A.m=0 B.m=1 C.m=0 或 m=1 D.m=0 或 m= ?1 )

若点(1,a)到直线 x-y+1=0 的距离是 A.-1 B.5 C.-1 或 5

,则实数 a 为( ). D.-3 或 3

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待!

已知点 P( x, y) 在直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上,那么 x 2 ? y 2 的最小值为( A. 5 B. 2 5 C. 5 D.2 10



不论 k 为何值,直线 (2k ? 1) x ? (k ? 2) y ? (k ? 4) ? 0 恒过的一个定点是( A. (0,0) B. (2,3) C. (3,2) D. (?2,3)



? 直线里的对称
点 P ( 4, 3) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点 Q 的坐标是 A. ( 2, 4) B. (3, 4) C. ( 2, 5) D. (3, 5)

? 直线与圆的位置关系
若直线 l : y ? k ( x ? 2) 与曲线 x ? y ? 1( x ? 0) 相交于 A、B 两点,则直线 l 的倾斜
2 2

角的取值范围是( A. ? 0, ? ? B. ?



? ? ? ? ? ? 3? ? , ??? , ? ?4 2? ?2 4 ?

C. ? 0,

? ?? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? D. ? , ? ? ? , ? ? 2? ?4 2? ? 2 4 ?

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

【2015 高考重庆, 理 8】 已知直线 l: x+ay-1=0 (a ? R) 是圆 C:x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|= A、2 B、 4 2 C、6 ( ) D、 2 10

? 直线与圆的弦长
(2010?江西) 直线 y=kx+3 与圆 (x﹣3) + (y﹣2) =4 相交于 M, N 两点, 若|MN|≥2 则 k 的取值范围是( ) A.[﹣ ,0] B.[﹣∞,﹣ ]∪[0,+∞] C.[﹣ , ]
2 2



D.[﹣ ,0]

? 圆的方程及三角形外接圆方程确定
【2015 高考新课标 2,理 7】过三点 A(1,3) , B(4, 2) , C (1, ?7) 的圆交 y 轴于 M,N 两点, 则 | MN |? ( A.2 6 ) B.8 C.4 6 D.10

? 圆与圆的位置关系
圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与圆 C2 : x ? y ? 4x ? 8 y ? 4 ? 0 的位置关系是
2 2

2

2

A.相交

B.外切 C.内切

D.相离

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? 直线与圆的模型
圆 x +y -4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是( A.36 B.18 C.6 D.5
2 2



若圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆 C 所作切线 长的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6

2

2

? 圆与圆的相交弦、弦长及交点坐标

已知圆 A.

与圆 B. 2 3 C. 2 D.1

,则两圆的公共弦长为(



十、解三角形
? 边角互化型
5 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a sin A sin B ? b cos 2 A ? a . 3 b (1)求 ; a 8 2 2 2 (2)若 c ? a ? b ,求角 C . 5

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

? 两角互补正弦、余弦的关系型
已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 . (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 7 ,求 ?ABC 的周长的取值范围.

? 平面图形型
如图,平面四边形 ,求 中, , , , ,

D
C

A
(Ⅰ) (Ⅱ) ; 的面积 .

B

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? 最值问题型
C 所对的边分别为 a , b , c , B、 在 ?ABC 中, 内角 A 、 其外接圆半径为 6,
sin A ? sin C ? 4 3 b ? 24 , 1 ? cos B

(Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积的最大值.

十一、数列
? 做数列题的小技巧
已知正数组成的等比数列 ?an ? ,若 a1 ? a20 ? 100 ,那么 a7 ? a14 的最小值为( A.20 B.25 C.50 D.不存在 )

已知 ?a n ?为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于( ) A、-1 B、1 C、3 D、7

设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9, S5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.42 C.36 D.27



等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 6a3 ? 2a4 ? 3a2 ? 5 ,则 S7 等于( A. 28 B. 21 C. 14 D. 7



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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , A、 1 ? 2 B、 3 ? 2 2

a ?a 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? a7 ? a8 2
D、 3 ? 2 2

C、 1 ? 2

等比数列 ?an ?中, a1 ? a2 ? 40 , a3 ? a4 ? 60 , a7 ? a8 ? A. 135 B. 100 C. 95 D. 80

? 求通项公式的一些方法
① 累加法 )

已知数列{ an },满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? n ,则 a10 ? ( A.45 B.50 C.55 D.60

在数列 {an } 中,若 a1 ? ?2 , an?1 ? an ? n ? 2n ,则 an ? ( A. (n ? 2) ? 2 C.
n



B. 1 ? D.

1 2n

2 1 (1 ? n ) 3 4

2 1 (1 ? n ) 3 2

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待!



累乘法

在数列

?a ?中, a
n

1

?1



a

n ?1

? 2 ? a n (n ? N ) ,求通项 an 。

n

*



和 Sn 有关的式子

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n 2 ? 2n . (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)令

,且数列

的前 n 项和为

,求



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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

2 ? an = 4Sn ? 3 . Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an?1

④ 构造法 已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1)求证数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式和前 n 项和 S n

第 27 页 共 27 页

你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待! 已知数列{an}的首项 , ,n=1,2,3,?.

(Ⅰ)证明:数列

是等比数列;

(Ⅱ)数列

的前 n 项和 Sn.

? 求前 n 项和的一些方法
① 分组求和

已知等差数列 (Ⅰ)求数列

{an } 满足: a5 ? 11, a2 ? a6 ? 18 . {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若 bn ? an ? 3n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

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裂项相消

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn= ,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,若对 n∈N ,Tn≤k(n+4)
*

恒成立,求实数 k 的取值范围.



错位相减

已知数列 ?an ?的首项 a1 ? 1 ,且满足 (an?1 ?1)an ? an?1 ? 0(n ? N ? ) . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 cn ?

3n ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Sn . an

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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待! ④ 证明不等式

设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a1 ? 2 ,对任意 n ? ?? ,都有 2Sn ? ? n ?1? an . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?

? ?

? 1 4 ? ? 的前 n 项和为 ?n ,求证: ? ? n ? 1 . 2 ? an ? an ? 2 ? ? ? ?



放缩法

已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式;
? ?

1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2

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十二、概率与统计
? 抽样与随机数表
将 800 个个体编号为 001 ~ 800 ,然后利用系统抽样的方法从中抽取 20 个个体作为样 本,则在编号为 121 ~ 400 的个体中应抽取的个体数为( A.10 B.9 C.8 D.7 )

总体由编号为 01,02, ,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 6 个个 体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数 字,则选出来的第 6 个个体的编号为( ) 7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 1128 6938 0598 7481

A.11 B.02 C.05 D.04

? 线性回归直线方程
为了解某地区某种农产品的年产量 x (单位:吨)对价格 y (单位:千元/吨)和利润 z 的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表:

x
y

1 7.0

2 6.5

3 5.5

4 3.8

5 2.2

(1)求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (2)若每吨该农产品的成本为 2 千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多 少时,年利润 z 取到最大值?(保留两位小数)

?

?

?

? 参考公式: b ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( xi ? x)2
i ?1

n

?

? ( x y ) ? nx y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2

i

? nx

2

? ? ,a ? y -b x

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? 频率分布直方图
某省高中男生升高统计调查数据显示:全省 100000 名男生的身高服从正态分布 N (170.5,16),现从该省某高校三年级男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测 学生身高全部介于 157.5cm 和 187.5cm 之间,将测量结果按如下方式分成 6 组:第一组 [157.5,162.5],第二组[162.5,167.5],?,第六组[182.5,187.5],如图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图.

(1)求该学校高三年级男生的平均身高;(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)求被抽取的 50 名男生中身高在 177.5cm 以上(含 177.5cm)的人数; (3)从被抽取的 50 名男生中身高在 177.5cm 以上 (含 177.5cm)的人中任意抽取 2 人, 记该 2 人中身高排名(从高到低)在全省前 130 名的人数记为 ξ ,求 ξ 的数学期望.

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? 茎叶图
国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表:

由全国重点城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如图:

(Ⅰ)试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系 (只需写出结果); (Ⅱ)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率; (Ⅲ)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相 同的概率. (注:s = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +?+(xn﹣ ) ],其中 为数据 x1,x2,?,xn 的平 均数.)
2 2 2 2

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? 独立性检验
心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为了 验 证这个结论, 从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有同学几何题和 代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,乙每次解答 一道几何题所用 的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (Ⅲ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、乙两女 生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X). 附表及公式

? 正态分布
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从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果 得如下图频率分布直方图:

(I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均值 x 和样本方差 s (同一组的数据用该组 区间的中点值作代表);
2 (II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标 Z 服从正态分布 N ? , ? ,其中 ? 近

2

?

?

似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2 2

(i)利用该正态分布,求 P ?187.8 ? Z ? 212.2? ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值 位于区间 ?187.8, 212.2? 的产品件数.利用(i)的结果,求 EX . 附 :

1 5 ?0

1若2 Z . ~ 2 N ? ? , ? 2 ? 则 P ? ? ? ? ? Z ? ? ? ? ? ? 0.6826 ,

P ? ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ? ? 0.9544 。

?

期望与方差

【二项式分布】某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序,每道工序都要经过相互独
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你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待! 立的工序检查,且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序,两道工序都合格,产 品才完全合格.经长期监测发现,该仪器第一道工序检查合格的概率为 检查合格的概率为

8 ,第二道工序 9

9 ,已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器. 10

(Ⅰ)求本月恰有两台仪器完全合格的概率; (Ⅱ)若生产一台仪器合格可盈利 5 万元,不合格则要亏损 1 万元,记该厂每月的赢利 额为 ? ,求 ? 的分布列和每月的盈利期望.

【超几何分布】在最近发生的飞机失联事件中,各国竭尽全力搜寻相关信息,为体现国 际共产主义援助精神,中国海监某支队奉命搜寻某海域。若该海监支队共有 A 、 B 型 两种海监船 10 艘,其中 A 型船只 7 艘, B 型船只 3 艘。 (1)现从中任选 2 艘海监船搜寻某该海域,求恰好有 1 艘 B 型海监船的概率; (2)假设每艘 A 型海监船的搜寻能力指数为 5,每艘 B 型海监船的搜寻能力指数为 10. 现从这 10 艘海监船中随机的抽出 4 艘执行搜寻任务, 设搜寻能力指数共为 ? , 求? 的分布列及期望.

十三、立体几何
? 直接求线面角
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如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,且 DB 平分∠ADC, E 为 PC 的中 点,AD=CD=1, .

(1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥平面 PBD; (3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值.

? 直接求二面角
如 图 , 在 斜 三 棱 柱 ??C ? ?1?1C1 中 , 侧 面 ?CC1?1 与 侧 面 C??1C1 都 是 菱 形 ,
第 37 页 共 37 页

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??CC1 ? ?CC1?1 ? 60? , ?C ? 2 .

(1)求证: ??1 ? CC1 ; (2)若 ??1 ? 6 ,求二面角 C ? ??1 ? ?1 的正弦值.

? 已知二面角反推某个点的位置
如图,四棱锥 A ? BCDE ,平面 ABC ⊥平面 BCDE ,△ ABC 是边长为 2 的等边三角 形,底面 BCDE 是矩形,且 CD ? 2 .
第 38 页 共 38 页

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(1)若点 G 是 AE 的中点,求证: AC / / 平面 BDG ; (2)试问点 F 在线段 AB 上什么位置时,二面角 B ? CE ? F 的大小为

? . 4

第 39 页 共 39 页

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十四、圆锥曲线
? 椭圆、双曲线定义的应用
已知动点 P(x,y)满足 A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.线段 ,则动点 P 的轨迹是( )

动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线

在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到点 F ?1, 0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1. (Ⅰ)求点 P 的轨迹 E 的方程;

已知 F1 , F2 是椭圆 的周长为( A.16 )

x2 y 2 ? ? 1 的两个交点, 过 F 的直线与椭圆交于 M , N 两点, 则 ? MNF2 16 9

B.8

C.25

D.32

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? 求离心率
如图, F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的 a 2 b2


左右两支分别交于点 A, B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B. 7

C.

2 3 3

D. 3

? 点差法
已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F ? 3,0? , 过点 F 的直线交椭圆 E 于 A, B a 2 b2

两点,若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( ) A.

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 45 36 36 27 27 18 18 9

椭圆

x2 1 ? y 2 ? 1 的弦 AB 的中点为 P (1, ) ,则弦 AB 所在直线的方程是. 2 4

第 41 页 共 41 页

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? 抛物线的定义与最值、弦长
已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点, 则点 P 到点 (0,2) 的距离与点 P 到该抛物线准线 的距离之和动点最小值为( A. ) C. 5 D.

17 2

B. 3

9 2

已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则直线与抛物线相交弦弦长为( ) A.9 B.8 C.7 D.6

过抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,若 A 到抛物线的准线的 距离为 4,则弦长 AB 的值为( A.8 B. ) C.

16 3

13 3

D.6

十五、函数 ? 求切线方程
3 2 已知函数 f(x)= x ? 3x ? x ln a ? 2 ,曲线 y ? f ( x ) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的

横坐标为-2. (Ⅰ)求 a;

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

已 知 函 数 f ? x ? ? a ln x ? bx(a, b ? R ) , 曲 线 y ? f ? x? 在 点 1, f ?1? 处 的 切 线 方 程 为

?

?

x ? 2y ? 2 ? 0 .
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

? 求单调区间与单调性
已知函数 f ( x) ? ln x ?

a 2 x ? (a ? 1) x . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 ,求 f ( x ) 的单调区间;

已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

1 2 x ? ?1 ? a ? x . 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间;

已知函数 f ( x) ? ln(

x ?1 a )? (a ? R) . 3 x?2

(1)若函数 f ( x ) 在定义域上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围;

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? 求极值
已知函数 (1)当 m ? 4 时,求函数的极值点和极值; ,x∈R.(其中 m 为常数).

已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)求 a 的值;

1 ? 1 在 x ? 1 处取极值. x

2 (2)求 f ? x ? 在 [ , e ] 上的最大值和最小值.

1 e

? 恒成立问题的处理方法
f ( x) ? mx ?
【分离参数法】已知函数

m x , g ( x) ? 2 ln x 。

(Ⅰ)当 m ? 1 时,判断方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 (1, ??) 上有无实根. (Ⅱ)若 x ? (1, e] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

第 44 页 共 44 页

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【直接求最值法】已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

1 2 x ? ?1 ? a ? x . 2

(2)若 f ? x ? ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

? 函数零点
x 函数 f ( x) ?| log2 x | ? 的零点个数为() (1 2)

A.4

B.3

C.2

D.1

? 函数中的构造法
已知 f ?( x ) 是奇函数 f ( x ) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得

f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是(
A. (??,?1) ? (0,1) B. (?1,0) ? (1,??) C. (?1,0) ? (0,1) D. (??,?1) ? (1,??)



第 45 页 共 45 页

你对事物的看法,决定了它在你心中的位置。高考,平常心对待! 设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 且 f ? 2? ? 0 , 当 x ? 0 时, 有 则不等式 x f ? x ? ? 0 的解集是(
2

xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 恒成立, x2



A. ? ?2,0? ? ? 2, ??? B. ? ??, ?2? ? ? 0,2? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ??? D. ? ?2,0? ? ? 0,2?

? 函数奇偶性
若偶函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??) 上单调增加,则满足 f (1 ? 2 x) ? f ( ) 的 x 的取值范围是 ( A.( )

1 3

1 2 1 2 1 2 1 2 , ) B.[ , ) C.( , ) D.[ , ) 3 3 3 3 2 3 2 3

十六、简单的排列组合
1.某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动,如果每个景点 至少一名同学,且甲乙两名同学不在同一景点,则这四名同学的安排情况有( A.10 种 B.20 种 C.30 种 D.40 种 )

第 46 页 共 46 页

在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

2.将 3 本相同的小说,2 本相同的诗集全部分给 4 名同学,每名同学至少 1 本,则不同的 分法有( A.24 种 ) B.28 种 C.32 种 D.36 种

3.编号为 1、2、3,4、5、6、7 的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相 邻,则不同的开灯方案有( A.60 种 B.8 种 ) C.20 种 D.10 种

4.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有( )

(A)70 种(B)80 种(C)100 种(D)140 种

5.从 4 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师,派往郊区 3 所学校支教,每校 1 人,要求 这 3 位教师中男、女教师都要有,则不同的选派方案有 A.210 种 B.186 种 C.180 种 D.90 种

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十七、概率
? 条件概率
将两颗骰子各掷一次,设事件 A ? “两个点数不相同”, B ? “至少出现一个 6 点”,则概 率 P A B 等于( A. B. C.

?

?

) D.

袋中装有完全相同的 5 个小球,其中有红色小球 3 个,黄色小球 2 个,如果不放回地依次摸 出 2 个小球,则在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是( ) A.

3 3 1 1 B. C. D. 10 5 2 4

? 几何概型
已知直线 l 的方程为 ax ? 2 y ? 3 ? 0 , 且 a ? [? 5 , 4 ] A. , 则直线 l 的斜率不小于 1 的概率为 ( )

2 9

B.

7 9

C.

1 3

D.

2 3

已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P ,使 ?ABP 的最大边是 AB ”发生的概 率为

1 AD ?( ,则 2 AB
B.



A.

1 2

1 4

C.

7 4

D.

3 2

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在未来的时间里,不需想太多,用心地去做好现在的事情,相信自己,你就是最大的赢家!

已知圆 O : x2 ? y 2 ? 16 ,在圆 O 上随机取两点 A 、 B ,使 AB ? 4 3 的概率为( ) A.

9 1 3 1 B. C. D. 15 4 5 3

? 古典概型
位于西部地区的 A 、B 两地, 据多年的资料记载:A 、B 两地一年中下雨天仅占 6% 和 8% , 而同时下雨的比例为 2% ,则 A 地为雨天时, B 地也为雨天的概率为( ) A.

1 7

B.

1 4

C.

1 3

D.

3 4

一个盒子里有 6 支好晶体管,4 支坏晶体管,任取两次,每次取一支,每次取后不放回,已 知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( ) A.

2 5 7 5 B. C. D. 3 12 9 9

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